Өзгергіштік және оны зерттеу жолдары

    Белгілер әртүрлілігінің  көрсеткіштері қызметін лимиттер  өзгергіштіктің шайқалу шегі, орташа  квадраттық ауытқу σ(сигма), варианса σ2 және вариация коэффициені Сv атқарады.

 

Америка генетигі ДжЛ.Брюйбекер өзінің "Ауылшаруашылығы генетикасы" деген кітабында мысал ретінде екі баскетбол командасы ойыншыларының футпен және дюймамен келтірілген бойларының биіктігін келтіреді (фут=0,Зм, дюйм=2,54 см).

А командасындағы ойыншылардың бойы: 6ф1д; 6ф2д; бфЗд; 6ф4д; 6ф5д. Арифметикалық орта шама=6фЗд.

Б командасындағы ойыншылардың бойы: 5ф5д; 5ф6д; бфЗд; 7ф0д; 7ф1д. Арифметикалық орта шама=6фЗд.

Екі командадағы ойыншылардың орташа бойы бірдей, бірақ баскетбол "жанкүйерлері" Б командасының жеңіске жету мүмкіндігі басым екенін түсінеді. Өйткені бұл командада А командасымен салыстырғанда бойы биік ойыншылар көбірек.

Егер біз ойыншылардың лимиттерін, яғни зерттелуші белгінің максимал және минимал мөндерін көрсетуші әртүрлілік көрсеткіштерін келтірсек, командаларды сипаттау толығырақ болған болар еді.

А командасының лимиттері lim1 6ф.1д. —6ф.5д. (Оф4д).

Б командасының лимиттері lim2 5ф.5д—7ф.1д (1ф.6д) (жақшалар ішінде өзгергіштіктің шайқалу шегі көрсетілген).

Н.А.Плохинский мынадай мысал келтіреді. Екі совхоздағы егіздердің салмағын зерттеуден мынандай мәліметтер алынды (9-кесте)

 

 

 

 

 

9-кесте

Өгіздердің реттік №	1—совхоз         2—совхоз
	Тірі салмағы, кг
1	640	600
2	645	630
3	650	650
4	655	680
5	660	700

 

Орташа шама:                          М1= 650кг                          М2=650кг

 

Өгіздердің тірі салмағы екі совхозда да орта есеппен бірдей - 650 кг-нан; бірақ өгіздердің салмақтарының әртүрлілігі екінші совхозда бірінші совхозға қарағанда 5 есе көп. Осы әртүрлілікті лимиттер мен өзгергіштіктің шайқалу шегі арқылы көрсету қолайлы болып шығады:

         lim1=640-660кг(20кг)      1іm2=600-700кг (1ООкг)

Бірталай жағдайларда топтардың әртүрлілігін лимиттер мен өзгергіштіктің шайқалу шегі арқылы көрсетудің үлкен өндірістік маңызы бар, олар белгілі бір продукцияға ақша төлеу үшін негіз етіп алынады. Мысалы, қақталып түздалған түтас еттің бір партиясының М1=90 кг, lim1=88-92(4кг), ал екіншісінің М2=90 кг, 1im2=80-100(20) кг болсьш делік. Әрине, бірінші партияның еттері екіншісіне қарағанда стандарт ретінде жоғары бағаланатыны сөзсіз.

Кейбір жағдайларда лимиттер белгілерді сипаттай алатын бірден-бір ғана көрсеткіш бола алады. Мысалы, қарапайым жануарларды суреттеген кезде олардың дене мөлшерінің тек лимиттерін ғана келтіреді:

 

Ішек амебасы       lim 20-30 мкм;

Трипанозома        lim 20-70 мкм;

Тоқ ішек инфузориялары      lim 30-150 мкм.

 

Көрсетілген объектілермен алғаш танысу үшін осы мәліметтер толық жеткілікті. Сондықтан әртүрліліктің тіпті дәл көрсеткіштері болған кезде де, лимиттердің атқаратын ролі үлкен.

     Дегенмен лимиттерде әртүрліліктің өте маңызды ерекшеліктерін әрқашан қамтып көрсете алмайтынын атап айтқан жөн. Мысалы, екі топ особьтары денелерінің үзындығы бойынша салыстырылады дейік (10-кесте).

 

 

 

 

 

 

 

10-кесте

См-мен өлшенген дененің ұзындығы
1 - топ	2— топ
10	10
11	14
12	14
13	14
14	14
15	14
16	14
17	14
18	18

 

 

Ітоп: М= 14, lim =10-18(8) 2 топ: М= 14, lim =10-18(8)

 

    Екі топтың орта шамалары да, лимиттері де бірдей, бірақ осы топтардың әртүрлілік дәрежесінде айқын өзгешелік бар. Бірінші топ особьтары денесінің ұзындығы әртүрлі, ал екінші топтағы 9 особьтың жетеуінің дене ұзындығы бір-дей. Бірінші топ особьтарының өзгергіштігі екіншіге қарағанда көп екендігі, ал оны лимиттердің көмегімен кәрсету мүмкін еместігі айқын байқалып тұр. Әртүрлілік дәрежелерін ерекше кәрсеткіш - орташа квадраттық ауытқудың көмегімен өте дәлірек сипаттауға болады. (Плохинский, Биометрия. 1961. Новосибирск, 36-37-бет).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

№ 4 Лекция

Орташа квадраттық ауытқу б (сигма)

     Белгілі математик Гаусс әртүрлілік дәрежесінің көрсеткіші ретінде негізгі ауытқуды пайдалану керектігін ұсынды. Ол орта шамадан ауытқулар квадраттарымен жиіліктердің көбейтінділерінің қосындысын бақылаулар санына бөліп квадрат түбірін тапқанда шығатын санға тең.

∙/n

 

 

    Оң және теріс ауытқулардың (орта шамадан) қосындысы нөлге тең болатыны белгілі. Ауытқуларды квадратқа дәрежеле-генде барлық таңбалар оң, демек олардың қосындылары да оң шама болып шығады. Кейбір жекелеген жиынтықтар шамала-рының  өсерін  жоғалту  үшін  ауытқулар  квадраттарымен жиіліктер көбейтінділерінің қосындысын бақылаулар санына бөледі.Σ

Кейінірек Гаусстың формуласы азырақ өзгертілді: жоғарыда келтірілген формуладағыдай ауытқулар квадраттарымен жиіліктерінің көбейтіндісінің қосындысын бақылаулар санына (n) емес, ерікті дәрежелер санына (n-1) бөлу керек деп табылды. Ерікті дәрежелер саны тәуелсіз шамалар санына тең болады. Мысалы, егер екі санның қосындысы 10, ал қосылғыштардың біреуі 3-ке тең болған жағдайда, екінші сан тек 7 болуы ғана керек. Егер қосынды үш саннан тұрса, онда оның екеуі тәуелсіз болады да, үшіншісі бірінші екі санның қосындысымен анықталады. Соңдықтан ерікгі дәрежелер саны n-1-ге тең болады. Сонымен Гаусстың формуласы енді былайша өрнектеледі:

 

 

                                *  -b2

 

 

Ерікті дәрежелер саны v деген грек алфавиті мен немесе df деген екі латын алфавитімен (degree of freedom ерікгі дәреже) белгіленеді. Квадраттық немесе негізгі ауытқуды (б) есептеу үшін вариациялық қатар қүрылады. Вариациялық қатардың ортасында орналасқан бір вариантты шартты орта шама етіп алады да, сол орта шамадан ауыткуларды табады және ауытқуларды өзінің жиіліктеріне көбейтеді; онан соң ауытқулармен жиіліктердің көбейтіндісінің алгебралық қосындысын табады да ол қосындыны бақылаулар санына бөлу арқылы түзетуді табады (яғни арифметикалық орта шаманы табудағы есептеулер сияқты). Сонан соң ауытқулардың квадратын жиіліктерге көбейтіп, оларды қосады, және ауытқу квадраттары мен жиіліктер кебейтіндісінің қосындысын ерікті дәрежелер санына бөледі және одан түзетудің квадратын (в2) алып тастайды да, шыққан санның квадрат түбірін табады (11-кесте).

 

 

 

 

X	f	х-Х	(х-Х ) f	(х-Х)2 f
2	1	-3	-3	9
3	3	-2	-6	12
4	5	-1	-5	5
5	7		-14
6	6	1	6	6
7	5	2	10	20
8	2	3	6	18
	п=29		+22	70

 

 

 

В===0,27=0,3     х

-0,32===1,55

 

Осы есептеулерді басқа мысал алып қарастырайық: Варианттарды таратқаннан кейін өзгергіштіктің шайқалу шегі 6-ға (лимиттері 5-11), бақылаулар саны 45-ке тең вариациялық катар алдық делік (12-кесте).

12-кесте

X	f	х-Х	(x-X)f	(x-X)2f
5 6 7	2 5 8	-3 -2 -1	-6 -10 -8	18 20 8
8	10		-24
9 10 11	9 7 4	1 2 3	9 14 12	9 28 36
	45		35	119

 

Вариациялық қатардың ортасында жатқан бір вариантты, мысалы 8 вариантын шартты орта шама етіп аламыз да, сол орта шамадан ауытқуларды (х— Х) жазамыз және осы ауытқуларды өзінің жиілігіне кебейтеміз, (x-Х)f. Осы көбейтін-ділердің алгебралық қосындысын тауып, оны бақылаулар са-нына белеміз және осылай етіп түзетуді (в) табамыз. Онан соң М=М0±в немесе            х = х± в формуласы бойынша түзетуді шартты орта шамаға қосып, не алып арифметикалық шын орта шаманы табамыз. Онан соң орташа квадраттық ауытқуды табу үшін барлық ауытқуларды квадратқа дәрежелеп өсіреміз, ауытқулардың квадратын өзінің тиісті жиіліктеріне көбейтіп, осы көбейтінділердің қосындысын ерікті дәрежелер санына бөліп одан түзетудің квадратын алып тастайды және шыққан санның квадрат түбірі табылады (12-кесте).

 

(х-Х) 2 f  алу үшін ең оңайы ( х-Х) f-ті ( х-Х) көбейту керек.

Түзету  в===0,24

 

Орта шама  Х=8+0,24=8,24;       Σ( х-Х)2 f =119

 

Σ= -0.242===1.63

 

Кластарға жіктелген варианттар бойынша орташа квадраттык ауытқуды табу үшін квадрат түбірдің астынан шыққан санды кластың мөлшеріне (1) кебейту керек (13-кесте).

13-кесте

Кластар	W	f	x-X	(x-X).f	(x-X)2f
10-14	12	8	-3	-24	72
15-19	17	10	-2	-20	40
20-24	22	11	-1	-11	11
25-29	27	12		55
30-34	32	10	1	10	10
35-39	37	8	2	16	32
40-44	42	5	3	15	45
		Σf=54		41	210

 

 

             σ =-в2       В= = -0,21

орта шама  Х=24÷(-0,21∙5)=25,95

                                                                     σ=0,22̇∙5=   1,81∙ 5=9,05

Еңді 10-кестеде келтірілген, орта шама мен лимиттері бірдей жануарлардың екі тобы особьтары денесінің ұзындығы жөніндегі мәліметтер үшін орташа квадраттық ауытқуды есептейік. Бірінші топ бойынша орта шамадан ауытқулар 14-кестеде келтірілген.

 

 

 

 

 

14-кесте

(х-Х)	(х-Х)2
-4	16
-3	9
-2	4
-1	1
0	0
	1
+2	4
+3	9
-4	16
	60

 

 

Вариациалық қатар қарапайым; әрбір варианта бірден ғана кездеседі. Сондықтан                          σ===2,73

Екінші топ особьтарының орта шамадан ауытқулары; -4,+4, ауытқулардың квадраттары 16 және 16, алауытқулар квадратының қосындысы 32.                          σ===2,00 Орташа квадраттық ауытқу  көрсетілген жануарлар топтарының өзгергіштерінде айырма бар екенін табуға көмектесті.

       Орта шама қандай бірліктермен белгіленсе негізгі немесе квадраттық ауытқуда σ сол бірліктермен белгіленеді. Сондық-тан да ол әр уақытта атаулы сан болып табылады. Өзгергіш-тіктің шайқалу шегі неғүрлым аз болса, сигманың мәні де солғүрлым аз болады. Егер өзгергіштік жоқ болса (бұлай бол-майды, әрине) сигма =0. Тірі организмдер салмағы, биіктігі және басқа кәрсеткіштері бойынша айтарлықтай әртүрлі, сон-дықтан сигманың абсолюттік мөні кең көлемде өзгере алады.

Салмағы, химиялық қүрамы және басқа да көрсеткіштері бойынша мүлде бірдей бір сорттың (жорамалда ғана болатын жағдай) 100 дәні тамаша біркелкі жағдайда себілді және мүлде бірдей сыртқы жағдайлардың әсеріне үшырады деп жорамалдайық. Дәл осындай жағдайларда ғана біз 100 дәннен өскен 100 өсімдіктің біркелкі болатындығын күте алар едік. Егер оны графикке түсірсек ол бір ғана вертикаль сызық болып шығар еді. Шындығында кәрсеткіштері бірдей болып келетін дән болмайды. Өзгергіштіктің тек бір көрсеткішінің өзі ғана (мысалы дөндердің сапасы) өзгергілі қатар түзе алады. Сол сияқты табиғатта топырақтың құнарлылығы, ылғалдылығы, жарық т.б. бірдей болып кездеспейді. Демек өзгергіштік арта түседі, ал вариациялық қатар одан әрі кеңи түседі.