Контрольные задания по "Статистике"

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

   Вариант 8.

   Задача 1.

 В качестве оценки расстояния до навигационного знака  принимают среднее Х̅ =1200 значение 25 независимых измерений дальномерами. Измерения не содержат систематической ошибки, а случайные ошибки распределены нормально со среднеквадратическим отклонением σ=15. Найти доверительный интервал для истинного расстояния с доверительной вероятностью α=0,9.  
 

 Решение:

    Доверительный интервал для значений измеряемой величины, определим по формуле  .

     По  условию известно, что х̅=1200, σ=15 и 2Ф(ε)=p, т.е 2Ф(ε)=0,9.

     Значит, по таблице значений функции Лапласа  находим, что ε(p,n)=ε(0,9;25)=1,711.

     Окончательно, получим 

     Значит, с вероятностью 0,9 следует ожидать, что значения измеряемой величины будет заключен в границах от 1194,9 до 1205,1 .  
 
 
 
 

   Задача 2.

 Результаты  измерения твердости (х_i – у.е.) сверл, (n_i - число сверл).

 Таблица1

 Найти а) среднее x̅, среднее квадратическое отклонение S и коэффициент V; б) построить гистограмму и полигон частот.

Решение:

    Для интервального  ряда распределения среднее вычисляется  по формуле: 

   где х_i - середина i-го интервала, n_i, - частота i-ro интервала, п - объём выборки.

   Используя данные табл. 1, вычислим среднюю длину валика: 

_    25∙3+35∙6+45∙23+55∙14+65∙4        2350    

х = -------------------------------------------------- =  ---------  ≈ 47 у.е..

                                 50                     50             

   Дисперсия вариационного ряда служит для характеристики рассеяния значений признака вокруг среднего значения и вычисляется по формуле:

     
 
 

   Для удобства вычислений дисперсии признака X составим рабочую таблицу (см. табл.2).         Таблица 2 

 
 

Таким образом,   S_x²=

   Среднее квадратическое отклонение (стандарт) S_x - это арифметическое значение квадратного корня из дисперсии.

                  S_x =

    Для сравнения  величин рассеяния вариационных рядов вычисляют коэффициент вариации V_x как процентное отношение стандарта к средней арифметической: 
 
 
 
 

     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

   Гистограмма частот 
 

   

   Полигон частот. 

Задача 3. Экономист, изучая зависимость выработки Y(y.e) на одного работника торговли от величины товарооборота X (у.е.) магазина обследовал 10 магазинов торга (п=10) и получил следующие данные.

   Полагая, что между признаками X и Y имеет место линейная корреляционная связь, определить выборочное уравнение линейной регрессии и выборочный коэффициент линейной корреляции r_xy. Построить диаграмму рассеяния и линию регрессии. Используя полученное уравнение регрессии, оценить ожидаемое среднее значение Y при Х*=75.

 Решение.

 Для удобства вычислений воспользуемся вспомогательной  таблицей

    Найдем  выборочные средние

          

           Найдем выборочные дисперсии

        

     

     

     

           Выборочные среднеквадратические отклонения

     

     

     Найдем  коэффициент корреляции:

 

 Учитывая, что  b₀= Y̅=3,36, =0,8386∙0,609:27,93=0,018, тогда получим уравнение линейной регрессии y̅_x=0,018x+3,36-0,018∙65,1

 y̅ _x = 0,018x+2,17

  Изобразим эту  прямую на графике, а также диаграмму  рассеяния. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 При Х^*=75, получим у̅_х=0,018*75+2,17=3,52 (у.е.)