Кривые распределения плотности вероятности результатов испытаний образцов из бетона

Задача 1. Построить экспериментальную и теоретическую кривые распределения плотности вероятности результатов испытаний образцов из бетона и определить близость распределения к нормальному с помощью критерия.

Параметры	Значения параметров по интервалам прочности бетона, МПа							Сумма значений ряда
	5,8-7	7,1-8,2	8,3-9,4	9,5-10,6	10,7-11,8	11,9-13	13,1-14,2
Число значений прочности в области интервала  mi	5	11	19	31	25	16	3	110
Частота разряда или статистическая вероятность Pi	0,045	0,100	0,173	0,282	0,227	0,145	0,027	1

 

Для построения теоретической кривой или кривой нормального рас пределения введем нормированное отклонение и воспользуемся следующей формулой нормального нормированного распределения

 

(1)

 

а так же формулами для определения средней арифметической х0

 

(2)

 

и среднего квадратического отклонения

 

(3)

 

где h - размер интервалов, на которые разбита совокупность определений прочности; - общее число определений прочности; - относительная величина, удобная для вычислений;

 

(4)

 

С - начало условного отсчета, соответствующее примерно середине общего интервала определения прочности (для данного случая С = 10). Результаты выполненных расчетов сведём в табл. 2, по которой удобно делать сравнение кривых эмпирического и теоретического распределения. Используя формулы (2), (2), определим величины х0и .

 

 

 

 

 

 

 

Теоретическое число значений прочности определено по формуле

 

 

 

Сравнение эмпирических mi и теоретических величин показывает, что они близки между собой. Это подтверждается и на рис. 1, где экспериментальная кривая распределения прочности бетона практически повторяет теоретическую.

Однако определение близости кривых по графику может быть недостаточно точным. Разные исследователи по-разному могут оценивать расхождение между ними.

В статистике разработан ряд объективных оценок, называемых критериями согласия. Воспользуемся уже названным ранее критерием Пирсона, основанным на –распределении

 

где и - соответственно эмпирические и теоретические частоты распределения; п - число интервалов (разрядов).

Критерий является наиболее состоятельным при большом числе наблюдений. Его состоятельность заключается в том, что он почти всегда отвергает неверную гипотезу, т. е. обеспечивает минимальную ошибку в принятии неверной гипотезы по сравнению с другими критериями.

 

Таблица 2 – Результаты расчетов

xi, МПа	mi (эмпир)	εi	mi·ε	mi·ε2	xi-xo	u=(xi-xo)/σx	f(u)	m`i	округленное m`i
6,4	5	-3,0	-15	45	-3,7	-2,2	0,038	2,9	3,0
7,65	11	-2,0	-22	44	-2,5	-1,4	0,142	10,9	11,0
8,85	19	-1,0	-19	19	-1,3	-0,7	0,304	23,5	23,0
10,05	31	0,0	0	0	-0,1	0,0	0,399	30,8	31,0
11,25	25	1,0	25	25	1,1	0,7	0,319	24,7	25,0
12,45	16	2,0	32	64	2,3	1,4	0,156	12,1	12,0
13,65	3	3,0	9	27	3,5	2,1	0,047	3,6	4,0
сумма	110	-	10	224	-	-	-	-	109

 

Рисунок 1 – Экспериментальная (сплошная) и теоретическая (пунктирная) кривые распределения плотности и вероятности.

Критерий применим и тогда, когда теоретические значения параметров функции распределения неизвестны.

 

 

 

Пользуясь табл. 3 прил. 2 в зависимости от числа степеней свободы и уровня значимости 0,05 находим . Если , то расхождение между эмпирической и теоретической кривыми распределения можно признать случайным и незначимым.

Число степеней свободы (к- число разрядов, r - число параметров для нормального распределения 2: х0 и )

По табл. 3 прил. 2 находим, что при уровне значимости 0,05 и ,

 

Т.е (9,5 > 3,73)

   Следовательно, данные наблюдений согласуются с гипотезой о нормальном распределении генеральной совокупности.

При отсутствии таблиц можно воспользоваться формулой Романовского. Если выполняется соотношение

 

 

 

то эмпирическое распределение согласуется с нормальным:

 

 

 

Этот критерий также подтверждает вывод о согласовании с нормальным эмпирического распределения результатов испытаний бетона.