Анализ рядов динамики

Средний темп прироста – характеризует, на сколько процентов в среднем в единицу времени изменяются уровни изучаемого временного ряда. Вычисляется по формуле:

Это значит, что во Франции в период с 1977 года по 2000 год в среднем значения экспорта и импорта ежегодно увеличивались на 7% и 6% соответственно по отношению к показателям предшествующего года.

2. Трендовые модели и прогнозирование

Компоненты динамического ряда

Уровни временного ряда могут быть представлены в виде функций четырех компонентов: трендовой, сезонной, циклической и случайной.

где   T  - главная компонента, отражающая основную

              тенденцию развития, так называемый  тренд;

      C – циклическая (конъюнктурная) компонента;

      S – сезонная компонента;

      e – случайная компонента. 

Трендовая - формируется в результате действия основных факторов длительное время, оказывающих влияние на уровни динамического ряда. Эти факторы формируют основную тенденцию ряда, которая получила название «тренд».

Сезонная – это различные действия факторов, влияние которых проявляется в виде однообразно повторяющихся из года в год внутригодичных колебаний уровня динамического ряда.

Циклическая – формируется под влиянием факторов которые повторяются с определенной периодичностью. Появление периодической компоненты связано с экономическими циклами разной периодичности.

Случайная компонента – различное влияние факторов , которые действуют без определенной периодичности, то есть не подчиняются никакой закономерности. Чем больше влияние нетрендовых компонент, тем сложнее обнаружить и описать основную тенденцию ряда. Центральной задачей при изучении рядов динамики, является анализ основной тенденции.

Для выявления основной тенденции динамических рядов используются приемы выравнивания: механическое и аналитическое. Механическое осуществляется двумя методами: метод укрупнения интервалов и скользящей средней.

Метод укрупнения интервалов особенно эффективен, когда уровни представлены по дням, неделям или месяцам.

Выравнивание ряда на основе скользящего среднего предполагает замену фактических уравнений на выровненные. Выровненные – это среднее значение за n временных периодов сглаживания. Период величиной m скользит по динамическому ряду, последовательно захватывая его уровни. Рассчитанные средние значения относятся к уравнению, стоящему в центре периода сглаживания. Поэтому рекомендуется период сглаживания брать нечетным.

Наиболее популярный метод – аналитическое выравнивание. Его суть состоит в замене фактических уравнений на теоретические, то есть уравнения, рассчитанные по уравнению тренда. Уравнение тренда – это парное уравнение регрессии, в котором в качестве фактора выступает время:

Переменная t вводится в анализ простой последовательностью чисел от 1 до n, где n – длина динамического ряда.

Рассмотрим наиболее используемые типы уравнений тренда:

Линейная форма тренда:

,

где - уровень ряда, полученный в результате выравнивания по прямой;

  - начальный уровень тренда;

  - средний абсолютный прирост; константа тренда.

Для линейной формы тренда характерно равенство так называемых первых разностей (абсолютных приростов) и нулевые вторые разности, т. е. ускорения.

Параболическая (полином 2-ой степени) форма тренда:

Для данного типа кривой постоянными являются вторые разности (ускорение), а нулевыми – третьи разности.

Параболическая форма тренда соответствует ускоренному или замедленному изменению уровней ряда с постоянным ускорением. Если < 0 и  > 0, то квадратическая парабола имеет максимум, если > 0 и  < 0 – минимум. Для отыскания экстремума первую производную параболы по t приравнивают 0 и решают уравнение относительно t.

 

Показательная форма тренда:

После построения уравнений тренда получились следующие результаты:

Таблица 4

Значения трендов полученные для экспорта

Тип тренда								F
	38.99	11.43		4.33	18.16		0.937	1036
	61.08	6.33	0.21	4.63	2.6	2.16	0.949	807.5
	0	1.06		13.73	255.7		0.936	1015

 

Таблица 5

Значения трендов полученные для импорта

Тип тренда								F
	54,58	10,58		5,96	16,57		0,926	1030,7
	68,96	7,26	0,13	4,84	2,77	1,3	0,931
	86,44	1,05		13,99	255,8		0,919	948

 

Для идентификации тренда используется формальный метод, который основывается на использовании численного критерия. В качестве такого критерия рассматривается максимальный коэффициент детерминации:

.

Коэффициент детерминации показывает, какая доля общей дисперсии результативного признака обусловлена вариацией признака – фактора. Так же должен быть как можно больше F – критерий и t – статистика должна быть больше двух.

По экспорту и по импорту лучшая форма тренда –линейная. Проверяем для данного уравнения автокорреляцию в остатках. Экспорт:

Таблица 6

Проверка автокорреляции в остатках для линейной модели по экспорту

Lag	Auto-Corr	Std Err.	Box & Ljung Q	p
1	0,663928	0,191987	11,95909	0,000545
2	0,321232	0,187767	14,88593	0,000587
3	0,072608	0,183450	15,04258	0,001783
4	-0,167112	0,179029	15,91389	0,003142
5	-0,318166	0,174496	19,23848	0,001739

 

Рисунок 5 Автокорреляция в остатках линейной модели экспорта Франции в период с 1977 года по 2000 год

Как видно, при лаге равном единице в остатках ряда присутствует значительная автокорреляция. Следовательно, существует неописанная данной функцией зависимость в изменении уровней ряда, и осуществлять прогноз на основе показательной функции нельзя. Такая же ситуация складывается и для остальных функций.

 Проверка автокорреляции в остатках по импорту:

Таблица 7

Проверка автокорреляции в остатках для линейной модели по импорту

Lag	Auto-Corr	Std Err.	Box & Ljung Q	p
1	0,597211	0,191987	9,67636	0,001868
2	0,152425	0,187767	10,33534	0,005703
3	-0,136887	0,183450	10,89213	0,012333
4	-0,261973	0,179029	13,03339	0,011125
5	-0,366302	0,174496	17,44005	0,003743

 

Рисунок 6 Автокорреляция в остатках линейной модели импорта Франции в период с 1977 года по 2000 год

Здесь, так же как и в предыдущем случае при лаге равным единице есть существенная автокорреляция. Следовательно, прогнозировать на основе линейной модели нельзя. У остальных трендовых моделей либо присутствует автокорреляция в остатках, либо не все коэффициенты значимы. Прогнозировать по таким моделям нельзя. Такая же ситуация складывается и для остальных функций.

Проведение периодизации так же не дало положительных результатов. Периодизация ряда динамики – это разделение его на временные этапы, однородные с точки зрения основной тенденции развития явления. Это, своего рода, типологическая группировка во времени. Используя рисунки, 1 и 3, выбираем последний период, в котором экспорт и импорт в основном увеличиваются. У экспорта он начинается с 1992 года (период времени 16), у импорта с 1996 (период времени 20).

Таблица 8

 Исходные данные  для проведения периодизации

Экспорт, $ млрд.	t	Импорт, $ млрд.	t
235,869	16	281,75	20
209,349	17	271,914	21
235,905	18	290,241	22
286,738	19	294,928	23
287,667	20	310,926	24
289,736	21
305,641	22
302,477	23
300,024	24

 

Для данных в таблице 8 строим трендовые модели (те же что и в таблицах 4 и 5 ).

Экспорт линейная модель:

Таблица 9

Проверка значимости параметров уравнения для линейной модели по экспорту

	Estimate	Standard error	t-value df=21	p-level	Lo. Conf Limit	Up. Conf Limit
a0	46,44267	49,01481	0,947523	0,374926	-69,4589	162,3443
a1	11,30790	2,43057	4,652367	0,002335	5,5605	17,0553

 Как видно из таблицы 9 только один коэффициент значим, то есть применять эту модель  тренда нельзя. Для остальных моделей получилось, что все коэффициенты незначимы.

Импорт линейная модель:

Таблица 10

Проверка значимости параметров уравнения для линейной модели по импорту

	Estimate	Standard error	t-value df=21	p-level	Lo. Conf Limit	Up. Conf Limit
a0	110,9466	56,25574	1,972183	0,143142	-68,0843	289,9775
a1	8,1366	2,55181	3,188557	0,049766	0,0156	16,2576

Как видно из таблицы 10 только один коэффициент значим, то есть применять эту модель тренда нельзя. Для остальных моделей получилось, что все коэффициенты незначимы.

Получается, что ни одной из представленных моделей тренда нельзя полностью описать тенденцию данных динамических рядов. Следовательно, прогнозирование на основе этих моделей делать нельзя. Далее теоретически рассмотрим, что бы мы делали, если бы, хоть одна модель могла полностью описать тенденцию одного из динамических рядов.

Экстраполяция на основе трендовых моделей.

Экстраполяция – это продление в будущее тенденции, сложившейся в прошлом. Необходимые условия для прогнозирования:

• Уравнение тренда статистически значимо
• Параметры уравнения статистически значимы
• Отсутствие автокорреляции в остатках
• Действие факторов, сформировавших описываемую тенденцию развития в будущем сохранится неизменным