Орбиты в звездных системах

Динамика любой  звездной системы (галактики, звездного  скопления или кратной звезды) описывается множеством орбит компонентов. Если в звездной системе преобладают орбиты с уходами, то система неустойчива - она распадается на отдельные подсистемы. Например, неустойчивая тройная система распадается на двойную систему и уходящую от нее по гиперболической орбите одиночную звезду. Если в звездной системе уходы невозможны, то система устойчива. Все расстояния между звездами остаются ограниченными на бесконечном интервале времени.

1. Введение

Динамика любой  звездной системы (галактики, звездного скопления или кратной звезды) описывается множеством орбит компонентов. Если в звездной системе преобладают орбиты с уходами, то система неустойчива - она распадается на отдельные подсистемы. Например, неустойчивая тройная система распадается на двойную систему и уходящую от нее по гиперболической орбите одиночную звезду. Если в звездной системе уходы невозможны, то система устойчива. Все расстояния между звездами остаются ограниченными на бесконечном интервале времени.

Важную роль в динамике звездной системы играют периодические орбиты. Если начальные условия находятся в окрестности устойчивой периодической орбиты (устойчивого резонанса), то звездная система будет устойчива - движения звезд остаются ограниченными. Если начальные условия находятся в окрестности неустойчивой периодической орбиты (неустойчивый резонанс), то система эволюционирует сложным непредсказуемым путем. В окрестности неустойчивых резонансов зарождается детерминированный хаос (см., например, [7,6]).

При исследовании динамики звездных систем определенного типа (например, кратных звезд) важно провести классификацию орбит и оценить долю орбит с уходами и долю устойчивых орбит.

В докладе будут рассмотрены  звездные системы двух типов. Во-первых, это галактики, состоящие из звезд, где орбиты звезд определяются регулярным полем системы. Во-вторых, это тройные звезды, в которых максимальный вклад вносят иррегулярные силы.

Обе эти задачи сводятся к исследованию динамических систем с небольшим числом степеней свободы, что, в свою очередь, представляет интерес не только для астрономии, но и для физики, и для математики, и для других областей науки.

2. Орбиты  звезд в галактических моделях

Многие галактики  в первом приближении можно считать  ротационно-симметричными, то есть обладающими осью симметрии и ортогональной ей плоскостью симметрии. В ротационно-симметричной системе потенциал регулярного поля зависит только от двух координат - расстояния от оси симметрии и расстояния от плоскости симметрии: . В такой системе существуют два интеграла движения: интеграл энергии и интеграл площадей .

Используя интеграл площадей , мы сводим задачу к двумерной. Движение рассматривается в сопутствующей (меридиональной) плоскости в поле эффективного (приведенного) потенциала

Сопутствующая плоскость вращается вместе со звездой  вокруг оси симметрии. Уравнения движения частицы в этой плоскости имеют вид

Звезда в  сопутствующей плоскости  может двигаться в пределах области возможных движений, где

Из уравнений  движения (2) можно получить уравнение для кривизны траектории

Здесь - угол между касательной к траектории и осью ; и - направления вдоль касательной и нормали к траектории.

Угол  описывает поле скоростей (поле направлений), создаваемое витками траектории в сопутствующей плоскости. Возможно описание свойств движения звезды в поле эффективного потенциала с помощью поля направлений (см. обзор Агекяна [1]).

В частности, было установлено, что в точках касания траекторией  контура орбиты или контура складки  поля направлений выполняется равенство 

Это равенство  позволяет наносить точки контуров орбиты и складок при движении вдоль траектории.

Рассмотрим поведение  поля скоростей в окрестности  неустойчивой периодической орбиты на примере известной модели Энона-Хейлеса [14] с приведенным потенциалом

В этом потенциале известно много периодических орбит. Рассмотрим одну из них - неустойчивую центральную периодическую орбиту при  с начальными условиями

На рис. 1 показана эволюция поля скоростей по мере приближения к неустойчивой периодической орбите при увеличении интеграла энергии. При малых значениях орбита является оболочкообразной и не имеет складок. Затем появляются три складки, которые постепенно разрастаются и перекрываются. Далее на серединах контуров складок первого порядка появляются складки второго порядка, которые постепенно увеличиваются и вытягиваются вдоль контуров складок первого порядка. На углах складок второго порядка образуются складки третьего порядка (рис. 2).

Что происходит при дальнейшем приближении к неустойчивой периодической  орбите, пока остается неясным. Численное  моделирование показывает разрушение "складчатой" структуры и наступление стохастичности. Однако такой результат может быть обусловлен ошибками численного интегрирования.

После перехода через неустойчивый резонанс поле направлений восстанавливает  регулярную форму. В зонах с большим числом неустойчивых периодических орбит поведение поля скоростей кажется стохастическим, однако в переходных зонах могут присутствовать элементы регулярности.

Теперь рассмотрим орбиты звезд в более реалистичных моделях, представляющих регулярное поле Галактики. На рис. 3 изображена орбита Солнца - типичной звезды галактического диска - в сопутствующей плоскости. Витки траектории заполняют ящик. В трехмерном пространстве орбита заполняет тор (бублик). Большинство звезд диска Галактики имеют ящикообразные орбиты. Исключение составляют траектории, попадающие в окрестности устойчивых периодических орбит (устойчивых резонансов). Тогда орбита является трубкообразной (рис. 4). Звезды гало могут иметь более экзотические орбиты (рис. 5).

Представляет  интерес рассмотреть распределения  элементов орбит звезд окрестности  Солнца, поскольку эти распределения  могут дать полезную информацию о  процессе звездообразования в диске  Галактики. Будем характеризовать орбиту каждой звезды двумя параметрами:

• эксцентриситет

• относительное максимальное удаление от плоскости симметрии 

Здесь и - максимальное и минимальное удаления звезды от оси симметрии; - максимальное удаление от плоскости симметрии.

На рис. 6 и 7 представлены распределения и , построенные по данным о звездах окрестности Солнца радиусом 25 парсек из каталога Глизе и Ярайса [4]. Распределения несимметричны: большинство орбит близки к круговым и сильно сплюснуты к плоскости Галактики. Это орбиты звезд диска. Заметим однако, что распределения убывают при и . Этот факт может говорить о некотором спаде процесса звездообразования в современную эпоху, поскольку формирование звезд идет в облаках, движущихся в Галактике по орбитам, близким к круговым, и происходит "разогрев" диска за счет сближений звезд с облаками газа. Или просто Солнце сейчас находится вдали от областей активного звездообразования.

На распределениях и заметны вторичные максимумы, которые могут свидетельствовать о наличии периодов повышенного темпа звездообразования в диске Галактики. Однако эти максимумы не являются статистически значимыми, поэтому делать какие-либо выводы о наличии нескольких периодов усиленного звездообразования в диске Галактики по этим данным пока преждевременно.

Исследуя орбиты близких звезд относительной  солнечной орбиты, мы можем найти звезды, которые могли испытать в прошлом или, возможно, испытают в будущем сближение с Солнечной системой в пределах внешнего облака Оорта, то есть с минимальным расстоянием от Солнца менее астрономических единиц.

Данные о  таких звездах представлены в  таблице. В таблице приведены  номер звезды по каталогу Глизе и Ярайса [4], название звезды, ее спектральный тип, масса, минимальное расстояние между Солнцем и звездой, момент времени сближения по отношению к современной эпохе. Заметим, что из семи приведенных звезд шесть испытают сближение с Солнечной системой в будущем и лишь одна звезда - в прошлом (около 500000 лет тому назад). Интересно, что четыре сближения произойдут в течение ближайших 50000 лет.

Эти сближения  могут вызвать обильные кометные ливни из внешней части облака Оорта в пределы планетной системы, что, в свою очередь, увеличивает вероятность столкновения с кометным ядром. Таким образом, кометные ливни могут приводить к экологическим катастрофам и массовым вымираниям организмов.

Звезды, сближающиеся с Солнцем

Еще один возможный  фактор, приводящий к кометным ливням, - прохождения Солнечной системы  через плоскость Галактики, где  наблюдается повышенная концентрация молекулярных облаков. Воздействие  молекулярных облаков на Солнечную  систему может быть многогранным:

1)

гравитационное возмущение на внешнюю часть облака Оорта;

2)

насыщение дополнительной пылевой  материей Солнечной системы;

3)

дополнительный приток кометных ядер.

Подтверждение роли прохождений Солнца через галактическую  плоскость в эволюции Земли - квазипериодичность массовых вымираний организмов и  интенсивности импактных событий  в истории Земли. Период около 30 миллионов  лет сопоставим со средним интервалом времени между последовательными пересечениями галактической плоскости. Кстати, последнее прохождение имело место около 3 миллионов лет назад, а последнее массовое вымирание - около 11 миллионов лет назад.

Заметим, что  три наиболее интенсивные вымирания (в том числе и вымирание динозавров около 65 миллионов лет назад) имели место вблизи апоцентра солнечной орбиты в Галактике (рис. 8). Недавно в этой области было обнаружено кольцо повышенной плотности молекулярного и атомарного водорода [9]. Возможно, вымирания были вызваны сближениями Солнечной системы с облаками из этого кольца.

3. Орбиты  звезд в тройных системах

Перейдем теперь к рассмотрению орбит в тройных системах. Общая задача трех тел - классическая задача аналитической механики, небесной механики и звездной динамики (см., например, монографии [5,8,2]). Она находит применение при изучении динамики тройных звезд и триплетов галактик.

Представляет интерес изучение возможных типов движений тройных систем. Для тройных систем с положительной полной энергией основные типы движений: пролет, обмен (перезарядка), захват (рекомбинация) и разрушение двойной (ионизация). Пролеты не меняют состояние системы - одиночные тела и двойные системы сохраняются при . При обмене происходит замена одного из компонентов двойной системы на одиночное тело. Двойную систему составляют разные тела. В результате захвата при сближении трех одиночных звезд образуется двойная система, а третий компонент уходит от нее по гиперболической орбите. Из обратимости движений во времени сразу следует возможность разрушения двойной при сближении ее с одиночной звездой.

Для тройных систем с отрицательной полной энергией наряду с пролетами, обменами и захватами возможны и другие типы движений: ограниченные движения, периодические орбиты, осциллирующие движения. Уход одного из тел из тройной системы может произойти в результате длительного и сложного взаимодействия всех трех тел. Пример эволюции распадающейся тройной системы длительной эволюцией показан на рис. 9. В ходе эволюции происходят сближения и выбросы тел. Распад тройной системы происходит в результате тесного тройного сближения тел.

Наряду с  неустойчивыми тройными системами  существуют тройные системы с  ограниченными движениями. Их можно  разделить на два типа:

1)

иерархические системы;

2)

неиерархические системы в окрестности устойчивых периодических орбит.

Движения в  иерархической тройной системе  можно представить как суперпозицию двух возмущенных кеплеровских движений. В литературе известны критерии устойчивости таких систем (см., например, книгу [5]). Для устойчивости по Хиллу (невозможности обмена компонентами) достаточно, чтобы в тройной системе выполнялось условие

где и - угловой момент и полная энергия тройной системы; - критическое значение параметра устойчивости , соответствующее эйлерову решению задачи трех тел. Величина

где - постоянная тяготения, - средняя масса тел в тройной системе. Безразмерный параметр зависит только от отношения масс тел. В случае равных масс

Однако устойчивость по Хиллу не гарантирует устойчивости по Лагранжу (ограниченности движений). Уход удаленного компонента из тройной  системы без предшествующего  обмена в принципе возможен всегда [11].

В то же время  наблюдается значительное число  иерархических тройных звезд, которые  устойчивы на космогонических временах [10]. Это означает, что принципиальная возможность распада иерархической тройной системы еще не говорит о том, что распад обязательно произойдет. По-видимому, для ухода удаленного компонента без обмена необходимо выполнение каких-то специальных условий, например резонансной "подкачки" энергии удаленного тела за счет увеличения тесноты внутренней двойной. Этот вопрос требует дополнительного исследования.

Перейдем теперь к рассмотрению устойчивых неиерархических  тройных систем, порождаемых устойчивыми резонансами. Один из наиболее известных случаев - устойчивые орбиты в окрестности треугольного решения Лагранжа. В Солнечной системе это группы астероидов Греков и Троянцев в окрестностях треугольных точек либрации системы Солнце-Юпитер. Однако для устойчивости таких систем необходимо большое различие масс компонентов:

поэтому в звездных системах с компонентами сравнимых  масс такие устойчивые орбиты не реализуются.

Периодические орбиты были найдены в двух частных  случаях общей задачи трех тел:

1)

прямолинейная задача;

2)

равнобедренная  задача.

В первом случае это центральная периодическая  орбита Шубарта [13]. Она изображена на рис. 10 для случая равных масс в координатах , где и - расстояния от центрального тела до правого и левого тел соответственно. Во втором случае также имеется центральная периодическая орбита [3]. Она представлена на рис. 11 для случая равных масс в координатах , где - расстояние между крайними телами и - удаление центрального тела от центра масс крайних тел.

При задании  начальных условий в окрестности  устойчивой периодической орбиты движения остаются ограниченными, то есть имеет место устойчивость по Лагранжу, хотя система является неиерархической. Для примера на рис. 12 показана область начальных условий, соответствующих устойчивым орбитам, в плоской равнобедренной задаче трех тел равных масс. Для задания начальных условий использовались два параметра:

- вириальный  коэффициент 

где и - начальные кинетическая и потенциальная энергии тройной системы;

- отношение  начальных скоростей 

Эта область  имеет форму полумесяца. Центральной  периодической орбите соответствуют начальные условия

Заметим, что  устойчивость сохраняется и при  небольших отклонениях от прямолинейности  или равнобедренности. Пример такой  устойчивой орбиты типа "цепочка" показан на рис. 13. В этой системе, как и в прямолинейной задаче, центральное тело совершает колебания между двумя крайними телами.

Более экзотический пример показан на рис. 14. Здесь происходят сближения всех трех пар тел. Область орбиты заполняет тор (бублик). Движения синхронизованы так, что не происходит тесных тройных сближений: когда происходит сближение одной из пар тел, третье тело находится в апоцентре своей орбиты.

Заметим, что  одну оригинальную периодическую орбиту в общей задаче трех тел равных масс обнаружили недавно Шансине  и Монтгомери [12]. В этой системе три тела движутся друг за другом вдоль "восьмерки" (рис. 15). Их движения синхронизованы таким образом, что не происходит тройных сближений и тесных двойных сближений. Небольшие вариации начальных условий или масс тел приводят к прецессии орбит (рис. 16), однако устойчивость системы по Лагранжу при этом сохраняется.

Все приведенные  выше примеры устойчивых неиерархических  тройных систем свидетельствуют  о том, что в мире тройных звезд  наряду с устойчивыми иерархическими системами могут быть и устойчивые неиерархические системы. Они могут сформироваться как при определенном выборе начальных условий, так и в результате распада систем большей кратности.

4. Заключение

В настоящем  докладе рассмотрены динамические системы двух видов:

- движения звезд  в регулярных полях галактик, обладающих ротационной симметрией;

- движения компонентов  в тройных звездах. 

В обоих случаях  важную роль играют периодические орбиты. Неустойчивые периодические орбиты порождают стохастичность орбит - резкое усложение поля скоростей. Устойчивые периодические орбиты концентрируют вокруг себя области регулярных движений. Они могут быть причиной звездных потоков в поле Галактики и устойчивых неиерархических тройных звезд.

Оглавление

• Оглавление
• 1. Введение
• 2. Орбиты звезд в галактических моделях
• 3. Орбиты звезд в тройных системах
• 4. Заключение
• Литература

Литература

1. Agekian T.A. // Structure and Evolution of Stellar Systems / ed. Agekian T.A., Myllari A.A., Orlov V.V. St. Petersburg: St. Petersburg Univ. Press, 1997. P.5.

2. Boccaletti D., Pucacco G. Theory of orbits. Volume 1: Integrable systems and non-perturbative methods. AA Libr. B., 1996.

3. Broucke R. // Astron. Astroph. 1979. V.73. P.303.

4. Gliese W., Jahreiss H. Catalogue of Nearby Stars. Unpublished, 1991.

5. Голубев В.Г., Гребеников Е.А. Проблема трех тел в небесной механике. М., 1985.

6. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику: от маятника до турбулентности и хаоса. М., 1988.

7. Лихтенберг Л.Л., Либерман П. Регулярная и стохастическая динамика. М., 1984.

8. Marchal C. The Three-Body Problem. Amsterdam, 1990.

9. Olling R.P., Merrifield M.R. // Mon. Notic. Roy. Astron. Soc. 1998. V.297. P.943.

10. Орлов В.В., Петрова А.В. // Письма в Астрон. журн. 2000. Т.26. С.301.

11. Szebehely V., Zare K. // Astron. Astroph. 1977. V.58. P.145.

12. Chencinier A., Montgomery R. // Ann. Math. 2001. (In Press).

13. Schubart J. // Astron. Nachr. 1956. V.283. P.17.

14. Henon M., Heiles C. // Astron. J. 1964. V.69. P.73.