Расчетно-графическая работа по «Методам математического анализа в безопасности жизнедеятельности»

Министерство  образования и науки Российской Федерации 
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Поволжский государственный технологический университет" (ПГТУ)

 

 

 

Кафедра БЖД

 

 

 

Расчетно-графическая  работа

по «Методам математического анализа в безопасности жизнедеятельности»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2013

Задание№1. Расчет среднего количества шагов до поглощающего состояния системы.

 Вариант 19.

Дано: p₁₁, p₂₂, p₃₃, p₄₄, p_55, p_66, p_77,p_88, p₉₉ ≠0;

нет связи p₁₂, p₁₄, p₁₅, p_51, p₆₅;

Элементы матрицы :P_ij = №варианта_*0.00001_*│(i+j)│

Главная диагональ является замыкающим элементом.

P_ii = 1 - сумма всех остальных элементов строки.

При проведении анализа начальным  является состояние №8.

Цель работы: определить переходную вероятность, которое при наименьшем изменении даст наибольший рост количества шагов до поглощающего состояния.

Ход работы:

Составляем граф состояний  рассматриваемой системы и матрицу  переходов системы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Матрицу p называют матрицей переходов или переходной матрицей цепи Маркова. Каждый вектор матрицы p состоит из неотрицательных чисел, сумма которых равна 1.

Составляем переходную матрицу  в канонической форме. В канонической матрице можно выделить следующие  элементы:

I – единичная матрица, у которой элементы на главной диагонали равны 1, а остальные элементы равны 0. Для её получения вводим формулу I:=identity(8).

 

 

О – матрица, все элементы которой  равны 0.

Q – матрица, которая указывает переходные вероятности, определяющие переходы из непоглощающих состояний в непоглащающие. Для её получения вводим формулу Q :=submatrix(p, 2, 9, 2, 9).

 

 

 

 

Находим фундаментальную матрицу  поглощающей цепи Маркова N. Для этого находим матрицу A по формуле A=(I-Q).

 

 

 

 

 

 

Затем находим обратную ей матрицу  N=A^-1, которая будет фундаментальной матрицей.

 

 

 

 

 

Для поглощающей цепи Маркова среднее  время (число попаданий) до поглощения в поглощающее состояние S_j при условии, что в начальный момент она находилась в непоглощающем состоянии S_i, равно элементу (i, j) фундаментальной матрицы N. Среднее число шагов до поглощения, определяемое при условии, что в начальный момент процесс находился в непоглощающем состоянии S_i , равно сумме элементов i-й строки матрицы N.

Суммы строк:

 

Затем уменьшаем каждый элемент  матрицы p в 2 раза, изменяя остальные элементы так, чтобы сумма строки была равна 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При изменении смотрим изменения  суммы строки состояния №8. Находим отношение состояний, которые были изменены  при уменьшении значений матрицы, к исходному состоянию.

 

Исходное  среднее количество шагов 

Измененное среднее количество шагов 

Отношение количества шагов    9,382/6,367=1,47

 

Вывод: При уменьшении переходных вероятностей матрицы в 2 раза, что соответствует комплексным мероприятиям по обеспечению безопасности, количество шагов из 8  состояния увеличивается в 1,47 раза. Эффективность уменьшения переходных вероятностей средняя.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание №2. Расчет финальных вероятностей. Вариант 19

Цель работы: провести оптимизацию исходных параметров цепи Маркова.

Ход работы:

Расчет проводится по исходному  графу состояний, описывающему различные  комбинации отказов, предаварийных  состояний и исправных состояний  элементов технической системы. В целом такой граф характеризует  возможные ситуации и переходы из 1 комбинации в другую. Поглощающее  состояния отсутствуют, т.е. рассматриваются  предаварийные ситуации в течении  достаточно длительного времени  при постоянстве вероятностных  характеристик процесса.

Построим граф и соответсвующую ему матрицу. Граф из 1-го зад. с дополнениями.

Элементы матрицы :P_ij = №варианта_*0.00001_*│(i-j)│

Главная диагональ является замыкающим элементом.

P_ii = 1 - сумма всех остальных элементов строки.

Связи из 1 состояния  -  7, 4, 2

В стационарном режиме вероятность  войти в какое-либо состояние  равна вероятности выхода из него.

 

 

 

 

 

 

 

Правило составления уравнений  для финальных вероятностей: суммарный  поток вероятности, переводящий  систему S в состояние s_j из других состояний равен суммарному потоку вероятности, выводящему из состояния s_j.

Уравнение баланса для состояния  s_j

-

Составляем систему уравнений  Колмогорова на основе уравнения  баланса потоков вероятности, добавляя к нему нормировочное условие.

 

Перед системой уравнений необходимо ввести функцию Given, затем вводим сами уравнения. При этом в уравнениях пишется знак эквивалентности, а не присвоения.Составляем 9 уравнений. Причем 8 из них составляем по уравнению баланса, а одно - по нормировочному условию: сумма полных вероятностей равна 1, так как исследуемая система всегда находится в одном из 9 состояний.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вероятность p_i(i=1, 2,...n) является финальной вероятностью, которую можно истолковать как среднюю долю времени, которую в стационарном режиме цепь S в состоянии s_i.

 

 

Анализ

Следующим этапом убираем одно состояние  цепи, с наименьшей вероятностью.

 

 

Граф имеет вид:

Далее составляем новую  матрицу

 

 

 

 

 

 

 

 

Для новой матрицы составляем систему  уравнений.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Находим погрешность изменения  финальных вероятностей после удаления одного из состояний по формуле 

Δp*100%/ p_ИСХ. 

Δp = P исходной – Р упрощенной матрицы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вывод: Относительная погрешность изменения финальных вероятностей после исключения первого состояния велика (погрешность должна быть не более 10%), поэтому первое состояние нельзя удалять.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание №3. Расчёт вероятностей состояний для марковского процесса с непрерывным временем. Вариант 19,

 

Цель расчета  – определение зависимостей вероятностей состояний от времени для марковского процесса с дискретными состояниями и непрерывным временем с последующим анализом.

Исходным является граф состояний, по которому в дальнейшем составляется система уравнений.

 

 Поглощающие состояния  отсутствуют, но в отличие от  Марковских цепей их существование  не исключено, так как интерес  представляет переходной процесс  изменения вероятности во времени.  Поглощающее состояние может  моделироваться достаточно малым  значением интенсивности потока  событий, выводящих систему из  этого «квазипоглощающего» состояния.

Граф и переходная матрица взяты из 2 задания.

Элементы переходной матрицы применяются для вычисления интенсивностей событий по приведенной  формуле:

 

λ_ij = P_ij/Δt

Δt = 10, 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Матрица исходных данных

 

 

 

После ввода исходных данных вводится вектор-столбец начальных  условий. При наборе нужно обратить внимание на знак равенства (эквивалентности). Исследование зависимостей проводить  для 3-х случаев начальных условий:

P8=1

 

 

 

 

 

 

 

 

Данный вектор-столбец  означает, что в момент времени  t=0 система находилась в состоянии 8 с вероятностью 1. Очевидно что на практике может быть другая ситуация. Главное требование – сумма столбца должна быть равна 1.

 

Далее вводится матрица (фактически – вектор-столбец – один столбец, девять строк):

 

 

В левой части – произвольное имя, в скобках – имена переменных, в правой – вектор-столбец с  уравнениями, составленными на основе правила баланса потоков.

Для решения системы уравнений  необходимо задать диапазон изменения  времени переменная t и количество шагов n. Время, деленное на количество шагов, дает временной размер одного шага.

Одной из функций, позволяющей  решить систему дифференциальных уравнений, является rkfixed.

По полученным данным необходимо построить графики зависимостей вероятности нескольких состояний  от времени (то есть от количества шагов).