Расчет структурной схемы надежности технологического процесса

Для отказа системы с параллельным соединением элементов в течение наработки необходимо и достаточно, чтобы все ее элементы отказали в течение этой наработки. Так что отказ системы заключается в совместном отказе всех элементов, вероятность чего может быть найдена по теореме умножения вероятностей как произведение вероятностей отказа элементов, формула (3.5):

 (3.5)

Для систем из равнонадежных элементов, формула (3.5) имеет вид:

 (3.6)

Поскольку, произведение в правой части выражения (3.5) всегда меньше любого из сомножителей, т.е. вероятность отказа системы не может быть выше вероятности самого надежного ее элемента («лучше лучшего») и даже из сравнительно ненадежных элементов возможно построение вполне надежной системы.

 

3.3 Системы типа «m из n»

 

Систему типа «m из n» можно рассматривать как вариант системы с параллельным соединением элементов, отказ которой произойдет, если из n элементов, соединенных параллельно, работоспособными окажутся менее m элементов.

Рисунок 3 – Система «2 из 5»

 

На рис. 3 представлена система «2 из 5», которая работоспособна, если из пяти её элементов работают любые два, три, четыре или все пять (на схеме пунктиром обведены функционально необходимые два элемента, причем выделение первого и второго элементов произведено условно, в действительности все пять элементов равнозначны). Системы типа «m из n» наиболее часто встречаются в электрических и связных системах, технологических линий, а также при структурном резервировании.

Для расчета надежности систем типа «m из n» при сравнительно небольшом количестве элементов можно воспользоваться методом прямого перебора. Он заключается в определении работоспособности каждого из возможных состояний системы, которые определяются различными сочетаниями работоспособных и неработоспособных состояний элементов.

Расчет надежности системы «m из n» может производиться также комбинаторным методом, в основе которого лежит формула биномиального распределения. Биномиальному распределению подчиняется дискретная случайная величина k – число появлений некоторого события в серии из n опытов, если в отдельном опыте вероятность появления события составляет p. При этом вероятность появления события ровно k раз определяется по формуле (3.7):

 (3.7)

где  – биномиальный коэффициент, называемый «числом сочетаний по k из n»;

k – число появлений некоторого события в серии из n опытов;

Рk – вероятность безотказной работы системы «m из n».

 

Биноминальный коэффициент в свою очередь рассчитывается по формуле (3.8):

 (3.8)

Вероятность безотказной работы можно найти по формуле (3.9):

 (3.9)

Очевидно, при m равном 1 система превращается в обычную систему с параллельным соединением элементов, а при m равном n – с последовательным соединением.

 

4 Расчетная часть

 

 

4.1 Преобразование заданной структурной схемы и определение показателей надёжности

 

Структурная схема надежности приведена на рисунке 4. Значения интенсивности отказов элементов даны в 10-6 ч-1:

 

							4
1		2		3						5
							4’

 

 

Рисунок 4 - Исходная схема системы

Так как по условию все элементы системы работают в периоде нормальной эксплуатации, то вероятность безотказной работы элементов с 1 по 5 (рисунок 4 ) подчиняются экспоненциальному закону:

(4.1)

 

В исходной схеме, представленной на рисунке 4, элементы 1, 2 и 3 образуют последовательное соединение. Заменяем их эквивалентом А получим:

                                    

                                        (4.2)

Элементы 4 образуют параллельное соединение. Заменяем их квазиэлиментом B получим:

                                             

                                          (4.3)

 

После преобразования схема изображена на рисунке 5.

A		B		5

Рисунок 5 – Окончательная преобразованная схема

 

В преобразованной схеме (рисунок 5) элементы А, В и 5 образуют последовательное соединение. Тогда вероятность безотказной работы всей системы:

                                  

                                           (4.4)

Рассчитаем вероятности элементов и вероятность безотказной работы всей системы по формулам (4.1) – (4.4) при разной наработке.

При наработке t = 0,5 x 106 ч.:

При наработке t = 1 x 106 ч.:

При наработке t = 1,5 x 106 ч.:

При наработке t = 2 x 106 ч.:

При наработке t = 2,5 x 106 ч.:

При наработке t = 3 x 106 ч.:

Результаты расчетов вероятностей безотказной работы элементов 1 - 5 исходной схемы по формуле для наработки до 3·106 часов представлены в таблице 1.

Результаты расчетов вероятностей безотказной работы элемента А и квазиэлемента B и всей системы по формулам (4.1) - (4.4) также представлены в таблице 1.

На рисунке 6 представлен график зависимости вероятности безотказной работы системы P от времени (наработки) t.

По графику (рисунок 6, кривая P) находим для γ = 50%, Рγ= 0,5), а    γ - процентную наработку системы Тγ = 1,62∙106 ч.

Проверочный расчет при t = 1,62 ∙106 ч показывает (таблица 1), что Pγ =  0,4980 ≈ 0,50.

По условиям задания повышенная γ - процентную наработку системы Т’γ = 1,5∙Тγ = 1,5∙1,62∙106 = 2,43∙106 ч.

Расчет показывает (таблица 1), что при t = 2,43∙106 ч. для элементов преобразованной схемы (рисунок 5 ) PA = 0,5859, PB = 0,7079, P5 = 0,7843. Следовательно, из трех последовательно соединенных элементов минимальное значение вероятности безотказной работы имеет элемент А и именно увеличение его надежности даст максимальное увеличение надежности системы в целом.

Для того чтобы при ч. система в целом имела вероятность безотказной работы , необходимо, чтобы элемент А имел вероятность безотказной работы равную:

                          (4.5)

При этом значении эквивалент А станет более надежным в схеме (рисунок 5).

Очевидно, значение полученное по формуле (4.4), является минимальным для выполнения условия увеличения наработки не менее, чем в полтора раза, при более высоких значениях увеличение надежности системы будет также увеличиваться. Для дальнейшего расчета системы на надежность необходимо исключить более надежные элементы и вести вычисления по менее надежным.

Для определения минимально необходимой вероятности безотказной работы элемента 1 (рисунок 4) необходимо решить уравнение 

 

 

 

Заключение

 

 

Список использованных источников

 

1 Левин, В.И. Логическая теория надежности сложных систем [Текст]/ В. И. Левин. -  М.: Энергоатомиздат, 1985. - 608с.- Библиогр.: с.602-605. – 15000 экз. ISBN 5 – 8333 – 0147 – 5.

2 Сотсков, Б.С. Основы теории расчета  надежности элементов и устройств  автоматики и вычислительной  техники [Текст]/ Б.С. Сотсков. – М.: Высшая школа, 1970.- 270 с.- Библиогр.: с. 266-268.- 2000 экз. ISBN 5 – 8333 – 0119 – 10.

3 Маринин, С.Ю. Надежность технических  систем и техногенный риск. Методические  указания по выполнению курсовой  работы [Текст]/ С.Ю. Маринин; М-во образования Рос. Федерации, ГОУ ВПО КубГТУ.- Краснодар, 2004.-37с.