Векторы. Скалярное и векторное произведение векторов

НЕГОСУДАРСТВЕННОЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕУЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО  ОБРАЗОВАНИЯ

«МОСКОВСКИЙ ИНСТИТУТ ПРАВА» 
 

Экономический факультет 
 
 

Специальность  «НАЛОГИ И НАЛОГООБЛОЖЕНИЕ» 
 

Учебная дисциплина « Математика » 

КУРСОВАЯ  РАБОТА 

На  тему: «Векторы. Скалярное и векторное произведение векторов». 

                    Студентки     Твердиковой   Натальи    Викторовны 
 

Научный  руководитель________________________________________ 
 

Дата  представления__________________________________

Дата  защиты ________________________________________

Оценка _____________________________________________

г. Барнаул  2009г.

Содержание

 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение

      При изучении естественных наук часто приходится иметь дело с так называемыми векторными величинами или просто – векторами. Знать, что это такое и умение работать с векторами (или можно сказать по-другому: знать основы векторной алгебры) является наиглавнейшим условием успеха в изучении любой дисциплины, где встречаются векторные величины.

      Можно построить очень красивый дом, но будут ли уверены в своей безопасности его жильцы, если этот дом построен на песке? Векторная алгебра является фундаментом, на котором построено все здание классической физики. Объектом исследования являются векторы и действия над ними.

      Актуальность  выбранной темы заключается в  том, что и по математике и по физике школьникам о векторах рассказывают, но, во-первых, очень мало, во-вторых (и это - главное), учителя не подчеркивают, что эти знания являются ключом, которым открываются двери и в Механику, и в Электричество, и в Магнетизм, и в любую дисциплину, где фигурируют векторные величины.   Ключ-то совсем небольшой, но воистину золотой!   
 
 
 
 

Глава 1.Вектор

1.1. Понятие вектора

        Вектором называется семейство  всех  параллельных  между  собой  одинаково направленных и имеющих одинаковую длину отрезков.  Вектор

изображают  на  чертежах  отрезком  со  стрелкой  (т.е.  изображают  не  все

семейство отрезков,  представляющее  собой  вектор,  а  лишь  один  из  этих

отрезков). Для обозначения векторов в  книгах  и  статьях  применяют  жирные

латинские буквы а, в, с и так далее, а  в тетрадях и  на  доске  –  латинские

буквы с черточкой сверху. Той же буквой, но не жирной, а светлой  обозначают  длину  вектора.  Длину  иногда  обозначают также вертикальными черточками – как  модуль  (абсолютную  величину)  числа.

      Таким образом, длина вектора а обозначается через а или IаI, а в  рукописном тексте длина вектора а обозначается через а или IаI. В связи с  изображением векторов в виде отрезков следует  помнить,  что  концы  отрезка,

изображающего  вектор,  неравноправны:  одного  конца  отрезка  к   другому.

      Различают начало и конец вектора (точнее, отрезка, изображающего вектор). Весьма  часто  понятию  вектора  дается  другое  определение:  вектором называется  направленный  отрезок.  При  этом  векторы  (т.е.   направленные отрезки), имеющие одинаковую длину и  одно  и  то  же  направление, уславливаются считать равными.

     Векторы   называются  одинаково   направленными,  если   их   полупрямые

одинаково направлены.

   Иногда, вместо того, чтобы рассматривать  в качестве векторов множество всех равных направленных отрезков, берут только некоторую модификацию этого множества (фактормножество). Так, говорят о «свободных» (когда отождествляются все равные по длине и направлению направленные отрезки, считаясь полностью равными или одним и тем же вектором), «скользящих» (отождествляются между собой все направленные отрезки, равные в смысле свободных векторов, начала и концы которых расположены на одной прямой) и «фиксированных» векторах (по сути дела, просто о направленных отрезках, когда разное начало означает уже неравенство векторов). Говорят, что свободные векторы   и   равны, если найдутся точки E и F такие, что четырёхугольники ABFE и CDFE — параллелограммы. Замечание. «Ухищрение» (введение дополнительных точек) в определении равенства касается, прежде всего, случая, когда точки A,B,C,D располагаются на одной прямой. В противном случае определение выглядит проще: свободные векторы   и  , не лежащие на одной прямой, равны, если четырёхугольник ABDC — параллелограмм.

   Говорят, что скользящие векторы   и   равны, если

• точки A,B,C,D располагаются на одной прямой,
• векторы   и   равны между собой как свободные векторы.

Неформально говоря, скользящему вектору разрешено  двигаться вдоль его прямой без  изменения величины и направления.

     Замечание. Скользящие векторы особо употребимы в механике. Простейший пример скользящего вектора в механике — сила. Перенос такого начала вектора вдоль прямой, на которой он лежит, не меняет момента силы ни относительно какой точки; перенос же его на другую прямую, даже если не менять величины и направления вектора, может вызвать изменение его момента (скорее даже почти всегда вызовет): поэтому нельзя рассматривать силу как свободный вектор.

     Говорят, что фиксированные векторы   и   равны, если попарно совпадают точки A и C, B и D. Вектором в простейшем случае называется направленный отрезок, а в других случаях различные векторы — это разные классы эквивалентности направленных отрезков, определяемые неким конкретным отношением эквивалентности. Причем отношение эквивалентности может быть разным, определяя тип вектора («свободный», «фиксированный» и т. д.). Проще говоря, внутри класса эквивалентности все входящие в него направленные отрезки рассматриваются как совершенно равные, и каждый может равно представлять весь класс.

     Вектор, представленный набором n элементов (компонент)   допустимо обозначить следующим способами:

.

      Сложение  векторов почти всегда обозначается знаком плюс: .

Умножение на число — просто написанием рядом, без специального знака, например: , причём число при этом обычно пишут слева.

     Умножение на матрицу также обозначают написанием рядом, без специального знака, но здесь перестановка сомножителей в общем случае влияет на результат. Действие линейного оператора на вектор также обозначается написанием оператора слева, без специального знака. Длина (модуль) вектора   — скаляр, равный арифметическому квадратному корню из суммы квадратов координат (компонент) вектора. Обозначается   или просто a.

Вектор, начало которого совпадает с его  концом, называют нулевым:  Вектор   называют противоположным вектору  . Длиной вектора, или модулем вектора, называют длину соответствующего направленного отрезка:  . 
 
 
 
 
 

1.2. Линейные  операции над векторами 

     Суммой   двух векторов   и   называется вектор, который идет из начала вектора   в конец вектора   при условии, что вектор   приложен к концу вектора   (правильно треугольника). Построение суммы   изображено на рис. 1.

рис. 1

     Наряду  с правилом треугольника часто пользуются (равносильным ему) правилом параллелограма: если векторы   и   приведены к общему началу и на них построен параллелограмм, то сумма   есть вектор, совпадающий с диагональю этого паралеллограмма, идущей из общего начала   и   (рис. 2). Отсюда сразу следует, что  .

рис.2

     Сложение  многих векторов производится при помощи последовательного применения правила  треугольника (рис. 3, где изображено построение суммы четырех векторов  ,  ,  ,  ).

рис.3

     Разность   двух векторов   и   называется вектор, который в сумме с вектором   составляет вектор  . Если два вектора   и   приведены к общему началу, то разность их   есть вектор, идущий из конца   («вычитаемого») к концу   («уменьшаемого»). Два вектора равной длины, лежащие на одной прямой и направленные в противоположные стороны, называются взаимно обратными: если один из них обозначен символом  , то другой обозначается символом  . Легко видеть, что  . Таким образом, построение разности равносильно прибавлению к «уменьшаемому» вектора, обратного «вычитаемого».

     Произведение   (или также  ) вектора   на число   называется вектор, модуль которого равен произведению модуля вектора   на модуль числа  ; он параллелен вектору   или лежит с ним на одной прямой и направлен так же, как вектор  , если   - число положительное, и противоположно вектору  , если   - число отрицательное.

     Сложение  векторов и умножение вектора  на число называются линейными операциями над векторами.

     Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами:

1.  +   =   +      - коммутативность;

2.  + (  +  ) = (  +  ) +      - ассоциативность (по сложению);

3.  +   =   ;

4. 1 ×   =  ;

5.  + (- ) =   -   =   + (-1)  =  ;

6. α(β ) = (αβ)     - ассоциативность (по отношению к числам);

7. (α + β)  = α  + β     - дистрибутивность (по отношению к умножению на вектор);

8. α(  +  ) = α  + α     - дистрибутивность (по отношению к умножению на число),   α, β - числа.

      Эти свойства позволяют проводить преобразования в линейных операциях с векторами  так, как это делается в обычной алгебре: слагаемые менять местами, вводить скобки, группировать, выносить за скобки как скалярные, так и векторные общие множители. Свойства векторов незаменимы при сложении, вычитании векторов, при умножении векторов и умножении вектора на число, при упрощении выражений, при нахождении скалярного и векторного произведений векторов и много другого.