Анализ финансовых результатов на примере магазина «Кош»

          Для построения системы показателей используется корреляционный анализ. Основная задача которого, состоит в выявлении связи между случайными переменными путем точечной и интервальной оценки парных (частных) коэффициентов корреляции и детерминации.

              Выбор факторов, влияющих на исследуемый показатель, производится прежде всего исходя из содержательного экономического анализа. Для получения надежных оценок в модель не следует включать слишком много факторов.  Их число не должно превышать одной трети объема имеющихся данных. Для определения наиболее существенных факторов могут быть использованы коэффициенты линейной и множественной корреляции.

           При проведении корреляционного анализа вся совокупность данных рассматривается как множество переменных (факторов), каждая из которых содержит n-наблюдений; хik – i- ое наблюдение k-ой переменной.

           Связь между случайными величинами X и Y в генеральной совокупности, имеющими совместное нормальное распределение, можно описать коэффициентами корреляции:

      =   М ((X – mx) (Y – my)) / x y ,    или       =   Кxy / x y ,                                             ( 17 )

где  - коэффициент корреляции (или парный коэффициент корреляции)                             генеральной совокупности.

           Оценкой коэффициента корреляции  является выборочный парный коэффициент корреляции:

                N        _           _

          r =  (xi – x ) (yi – y) / nSxSy,                                                                                                                ( 18 )

              i = 1

  где  Sx.Sy – оценки дисперсии;

          x ,  y – наилучшие оценки математического ожидания.

           Парный коэффициент корреляции является показателем тесноты связи лишь в случае линейной зависимости между переменными и обладает следующими основными свойствами:

Свойство 1.  Коэффициент корреляции принимает значение в интервале (-1,+1), или    xy   < 1. Значение коэффициентов парной корреляции лежит в интервале от -1 до +1. Его положительное значение свидетельствует о прямой связи, отрицательное - об обратной, то есть когда растет одна переменная, другая уменьшается. Чем ближе его значение к 1 , тем теснее связь.  

              Коэффициент множественной корреляции, который принимает значение от 0 до 1, более универсальный: чем ближе его значение к 1, тем в большей степени учтены факторы, влияющие на зависимую переменную, тем более точной может быть модель.

Свойство 2. Коэффициент корреляции не зависит от выбора начала отсчета и единицы измерения, то есть

р  (1X +  2 Y + ) =   xy ,                                                                                                                                 ( 19 )

где 1, 2 ,  - постоянные величины, причем 1 > 0 , 2 > 0.

Случайные величины X,Y можно уменьшать (увеличивать) в  раз, а также вычитать или прибавлять к значениям X и Y одно и тоже число  - это не приведет к изменению коэффициента корреляции .

Свойство 3. При  = +-1 корреляционная связь представляется линейной функциональной зависимостью. При этом линии регрессии y по x  и  x по y совпадают.

Свойство 4. При  = 0 линейная корреляционная связь отсутствует и параллельны осям координат.

                Рассмотренные показатели во многих случаях не дают однозначного ответа на вопрос о наборе факторов. Поэтому в практической работе с использованием ПЭВМ чаще осуществляется отбор факторов непосредственно в ходе построения модели методом пошаговой регрессии. Суть метода состоит в последовательном включении факторов. На первом шаге строится однофакторная модель с фактором , имеющим максимальный коэффициент парной корреляции с результативным признаком. Для каждой переменной регрессии , за исключением тех, которые уже включены в модель , рассчитывается величина С(j) , равная относительному уменьшению  суммы квадратов зависимой переменной при включении фактора в модель. Эта величина интерпретируется как доля оставшейся дисперсии независимой переменной, которую объясняет переменная j. Пусть на очередном шаге k номер переменной, имеющей максимальное значение, соответствует j. Если Сk меньше заранее заданной константы, характеризующей уровень отбора, то построение модели прекращается. В противном случае k-я переменная вводится в модель.         

           После того, как с помощью  корреляционного анализа выявлены статистические значимые связи между переменными и оценена степень их тесноты, переходят к математическому описанию

           Регрессионной моделью системы взаимосвязанных признаков является такое уравнение регрессии, которое включает основные факторы, влияющие на вариацию результативного признака, обладает высоким (не ниже 0,5) коэффициентом детерминации и коэффициентом регрессии, интерпретируемыми в соответствии с теоретическим знанием о природе связей в изучаемой системе.

           Основной задачей линейного регрессионного анализа является установление формы связи между переменными, а так же выбор наиболее информативных аргументов Xj; оценивание неизвестных значений параметров aj уравнения связи и анализ его точности.

           В регрессионном  анализе вид уравнения выбирается исходя из физической сущности изучаемого явления и результатов наблюдений.  Простейший случай регрессионного анализа для линейной зависимости между зависимой переменной Y и независимой переменной Х выражается следующей зависимостью:

                              Y = a0 + a1X +  ,                                                                                                      ( 20 )

где a0 – постоянная величина (или свободный член уравнения).

a1 – коэффициент регрессии, определяющий наклон линии, вдоль которой           рассеяны данные наблюдений. Это показатель, характеризующий                   процентное  изменение переменой Y, при изменении значения X на                единицу. Если a1 > 0 –переменные X и Y положительно коррелированны,      если a2 < 0 – отрицательно коррелированны; 

         - независимая ((М (i j ) = 0, при i   j ) нормально распределенная случайная              величина – остаток (помеха) с нулевым математическим ожиданием (m =               0) и постоянной дисперсией ( D = 2 ). Она отражает тот факт, что                            изменение Y будет недостаточно  описываться изменением X –                                 присутствуют другие факторы, неучтенные в данной модели. 

           Параметры модели оцениваются по методу наименьших квадратов, который дает наилучшие (эффективные) линейные несмещенные оценки.

           Если записать выражение для определения коэффициентов регрессии в матричной форме, то становится очевидным, что решение задачи возможно лишь тогда, когда столбцы и строки матрицы исходных данных линейно независимы. Для экономических показателей это условие выполняется не всегда. Линейная или близкая к ней связь между факторами называется коллиниарностью и приводит к линейной зависимости нормальных уравнений, что делает вычисление параметров либо невозможным, либо затрудняет содержательную  интерпретацию параметров модели. Чтобы избавиться от коллиниарности, в модель включают лишь один из линейно связанных между собой факторов, причем тот, который в большей степени связан с зависимой переменной.

Проверка качества модели

              Качество модели оценивается стандартным для математических моделей образом: по адекватности и точности. Расчетные значения получаются путем подстановки в модель фактических значений всех включенных факторов.

           Кроме рассмотренных выше характеристик, целесообразно использовать корреляционное отношение (индекс корреляции), а также характеристики существенности модели в целом и ее коэффициентов.

              В качестве характеристики тесноты связи применяется индекс корреляции (Iyx )   переменных Y по X. 

                                   Iyx =        1- (2 / y2) ,                                                                                    ( 21 )

где  2 – это дисперсия параметра Х относительно функции регрессии, то есть                       остаточная дисперсия, которая характеризует влияние на Y прочих                           неучтенных факторов  в модели;

        y2 – полная дисперсия, она измеряет влияние параметра X и Y.

           Из этого следует, что  0  Iyx  1. При этом Iyx = 0 означает полное отсутствие корреляционной связи между зависимой переменной Y и объясняющей переменной Х. В то же время максимальное значение индекса корреляции (Iyx = 1) соответствует наличию  чисто функциональной связи между переменными X и Y и, следовательно, возможность детерминированного восстановления значений зависимой переменной Y по соответствующим значениям объясняющей переменной X.

           Данный коэффициент является универсальным, так как он отражает тесноту связи и точность модели, а также может использоваться при любой форме связи переменных. При построении однофакторной модели и их линейной зависимости он равен коэффициенту линейной корреляции.

              Коэффициент множественной корреляции (индекс корреляции), возведенный в квадрат, называется коэффициентом детерминации. Он показывает долю вариации результативного признака, находящегося под воздействием изучаемых факторов, то есть определяет, какая доля вариации признака Y учтена в модели и обусловлена влиянием на него факторов.

              В качестве меры точности применяют несмещенную оценку дисперсии остаточной компоненты , которая определяется по формуле:

                                          n         _

                             S = S2 /  (xi – x) ,                                                                                                                ( 22 )

                                         i=1

где S2 – дисперсия зависимой переменной Y.

                                      n         _                n

                             S2 =  (yi – yi)2 / n-2 =  i2 / n-2                                                                                    ( 23 )

                                     i=1                        i=1

           Квадратный корень из этой величины (S) называется стандартной ошибкой оценки:

                                                   n         _

                             S а1=       S2 /  (xi – x) ,                                                                                                  ( 24 )

                                                i=1                              

           Коэффициент а1 есть мера наклона линии регрессии. Очевидно, чем больше разброс значений Y вокруг линии регрессии, тем больше в среднем ошибка в определении ее наклона. Кроме того, чем больше число наблюдений n, тем больше сумма  (xi – x)2 и тем, самым меньше стандартная ошибка оценки а1 .

Проверка значимости модели регрессии осуществляется по F-критерию (критерий Фишера), расчетное значение которого определяется по формуле:

                           Fp = {Q1 * (n - m)} / {Q2 * (m-1)},                                                              ( 25 )

где m –  число объясняющих (независимых переменных);

       n – число наблюдений;

       Q1 - сумма квадратов, объясняемая регрессией, то есть сумма квадратов отклонений обусловленных влиянием признака Х;

      Q2 – остаточная сумма квадратов, характеризующая влияние неучтенных факторов.

           По заданному уровню значимости  и числу степеней свободы k1 =m-1 и k2 = n-m по таблице F-распределения находится значение  Fтабл  и сравнивается с расчетным Fp :

если Fp > Fтабл, то нулевая гипотеза Н0 отвергается и уравнение регрессии (модель) считается значимым;

если Fp < Fтабл, то нет основания отвергать нулевую гипотезу Н0.

           Значимость коэффициентов регрессии проверяется с помощью t-критерия, значение которого рассчитывается по формуле:

t = r / Sr = r     n-2  /       1 – r 2                                                       

где  r – коэффициента уравнения регрессии;                                         

       Sr -  среднеквадратическое отклонение r.

           При заданном  уровне значимости  и числе степеней свободы k = n – m – 1 определяется табличное значение  t – критерия и сравнивается  с расчетным  tp : - если tp >  tpасч коэффициент регрессии является значимым. В противном случае фактор, соответствующий этому коэффициенту, следует исключить из модели (при  этом ее качество не ухудшится).

Оценка влияния отдельных факторов на основе модели.

           Коэффициенты регрессии являются именованными числами, выраженными в разных единицах измерения. Поэтому трудно, а иногда невозможно сопоставить факторы Х по степени их влияния на зависимую переменную Y. Для устранения этого недостатка в практике экономического анализа  используются  следующие коэффициенты: