Задача формирования портфеля ценных бумаг

    Лабораторная  работа № 1 
Задача формирования портфеля ценных бумаг

    Цель  работы – освоение методики  формирования оптимального портфеля ценных бумаг  с учетом доходностей  и рисков на примере конкретных типовых задач.

      Краткие теоретические сведения

    Каждая  ценная бумага содержит две основные характеристики: доходность и риск. Причем, как правило, чем выше доходность, тем выше риск. Формирование портфеля состоит в распределении инвестиционного капитала в определенную совокупность ценных бумаг. Главная цель при формировании портфеля состоит в определении оптимального сочетания между риском и доходностью.

    Для получения количественных характеристик  инвестиционного портфеля могут  использоваться следующие показатели: доходность портфеля и риска портфеля .

    Для расчета доходности портфеля используется формула

     ,              (1)

где - доля инвестиций, помещенных в каждый из видов активов, а - доходность i-го актива.

    Параметры являются управляемыми инвестором параметрами при формировании портфеля.

    Доходность (ожидаемая доходность) активов, чаще всего вычисляется как статистическая средняя, а ожидаемая доходность как прогнозное значение.

    Для оценки риска портфеля, как и оценка риска отдельных активов могут  быть использованы разные показатели. Наибольшее распространение получила оценка риска через стандартное  отклонение ставок доходности по портфелю. Стандартное отклонение вычисляется по формуле:

               (2)

где - вариация портфеля, - ковариация, а - коэффициент корреляции i – ой и j – ой ценных бумаг, - стандартное отклонение (риск) i – ой ценной бумаги.

    Пусть по i –ой и j- ой ценным бумагам имеется статистические данные по уровню их доходности. 

 

    Тогда параметры  вычисляются по следующим формулам:

                 (3)

                (4)

    В частности, вариация i – ой ценной бумаги находится по формуле

                (5)

    Тогда

     .                      (6)

    Задача  оптимизации заключается в том, чтобы определить, какая доля капитала должна быть отведена для каждой из инвестиций так, чтобы величина ожидаемого дохода и уровень риска соответствовали целям инвестора. Например, если целью является минимизация риска с условием обеспечения доходности не ниже заданного уровня, то математическая формулировка такой задачи имеет следующий вид:

               (7)

    Решение такой задачи можно получить в  среде Excel с помощью надстройки «Поиск решения». Более подробно это будет рассмотрено на примере.

    В случае если инвестор имеет дело с  большим числом ценных бумаг вычисление всех ковариаций становится трудноразрешимой задачей. Для преодоления этих трудностей используется линейная регрессионная модель

               (8)

где - доходность ценной бумаги; - доходность рынка (индекс рынка), - случайная погрешность, - расчетная (по линейной модели) доходность i-ой ценной бумаги.

    Обозначим через 

                 (9)

    Тогда, используя модель (8), можно убедиться, что полная вариация i – ой ценной бумаги равна

                (10)

    Здесь - рыночная часть вариации, а - собственная часть вариации, где .

    Используя модель (8) и соотношение (10) получим, что

    

    а ,

    поэтому задачу (7) можно записать в виде

              (11) 

      В Таблице 1 приведена информация о доходности акций по 2-м ценным бумагам и индекс рынка на протяжении пятнадцати кварталов.

    Требуется:

1. определить характеристики каждой ценной бумаги: а₀, β, рыночный (или систематический) риск, собственный (или несистематический) риск, R², α;
2. сформировать портфель минимального риска из двух видов ценных бумаг при условии, что обеспечивается доходность портфеля (m_p) не менее чем по безрисковым ценным бумагам (облигациям) с учетом индекса рынка.
3. построить линию рынка капитала (CML);
4. построить линию рынка ценных бумаг (SML).

    Таблица 1.

 

    Решение:

    Сначала вводим всю информацию в Microsoft Excel. 

    

    Найдем  параметры модели с помощью инструмента  Регрессия Пакет анализа Excel.

    Для этого предварительно установим  Сервис Надстройки Пакет анализа:

    

    А затем Сервис Анализ данных Регрессия:

    

    

    В результате получим следующие данные:

    По  первой бумаге:

    

    По второй бумаге:

    

    Отсюда, а₁=2; β₁=0,73; R²₁=0,211; =9,43²=89,09 (за .приближенно можно взять стандартную ошибку).

    Наша  модель для первой ценной бумаги будет  иметь вид:

           . 

    а₂=1,45; β₂=0,58; R²₂=0,416; =8.306²=68.99.

    Модель  для второй ценной бумаги будет иметь  вид:

     .

    Рыночная  часть вариации i-ой ценной бумаги определяется по формуле , а собственная часть вариации - . Соответствующие риски определяются как корни из вариаций, т.е. рыночный риск , а собственный риск .

    

    Таким образом, Бумага недооценена.

    

    Таким образом, Бумага недооценена.

    Найдем  средние значения доходностей по рынку, облигациям и ценным бумагам. 

    

    Также найдем вариацию рынка по формуле:

     . 
 

    

    В нашем случае

    После нахождения характеристик приступим  к задаче оптимизации.

    

где m₀ – доходность по облигациям.

    Для этого опять воспользуемся электронными таблицами Excel.

    Внесем  все формулы: 

      

    Заметим, что х₁, х₂ всегда соответствуют ячейкам А2, В2, а целевая функция – ячейке Е2.

    Если  Вы все правильно заполнили, то получим  следующее: 

    Решим данную оптимизационную задачу, воспользовавшись инструментом Поиск решения Пакет анализа Excel.

    Получим следующие результаты: 
 

    Таким образом, оптимальные значения будут  следующими:

    х₁=1; х₂=0 при m_p=10,47.

    Коэффициент детерминации портфеля вычисляется  по следующей формуле:

      где  ,

     - рыночная часть вариации  портфеля

     - собственная часть вариации  портфеля

    Этот  коэффициент указывает на то, насколько  процентов вариация портфеля объясняется  вариацией рынка.

    Линия рынка капитала – это линейная модель, связывающая доходность портфеля с риском портфеля. Она имеет следующий вид:

,

    где - средняя доходность (индекс) рынка;

     - средняя доходность облигации; 

     - доходность портфеля;

     - риск портфеля;

    

    Линия рынка капитала (CML) в нашем случае будет иметь вид:

    

    Линия рынка капитала графически будет  иметь следующий вид: 

    

    Также построим линию рынка ценных бумаг (SML).

     .