Классические методы построения портфеля ценных бумаг

^j=1

В модели Марковитца для  измерения риска вместо среднеквадратичного  отклонения используется дисперсия D_i, равная квадрату s_i, так как этот показатель имеет преимущества по технике расчетов.

Инвестора, желающего оптимально вложить  капитал, интересует не столько сравнение отдельных видов ценных бумаг между собой, сколько сравнение всевозможных портфелей, так как это позволяет использовать эффект рассеивания риска, т.е. определяется ожидаемое значение дохода и дисперсия портфеля. Ожидаемое значение дохода Е портфеля ценных бумаг определяется как сумма наиболее вероятных доходов E_i различных ценных бумаг n. При этом доходы взвешиваются с относительными долями X_j (i = 1…n), соответствующими вложениям капитала в каждую облигацию или акцию:

_n

E = S X_i * E_i

ⁱ⁼¹

Для дисперсии эта  сумма применима с определенными  ограничениями, так как изменение  курса акций на рынке происходит не изолировано друг от друга, а охватывает весь рынок в целом. Поэтому дисперсия  зависит не только от степени рассеивания  отдельных ценных бумаг, а также от того, как все ценные бумаги в совокупности одновременно понижаются или повышаются по курсу, т.е. от корреляции между изменениями курсов отдельных ценных бумаг. При остальной корреляции между отдельными курсами (т.е. если все акции одновременно повышаются или понижаются) риск за счет вкладов в различные ценные бумаги нельзя ни уменьшить, ни увеличить. Если же курсы акций абсолютно не коррелируют между собой, но в предельном случае (портфель содержит бесконечное число акций) риск можно было бы исключить полностью, так как колебания курсов в среднем были бы равны нулю. На практике число ценных бумаг в портфеле всегда конечно, и поэтому распределение инвестиций по различным ценным бумагам может лишь уменьшить риск, но полностью его исключить невозможно.

Итак, при определении  риска конкретного портфеля ценных бумаг необходимо учитывать корреляцию (одно- ил разнонаправленность) курсов акций. В качестве показателя корреляции Марковитц использует ковариацию С_ik между изменениями курсов отдельных ценных бумаг (мера линейной зависимости двух случайных величин).

Таким образом дисперсия  всего портфеля рассчитывается по следующей  формуле:

_{n n}

V = S S X_i * X_k * C_ik

^{i=1 k=1}

По определению для i = k С_ik равно дисперсии акции. Это означает, что дисперсия, а значит, и риск данного портфеля зависят от риска данной акции, ковариации между отдельными акциями (т.е. систематического риска рынка) и долей X_j отдельных ценных бумаг в портфеле в целом.

Рассматривая теоретически предельный случай, при котором в портфель можно включать бесконечное количество ценных бумаг, дисперсия асимптотически будет приближаться к среднему значению ковариации С.

Графически это можно  представить в следующем виде (рис. 1):

 

 

 

 

                                 Количество ценных бумаг в портфеле

 

Рисунок 1 "Возможность уменьшения риска при помощи управления портфелем ценных бумаг"

Итак, Марковитц разработал очень важное для современной  теории портфеля ценных бумаг положение, которое гласит: совокупный риск портфеля можно разложить на две составные части. С одной стороны, это так называемый систематический риск, который нельзя исключить и которому подвержены все ценные бумаги практически в равной степени. С другой – специфический риск для каждой конкретной ценной бумаги, который можно избежать при помощи управления портфелем ценных бумаг. При этом сумма сложенных средств по всем объектам должна быть равна общему объему инвестиционных вложений (например, часть средств на банковском счете вводится в модель как инвестиция с нулевым риском), т.е. сумма относительных долей X_j в общем объеме должна равняться единице:

_n

S X_i = 1

ⁱ⁼¹

Проблема заключается  в численном определении относительных  долей акций и облигаций в  портфеле (значений X_j), которые наиболее выгодны для владельца. Марковитц ограничивает решение модели тем, что из всего множества “допустимых портфелей”, т.е. удовлетворяющих ограничениям, необходимо выделить те, которые рискованнее, чем другие. Это портфели, содержащие при одинаковом доходе больший риск (дисперсию) по сравнению с другими, или портфели, приносящие меньший доход при одинаковом уровне риска.

При помощи разработанного Марковитцем метода критических  линий можно выделить неперспективные  портфели, не удовлетворяющие ограничениям. Тем самым остаются только эффективные портфели, т.е. портфели, содержащие минимальный риск при заданном доходе или приносящие максимально возможный доход при заданном максимальном уровне риска, на который может пойти инвестор.

Данный факт имеет  большое значение в современной  теории портфелей ценных бумаг. Отобранные таким образом портфели объединяют в список, содержащий сведения о процентном составе портфеля из отдельных ценных бумаг, а также о доходе и риске портфелей. Выбор конкретного портфеля зависит от максимального риска, на который готов пойти инвестор.

Разделение риска на независимые составляющие дает любому инвестору возможность проанализировать ценные бумаги со всех сторон и определить их сильные и слабые стороны при формировании портфеля. С методологической точки зрения модель Марковитца можно определить как практически-нормативную, что, конечно, не означает навязывания инвестору определенного стиля поведения на рынке ценных бумаг. Задача модели заключается в том, чтобы показать, как поставленные цели достижимы на практике.

Отрицательной чертой модели Марковитца можно назвать то, что для решения задачи Г. Марковитца требуется большой объем данных о рынке ценных бумаг, накопленных за многие годы и отвечающих условиям представительности. На практике, особенно на российском фондовом рынке, который лишь недавно был сформирован, такие данные получить очень трудно, а подчас и невозможно.

1.3.2 Индексная модель Шарпа

Как следует из модели Марковитца, задавать распределение  доходов отдельных ценных бумаг  не требуется. Достаточно определить только величины, характеризующие это распределение: математическое ожидание Е₁, дисперсию D₁ и ковариацию С_ik между доходами отдельных ценных бумаг. Это следует проанализировать до составления портфеля. На практике для сравнительного небольшого числа ценных бумаг произвести такие расчеты по определению ожидаемого дохода и дисперсии возможно. При определении же коэффициента корреляции трудоемкость весьма велика. Так, например, при анализе 100 акций потребуется около 500 ковариаций.

Для избежания такой высокой трудоемкости Шарп предложил индексную модель (или модель оценки финансовых активов Capital Asset Pricing Model – CAPМ), представляющую собой зависимость между эффективностью конкретной ценной бумаги и эффективностью рыночного портфеля. Причем он не разработал нового метода составления портфеля, а упростил проблему таким образом, что приближенное решение может быть найдено со значительно меньшими усилиями. Шарп ввел так называемый В-фактор, который играет особую роль в современной теории портфеля.

В индексной модели Шарпа используется тесная (и сама по себе нежелательная из-за уменьшения эффекта рассеивания риска) корреляция между изменениями курсов отдельных акций. Предполагается, что необходимые входные данные можно приблизительно определить при помощи всего лишь одного базисного фактора и отношений, связывающих его с изменением курсов отдельных акций. Предположив существование линейной связи между курсом акции и определенным индексом, можно при помощи прогнозной оценки значения индекса определить ожидаемый курс акции. Помимо этого можно рассчитать совокупный риск каждой акции в форме совокупной дисперсии.

В САРМ-модели предполагается, что  эффективность ценной бумаги Х_j линейно зависит от некоторого ведущего фактора F, описывающего эффективность рынка в целом, и в то же время на каждую j ценную бумагу влияют и специфические для нее факторы, являющиеся случайными величинами e_j. Тогда

Х_j = a_j + b_j * F + e_j

где a_j и b_j – некоторые детерминированные величины, а коэффициент b_j отражает зависимость эффективности бумаги от рыночной конъюнктуры, если b_j > 0, то эффект бумаги аналогичен эффекту рынка, если b_j < 0, то эффективность бумаги возрастает, когда эффективность рынка снижается

Для характеристики конкретной ценной бумаги используются и другие параметры. Поскольку вариация эффективности каждой ценной бумаги состоит из “собственной” и “рыночной”, то величина

R_j² = (b_j * V_F) / V_ej

где V_F – вариация эффективности рынка;

V_ej – вариация «собственной» составляющей эффективности бумаги

будет характеризовать  долю риска каждого вклада, вносимую неопределенностью рынка в целом. Из этого выражения видно, что  чем больше R², тем меньше доля «собственного» риска бумаги V_ej, следовательно, предпочтительней при прочих равных условиях бумаги с большими значениями R².

Если отсчитывать эффективность  инвестиций в ценную бумагу от эффективности  безрискового вклада r₀, то параметр

a_j = a_j – b_j * r₀

представляет собой  превышение эффективности ценной бумаги над безрисковой эффективностью (можно считать это некоторой премией за риск). Если a_j < 0, то рыночная цена на эту бумагу завышена, и в ближайшем будущем она может понизиться; если же a_j > 0, то рыночная цена занижена, и в будущем вероятно ее повышение. Следовательно, при прочих равных условиях более предпочтительна бумага с a_j > 0.

На западных рынках значения a, b и R² регулярно рассчитываются для всех ценных бумаг и публикуются вместе с индексами. Пользуясь этой информацией, инвестор может сформировать собственный портфель ценных бумаг. На российском рынке профессионалы постепенно тоже начинают использовать a-, b- и R²-анализ. Отдельные инвестиционные институты рассчитывают a, b и R².

При анализе лучшим считался тот портфель, который позволяет  достигнуть возможно большей средней  эффективности (доходности) при фиксированном риске. Под эффективностью понимается доход на единицу вложенного капитала, а мерой риска считалась дисперсия этой эффективности.

Кроме вложения капитала в «рисковые» ценные бумаги, такие ценные бумаги, эффективность вложений в которые есть величина случайная, рассматривалась возможность «безрискового» вклада, или, другими словами, предполагалось существование «безрисковой» ценной бумаги. Ценная бумага является «безрисковой», если эффективность вложения в нее фиксирована, заранее известна.

Эмитент	Структура распределения  капитала по рисковым вложениям, %	Структура распределения  капитала при желаемой эффективности 5% в неделю
Инкомбанк	10,49	21,92
Автобанк	0,00	0,00
Банк «Культ»	21,31	44,52
Торибанк	0,00	0,00
МАБ «Гермес-Центр»	6,92	14,45
Витабанк	0,00	0,00
Витабанк (привил.)	6,38	13,32
Глориябанк	23,16	48,48
Промстройбанк	20,89	43,63
Сибторгбанк (2 вып.)	0,00	0,00
СКВ-банк	0,00	0,00
Сибюргбанк (3 вып.)	0,40	0,83
СПб биржевой банк	0,00	0,00
Доллар	0,00	0,00
Безрисковая ценная бумага: 108,9% Стандартная девиация: 9,25%

Таблица 2 "Оптимальное распределение капитала по акциям, %" 

Предусматривалась возможность  не только «безрискового» вклада, но и «безрискового» займа, что равносильно возможности «отрицательного» вклада в «безрисковую» ценную бумагу. Разработанная методика оптимизации структуры портфеля предполагает возможность решения и в так называемом “short sale” случае, когда подобный заем возможен и с рисковыми ценными бумагами, но подобные операции еще не распространены на рынке ценных бумаг России, и задача решалась в предположении о неотрицательности вложений в рисковые ценные бумаги.

Если Безрисковая ценная бумага включена в портфель, то оптимальное  распределение капитала по «рисковым» акциям не зависит от величины желаемой средней эффективности (среднего дохода) портфеля. Поэтому в первой графе таблицы приведено искомое распределение капитала по рассмотренным «рисковым» бумагам, рассчитанное для случая, когда эффективность безрискового вложения равна 2% в неделю. Поясним, что это есть рекомендуемая структура вложений исходного капитала вместе с занятыми под 2% средствами (или за вычетом вложений под 2% части исходных средств). Остается указать объем «безрискового» займа (вклада) в зависимости от желаемой доходности. Во второй графе приведен этот объем для желаемой эффективности 5% в неделю: заем в размере 108,9% от исходного капитала. Структура распределения по «рисковым» акциям остается той же, но объемы вкладов (указанные в процентах от исходного капитала) зависят от степени желаемой доходности портфеля.

Соответствующая полученной структуре стандартная девиация (квадратный корень от дисперсии) эффективности  портфеля также зависит от желаемой доходности и ее значения для рассмотренного случая. Она приведена в таблице 2.

1.3.3 Модель выравненной цены (Arbitrageprais – Theorie – Modell APT)

Целью арбитражных стратегий  является использование различий в  цене на ценные бумаги одного или родственного типа на различных рынках или сегментов  рынков с целью получения прибыли (как правило, без риска). Тем самым при помощи арбитража удается избежать неравновесия на рынках наличных денег и в отношениях между рынками наличных денег и фьючерсными рынками. И так, арбитраж является выравнивающим элементом для образования наиболее эффективных рынков капитала.

В качестве основных данных в модели используются общие факторы  риска, например показатели: развития экономики, инфляции и т.д. Проводятся специальные исследования: как курс определенной акции в прошлом  реагировал на изменение подобных факторов риска. При помощи полученных соотношений предполагается, что можно рассчитать поведение акций в будущем. Естественно, для этого используют прогнозы факторов риска. Если рассчитанный таким образом курс выше настоящего курса акций, это свидетельствует о выгодности покупки акции.