Булева алгебрасы

 

 

 

 

Жоспар:

Ι. Кіріспе

ΙΙ. Негізгі бөлім

     1. Математикалық логика пәні

    2. Булева алгебрасының элементтері

   3.Булева алгебрасының амалдары

ΙΙΙ.Қорытынды 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                 Қолданылған әдебиеттер:

Интернет желісі

www.5ballov.ru. ( аударған өзім )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Кіріспе

Берілген мәнжазбада мен Булева алгебрасының аспекталарын қарастырмақшымын. Қазіргі кезде математикалық логика кең таралған қазіргі форма, дәлірек айтқанда формальдық логика, өз пәнін зерттеу барысында қолданылатын математикалық әдіс. Формальдық логика тисінше математикалық логика жиналған нәтижелер заңдарының дұрыс тұжұрым құрылымы. Практикалық зерттеулерсіз, тұжұрым нәтижесінде негіздегі жаңа жаңалық ашылулары болатын процестер болып табылады. Шындығында, тұжұрым нәтижесіндегі жаңа ашылулар (дәлірек айтқанда нақты тұжұрым ) тұжұрым нәтижесі жабық формада деп аталатын алғышарттар осылай болады.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Математикалық логика

 Күрделі заңның ашылымы формалдық қисынның ғылымының нәтижелерімен тоқулы. Формалдық қисынның бірінші ірі жинағы Аристотелге тиесілі. Формалдық қисында әу бастан математикалық әдістер қолданылды, бірақ қисынның бұл дамуы математиканың басқа облыстарымен салыстырғанда бұл әдістің қолдануы баяу болды. Сол себептен формалдық қисын ғылымның (бірінші кезекті математиканың талаптарынан) қажеттіліктерінен деген қалды;  жаңа заманда айрықша айқындалды. Формалдық қисынның басты міндерімен:

1. Тұжұрым заңдарының  келмшіліктерін сенімді түрде  логикалық заңға келтіре алмады. Сол себептен тұжұрымның дұрыстығын бас негіз эксперименттердің соңыра теріске шығар қарама-қарсы дәлелдеуші мысалдармен болған.

2. Саралау зейінсіз тұжұрымның  маңызды бөлігін күнбе-күнгі және  ғылыми өмірдегі қолданылмаған.Тұжұрымның  дұрыс- бұрыстығын дәлелденбеген.

Лейбниц формалдық логиканың математикаландыруының мақсаты құрулы және жасалуын ашты. Оның жұмысын XIX ғасырдың математиктары жалғастырды. Жүз жылдықтың межесінде қайшылықтың ашылымымен көпшіліктің қағидасында математикалық логиканың дамуы кең алымды алды. Осы уақытта математикалық логиканың нәтижелері формалдық логиканың барлық дәстүрлі облыстарында пайдаланылды.

   Буль алгебрасы, буль торы — ішінара реттелген жиынның арнаулы түрі. Егер жиынның ең үлкен элементі 1 (Буль алгебрасының бірлігі), ең кіші элементі 0 (Буль алгебрасының нөлі) болса және әрбір х элементі мен оның толықтыру элементі Сх: sup {x, Cx}=1, іnf {x, Cx}=0 қатынастарын қанағаттандырса, онда Буль алгебрасы дистрибутивтік Ù және Úтор деп аталады. Sup және іnf операциялары әдетте  таңбаларымен, кейде және таңбаларымен белгіленеді. Мұнан олардың жиын теориясындағы бірігу және қиылысу операцияларымен ұқсастығы көрінеді. Сх кейде –х болып жазылады. Буль алгебрасында кез келген элементтің толықтыруы біреу-ақ болады. Буль алгебрасының аксиомаларында “жиын”, “оқиға” және “пікір” Ù, Úұғымдарының арасындағы ұқсастық бейнеленген. Буль алгебрасында С,  сияқты негізгі операциялардан басқа операциялар да анықталған болуы мүмкін. Солардың ішінде төмендегідей симметриялық айырма операциясы у, |x-у| деп те жазылады. КезDСх). Бұл хÙ(уÚСу)Ùерекше маңызды: х+2у=(х келген Буль алгебрасы +2 (“қосу (“Ù”) және көбейту”) операциялары орындалатын бірлігі бар буль сақинасы болып табылады. Буль алгебрасы ағылшын математигі Дж. Бульдің (1815 — 1864) еңбектерінде (1847, 1854) символикалық логиканың аппараты ретінде пайда болды. Кейіннен ол математиканың әр түрлі саласында (ықтималдық теориясы, топология, функционалдық талдау, т.б.) кеңінен қолданылды.

Жалпы алғанда буль функцияларының жалған 
Бұл айнымалылардың маңызы өте зор. Мысалы, 
ЛОГИКА АЛГЕБРАСЫ  
1. Логика алгебрасының функциялары  
Aйталық U-{u1,и2,...,иm,...} - айнымалылардың бастапқы алфавиті 
Бұл функциялар логика алгебрасыныц функциялары немесе 
Теорема. х1,х2,...,хn п айнымалыға тәуелді 
функциялар саны P2 (n) - 22 
Логика алгебрасы функцияларың мысалдары:  
ƒ1(x) =0 -тұрақты 0  
ƒ2(x) =1-тұрақты 1;  
ƒ3(x)=x –тепе-тең функция;  
ƒ4(x)= - х 
ƒ5(x1,x2)= (x1(x2) - x1 мен x2 
ƒ6(x1,x2)= (x1∨x2) - x1 мен 
ƒ6(x1,x2)=Бұл функциялардың мәні.  
xx 0 0 11 xx  
00 00 11  
11 00 11  
x1  
0 0  
0 1 
0 0  
1 1  
1 0  
1 1  
1 1  
0 1  
0  
0 1 
1 1 
2. Формулалар. Формулаларды функциялармен жузеге асыру  
Анықтама. Айталық (- Р2 жиынындағы  
болсын.  
а) Индукция базисі. ( ішжиынындағы әрбір 
b) Индуктивті өту. Айталық ƒ (x1,…,xm) 
с) Формуланың индуктивті анықтамасына сүйене отырып, 
d) Индукция базисі. Егер. F(х1,...,xn) 
e) Индуктиві өту.  
Онда индуктивті болжам  
функциясы немесе  
F(х1,...,xn) формуласына  
Егер ƒ функциясы F формуласына сәйкес 
F формуласына сәйкес келетін ƒ функциясы 
3.Формулалардың эквиваленттігі. Қосалқылык принципі  
Анықтама. F және G формулалары ( 
(х1◦х2) арқылы (x1(x2), (x1∨x2), (х1+х2) функцияларының 
Логика алгебрасы фунщияларыныц цасиеттері  
1) (x1◦х2) функциясы ассоциативтілік 
((x1◦x2) ◦ x3 ) = (x1◦(x2◦x3)).  
2) (х1◦х2) функциясы коммутативтілік 
(x1◦x2)=(x2◦x1)  
3) Конъюнкция және дизъюнкция үшін дистрибутивтілік 
((x1∨x2) & x3) = ((x1(x3) ∨(x2(x3))  
((x1(x2) ∨ x3)=((x1∨x2) ((x2∨x3)  
4) =x ,  
5) (x( )=0, (x∨  
(x(0)=0, (x∨0)=x,  
(x(1)=0, (x∨1)=x.  
Анықтама. [ƒ (х1,...,xn)]*= 
функциясына қосалқы функция деп аталады.  
0 функциясы 1 функцияға қосалқы,  
1 функциясы 0 функциясына қосалқы,  
x функциясы х функциясына қосалқы,  
функциясы функциясына қосалқы,  
х&х2 функциясы х1vх2 функциясына қосалқы,  
x1vх2 функциясы х1&х2 функциясына қосалқы.  
Қосалқылықтың анықтамасынан ƒ ** =( ƒ 
Қосалқылық принципі. Егер F=С[ƒ1,..., ƒ s] 
функциясын жүзеге асырса, онда F формуласынан 
ƒ1*,..., ƒs* функциясына ауыстыру аркылы алынған 
Бұл формуланы F формуласына қосалқы формула 
4.Буль функцияларын айнымалыларға жіктеу. Кемел дизъюнктивті 
х =хσ∨хσ белгілеуін енгізейік, 
xσ =  
хσ = 1 тек сол жағдайда, 
Теорема (Буль функцияларын айнымалыларға жіктеу туралы). 
ƒ (х1,...,xm,xm+1,…,xn)= x1 
(*)  
мұнда дизъюнкция х1,...,хm айнымалыларының барлық мүмкін 
Бұл көрініс функцияның х1,...,хm айнымалылары бойынша 
Салдар ретінде жіктеудің арнайы екі түрін 
Айнымалы бойынша жіктелу:  
ƒ (х1,...,хn-1,хn) = хn & ƒ 
ƒ (х1,..,хn-1,0) және  
Барлық айнымалылар бойынша жіктеу:  
ƒ (х1,...,xn)= x1 σ1 
ƒ (х1,...,xn)≡0 орындалғанда жіктеу келесі түрге 
x1 σ1 (…( xnσn ƒ(σ1,…,σn) = 
Нәтижесінде  
ƒ (х1,...,xn)= x1 σ1 
(**)  
екендігін аламыз.  
Мұндай жіктелу кемел дизъюнктивті нормалъ қалып 
Теорема. Логика алгебрасының 
Функцияның мәні бірге тең болатын үш 
x1 v x2 = x10 & 
ƒ (х1,...,xn)=  
конъюнктивті нормаль калып деп аталатын жіктеуді 
5.Толықтық және тұйықтық  
Анықтама. Егер кез-келген Буль функциясы осы 
Толық жүйелердің мысалдары:  
1. Р2 жүйесі- барлық 
2. G = { ,x1& 
Кез-келген жүйе толық бола бермейді, мысалы 
Теорема. Айталық Р2 жиынында екі функциялар 
G={f1,f2,…},  
D={g1,g2,…},  
олар туралы мына жағдай белгілі: (I) 
Мысал:  
D ={ ,x1&x2 } жүйесінің 
Дәлелдеу: (I) 
{ ,x1& х2,x1vx2 }, ал 
x1vx2= тепе-теңдігін пайдаланамыз 
Сонымен, (I) жүйенің әрбір 
6.Жегалкин теоремасы.  
Р2 жиынындағы әрбір функция mod 
Мысал: (х1vх2) функциясын Жегалкин көпмүшесі түрінде 
(x1vx2)=ax1x2+bx1+cx2+d.  
(0,0) жинағында: x1=x2=0(0=a(0+b(0+c(0+d(d=0.  
(0,1): x1=0,x1=1(1=a(0+b(0+c(1+d(c=1.  
(1,0): x1=1,x2=0(1=a(0+b(1+c(0+d(b=1.  
(1,1): x1=1,x2=1(1=a(1+b(1+c(1+d(a=1.  
(x1vx2)=x1x2+x1+x2  
Толықтық ұғымымен тұйықтау және тұйык сыныптар

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Қорытынды

Буль алгебраның көпшілігі барлық мүмкіншілікте құралады. Олар торлы құрылымды мүмкіндігінше, айқын көрсетеді.Оның дистрибуттық орындалуы еш қиындықсыз дәлелденеді. Көпшілігі нөлдік элемент бос болып табылады, ал бірнешесі ғана  негіз  болады. Кез-келген  мүмкіндік үшін  қосымша  элемент  толықтауыш. Көбіне  ол  теоретико-көптік  деген мағынада  белгілі. Буль  алгебраның қолданыстағы басты бейнемен көпшіліктің қағидасында, математикалық логикада және функциялық анализда табылады.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Марат Оспанов атындағы Батыс Қазақстан Мемлекеттік Медицина университеті

 

 

 

Студенттің  өзіндік жұмысы

 

 

Мамандығы:

Дисциплина:

Кафедрасы:  

Курс:

Тақырыбы:

 

 

 

Орындаған:

Группа:

Бағасы (әріп):

Оқытушы қолы:

Күні: