Вычисление определённых интегралов

 

                                  (5)

 

где при g=a получаем формулу левых  прямоугольников, при g=a+h/2 — средних  прямоугольников, при g=a+h — правых прямоугольников.

Обратим внимание, что алгебраические степени точности формул остаются прежними и составные квадратурные формулы не являются интерполяционными[5].

Оценка погрешности.

Пусть существует , непрерывная на . По формуле Тейлора: . Интегрируя, получаем:

 

   (6)

 

Обозначим .

Используем вариант  теоремы о среднем, который имеет  вид: если непрерывна и - интегрируема, то

 

,

 

где .

Пусть . Имеем .

 

        (7)

 

Пусть . Имеем и оценка для будет того же вида (6).

Таким образом, (6) - оценка погрешности формул правых и левых прямоугольников.

Оценим погрешность  для формулы средних прямоугольников.

Пусть существует . По формуле Тейлора имеем:

 

.

 

Интегрируя, получаем

 

 

Так как, , то

. Отсюда следует оценка

 

        (8)

 

Для повышения точности квадратурных формул можно промежуток разбить точками , , на частичные промежутки, к каждому из которых применяется формула прямоугольников

 

, ,    (9)

 

Суммируя по , получаем обобщенную формулу прямоугольников.

 

        (10)

 

при - формула левых прямоугольников,

при - формула правых прямоугольников,

при - формула средних прямоугольников.

Оценка остаточного  члена для обобщенной формулы  получается на основе оценок (6) или (7) соответственно.

При , :

 

        (11)

 

При :

 

         (12)

 

Из оценок (11) и (12) следует, что выбирая достаточно большое число точек разбиения (т.е. делая достаточно малым) можно получить результат с необходимой точностью [7].

 

3. АВТОМАТИЗАЦИЯ МЕТОДА

Автоматизация метода прямоугольников позволяет оптимизировать его использование на практике и упростить расчеты.

Программа на Pascal – это набор некоторых команд. Начинается программа с ключевого слова PROGRAM, после которого следует имя программы:

PROGRAM pryam;

Далее идёт раздел переменных VAR, в котором описываются переменные:

VAR

      n, i: integer;

      a, b, h, l, s, p, lpr, srpr, ppr, lpg, spg, ppg, x1, x2, x3: real;

где:

n – количество разбиений интервала;

a и b – нижний и верхний пределы интегрирования;

h – шаг;

l, s, p – переменные для вычисления суммы по формулам;

lpr, srpr, ppr – переменные результата вычислений без учета погрешности;

lpg, spg, ppg – погрешности или остаточные члены формул метода прямоугольников;

x1, x2, x3 – результативные переменные.

В этом разделе указывается  имена переменных и имена типов  данных.

После описания переменных вводятся функции. Объявление функции состоит из:

- ключевого слова function, имени функции, списка формальных параметров и типа возвращаемого значения;

- раздела объявления  локальных переменных или констант, если он требуется;

- тела функции, заключенного  в операторные скобки begin end.

В функции помещаются формулы, по которым будут вычисляться приближенное значение интеграла и вторая производная в точке, принадлежащей промежутку интегрирования:

function   f(x: real): real;

begin

      f:= Sqr(x)*sin(x);

end;

function   f2(x: real): real;

begin

      f2:= 2*sin(x)+4*cos(x)-Sqr(x)*sin(x);

end;

После всего этого  переходим к основному телу программы. Код программы содержит различные команды. Самые распространенные:

Write (Writeln) – команда вывода текста на экран;

Read (Readln) – запрос данных.

Итак, запрашиваем пределы интегрирования и число разбиений:

BEGIN

      Writeln (‘Введите пределы интегрирования a и b ‘);

      Readln (a, b);

      Writeln (‘Введите число разбиений n ‘);

      Readln (n);

Далее производим вычисления по формуле (5):

     h:=(b-a)/n;

Для расчета суммы  требуется обнулить переменные, которые  заданы для вычисления суммы в  разделе переменных, и организовать цикл, который будет обеспечивать суммирование:

      l:=0;

     s:=0;

      p:=0;

      For i:=0 to n Do begin

         l:=l+f(a+(i-1)*h);

          lpr:=h*l;

          s:=s+f((a+h)/2+(i-1)*h);

          srpr:=h*s;

          p:=p+f(a+h+(i-1)*h);

          ppr:=h*p;

      end;

После реализации цикла  все расчеты по формуле (5) произведены.

Далее следует вычислить  погрешности или остаточные члены по формулам (11) и (12):

      lpg:=f2(8/10)*h*(b-a)/2;

      ppg:=lpg;

      spg:=f2(8/10)*Sqr(h)*(b-a)/24;

      x1:=lpr+lpg;

      x2:=srpr+spg:

      x3:=ppr+ppg;

Вывод результатов на экран:

      WriteLn(‘Левые  ‘,’  Средние ’,’Правые’);

      WriteLn(lpr:4:5,’ ‘,srpr:4:5,’ ‘,ppr:4:5);

      WriteLn(‘Остаточные члены’);

      WriteLn(lpg:4:5,’ ‘,spg:4:5,’ ‘,ppg:4:5);

      WriteLn(‘Результат’);

      WriteLn(x1:4:5,’ ‘,x2:4:5,’ ‘,x3:4:5);

      ReadLn;

Конец программы фиксируется служебным словом END, после которого обязательно ставится точка:

END.

 

4. Применение метода в экономике

Определение интегральной суммы позволяет использовать понятие  определенного интеграла в социально-экономической  сфере. Его применение основано на том, что любой меняющийся социально-экономический процесс может быть интерпретирован как скачкообразный, скачки которого близки к нулю [2].

Определённый интеграл имеет широкое применение в экономической  теории: вычисление потребительского излишка, восстановление экономических характеристик по их предельным значениям, нахождение дисконтированной стоимости денежного потока, расчет количество денег, поступивших в банк за определенный промежуток времени, объем продукции, произведенной за определенный промежуток времени и т.д.

4.1  Количество денег,  поступивших в банк за определенный промежуток времени

Пусть u = f(t)  описывает количество денег поступающих в сберегательный банк в каждый момент времени t. Требуется определить общее количество денег U, поступивших в банк за промежуток времени [0, Т].

Если f(t) = const, то количество денег U, поступившее в банк за промежуток времени [0, Т], находится по формуле U = f(с) ∙ (T - 0) = f(c)T, где с произвольное значение из отрезка [0, Т].

Если в каждый момент времени за промежуток времени [0, Т/2] в банк поступает f(c₁) денежных единиц, а в каждый момент времени в промежутке [Т/2, Т] - f(c₂) денежных единиц, то общее количество денег, поступившее за промежуток времени [0, Т], подсчитывается по формуле

U = f(c₁)T/2+ f(c₂)T/2.

Пусть  f(t) - произвольная кусочно-непрерывная функция на отрезке [0, Т]. Разобьем отрезок [0, Т] на промежутки времени точками:

0 = t₀<t₁<t₂<…<t_n-1<t_n = T.

Количество денег ∆U_i, поступивших в банк за промежуток времени [t_i-1, t_i],  приближенно может быть вычислено по формуле  ∆U ≈ f(c_i)∆t_i, где (точность этого равенства тем выше, чем меньше ∆t_i) [1]. Тогда

При стремлении max ∆t_i к нулю каждое из использованных приближенных равенств становится все более точным, поэтому

Учитывая определение  определенного интеграла, окончательно получаем

 

где  U – количесво денег

       f(t) – количество денег;

       t – время .                                      

т. е. если  f(t) - количество денег, поступивших в банк в момент времени t, то есть общее количество денег, поступивших в банк за промежуток времени [0, Т].

Поскольку f(t)≥0, то общее  количество денег, поступивших в Сбербанк за промежуток времени [0, Т] численно равно площади фигуры под графиком функции f(t) [2].

 

4.2  Объем продукции, произведенной за определенный промежуток времени.

 

Пусть, теперь, функция у = f(t) описывает изменение производительности некоторого производства с течением времени. Найдем объем продукции Q, произведенной за промежуток времени [0, Т].

  Разобьем отрезок  [0, Т] на промежутки времени точками:

 

 

Объем продукции ∆Qi произведенной за промежуток времени [t_i-1, t_i], приближенно может быть вычислен по формуле

 

 

Где                                                (точность этого равенства тем  выше, чем меньше ∆t_i. Тогда

,

При стремлении max ∆t_i к нулю каждое из использованных приближенных равенств становится все более точным, поэтому

Учитывая определение  определенного интеграла, окончательно получаем

         (13)

где  Q – обьем продукции

       f(t) – производительност труда в момент времени t;

       t – время.

Поскольку f(t)≥0, то объем продукции, произведенной за промежуток времени [О, Т], численно равен площади фигуры под графиком функции f(t), описывающей изменение производительности труда с течением времени, на промежутке [О, Т] [2].

Задача.

Найти дневную выработку Q за рабочий день продолжительностью 8 часов, если производительность труда в течение дня меняется по эмпирической формуле f(t) = -0,1t² + 0,8t + 10.

Решим методом прямоугольников.

h=1, a=0, b=8, n=8.

По формуле (5):

По формуле (13):

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В процессе выполнения работы были решены следующие задачи:

• рассмотрен метод прямоугольников для приближенного вычисления определённых интегралов;
• проведена автоматизация метода;
• исследовано применение метода в разделах экономической теории;

 

 

Список литературы:

1. Академик: словари и энциклопедии на Академике [электронный ресурс]. – Режим доступа: http://dic.academic.ru.
2. Ахтямов, А. М. Математика для социологов и экономистов:  Учеб. пособие. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 464 с. - ISBN 5-9221-0460-8.
3. Баврин, И. И. Высшая математика / И. И. Баврин. – М.: ACADEMA, 2003. – 611с.
4. Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: в двух частях / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. – М.: Высшая школа, 1986.Часть 2 – 415 с.
5. Математико-механический факультет [электронный ресурс]/ Санкт-Петербургский государственный университет. – Режим доступа: http://www.math.spbu.ru/user/pan/Page2-7.htm.
6. Методы компьютерных вычислений для физиков: методическое пособие [электронный ресурс]/ Петрозаводский государственный университет. – Режим доступа: http://solidbase.karelia.ru/edu/meth_calc/index.shtml.
7. Численные методы с системой MathCAD: Учебно-методический комплекс для изучения алгоритмов решения математических задач с использованием системы MathCAD [электронный ресурс]/ Петрозаводский государственный университет. – Режим доступа: http://petrsu.karelia.ru/Chairs/IMO/Complex/part3/part36_a.htm.

 

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

PROGRAM pryam;

VAR

      n, i: integer;

      a, b, h, l, s, p, lpr, srpr, ppr, lpg, spg, ppg, x1, x2, x3: real;

function   f(x: real): real;

begin

      f:= Sqr(x)*sin(x);

end;

function   f2(x: real): real;

begin

      f2:= 2*sin(x)+4*cos(x)-Sqr(x)*sin(x);

end;

BEGIN

      Writeln (‘Введите пределы интегрирования a и b ‘);

      Readln (a, b);

      Writeln (‘Введите число разбиений n ‘);

      Readln (n);

    h:=(b-a)/n;

    l:=0;

     s:=0;

      p:=0;

      For i:=0 to n Do begin

          l:=l+f(a+(i-1)*h);

          lpr:=h*l;

          s:=s+f((a+h)/2+(i-1)*h);

          srpr:=h*s;

          p:=p+f(a+h+(i-1)*h);

          ppr:=h*p;

      end;

      lpg:=f2(8/10)*h*(b-a)/2;

      ppg:=lpg;

      spg:=f2(8/10)*Sqr(h)*(b-a)/24;

      x1:=lpr+lpg;

      x2:=srpr+spg:

      x3:=ppr+ppg;

      WriteLn(‘Левые  ‘,’  Средние ’,’Правые’);

      WriteLn(lpr:4:5,’ ‘,srpr:4:5,’ ‘,ppr:4:5);

      WriteLn(‘Остаточные члены’);

      WriteLn(lpg:4:5,’ ‘,spg:4:5,’ ‘,ppg:4:5);

      WriteLn(‘Результат’);

      WriteLn(x1:4:5,’ ‘,x2:4:5,’ ‘,x3:4:5);

      ReadLn;

END.

 

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

f(x)=x^2*sin(x)			f "(x)=2*sin(x)+4*x*cos(x)-x^2*sin(x)
a	b	h
0	1	0,2
i	x		a+(i-1)*h	(a+h)/2+(i-1)*h	a+h+(i-1)*h
0	0		-0,2	-0,1	0
1	0,2		0	0,1	0,2
2	0,4		0,2	0,3	0,4
3	0,6		0,4	0,5	0,6
4	0,8		0,6	0,7	0,8
5	1		0,8	0,9	1
f(a+(i-1)*h)		f((a+h)/2+(i-1)*h)		f(a+h+(i-1)*h)
-0,007946773		-0,000998334		0
0		0,000998334		0,007946773
0,007946773		0,026596819		0,062306935
0,062306935		0,119856385		0,20327129
0,20327129		0,315666667		0,459107898
0,459107898		0,634494797		0,841470985
СУМ(f(a+(i-1)*h))		СУМ(f((a+h)/2+(i-1)*h))		СУМ(f(a+h+(i-1)*h))
0,724686123		1,096614667		1,574103881
h*СУМ(f(a+(i-1)*h))		h*СУМ(f((a+h)/2+(i-1)*h))		h*СУМ(f(a+h+(i-1)*h))
0,144937225		0,219322933		0,314820776
f "(x)		МАКС(f "(x))=f "(0,8)=		3,205065754
0
1,173445151		Остаточные  члены:
2,19022734		для левых	для средних	для правых
2,906819132		0,320506575	0,005341776	0,320506575
3,205065754
3,002680208
	Результат
	Левые	Правые	Средние
	0,4654438	0,22466471	0,635327352