Дискретизация сигналов

Увеличение интервала  дискретизации сигналов является довольно распространенной операцией при  цифровой обработке данных, и не только при подготовке данных для хранения с целью сокращения их количества. При комплексной обработке данных различной природы интервалы дискретизации этих данных могут оказаться различными, и производится их приведение к одному значению. Аналогичная операция выполняется, как правило, и при создании многослойных информационных пакетов. В таких случаях снижение частоты дискретизации каких-либо данных  является вынужденной необходимостью даже с потерей части высокочастотных составляющих информации. Предварительное отфильтровывание отбрасываемых данных перед децимацией (для исключения их попадания в главный частотный диапазон и искажения основной информации) в этом случае является обязательным, особенно при достаточно высокой энергии этих составляющих сигнала. Пример такой децимации приведен на рис. 7.2.10 на графиках В и Г - спектр S2(f) децимированных данных и аналоговый сигнал s3(t), восстановленный по дискретным отсчетам sd(kDt) ↔ S2(f). Децимация выполнена непосредственно в частотной области путем смыкания на частотной части 0-0.5f_N спектра SM(f) исходного сигнала sm(mDm) с сопряженной частью на интервале 1.5f_N- f_N, что сокращает новый интервал Найквиста в 2 раза и формирует спектр S2(f), соответствующий дискретному сигналу с увеличенным в два раза интервалом дискретизации данных с полностью подавленной частью спектральных составляющих от 0.5f_N до 1.5f_N. Такой метод может применяться для децимации (передискретизации) данных с любой кратностью.

Дискретизация с усреднением. Если дискретизация сигнала производится импульсами конечной ширины, то таким импульсам соответствуют средние значения сигнала на интервале длительности импульсов. При длительности импульсов r имеем:

s(kDt) = (1/r) s(t) dt.                                       (7.2.8)

С использованием селектирующей  и гребневой функций эта операция отображается следующим образом:

s_Dt(t) = (1/r)[s(t) _* П_r(t)]Ш_Dt(t).                                   (7.2.9)

Соответственно спектр дискретной функции:

S_F(f) = [S(f)×sinc(pfr)] _* F×Ш_F(f).                              (7.2.10)

Отсюда следует, что  при дискретизации с усреднением  спектр S(f) заменяется спектром S(f)×sinc(pfr), периодическое продолжение которого и образует спектр дискретной функции. При обратном преобразовании Фурье и при использовании интерполяционной формулы Котельникова-Шеннона, вместо исходной функции s(t) получаем функцию s'(t) = s(t) _* П_r(t)/r, что эквивалентно пропусканию сигнала через фильтр с откликом h(t) = П_r(t)/r, т.е. через низкочастотный сглаживающий фильтр "скользящего" среднего с окном r.

Допустим r=lDt, l£1, F=2af_max, a³1. Для этих условий частотная передаточная функция фильтра записывается в следующем виде: H(f) = sinс[(pl/2a)(f/f_max)]. Если потеря составляющих сигнала на всех частотах не должна превышать 3%, необходимо выполнить условие: sinc(pl/2a)³0,97. При a=1 отсюда следует, что значение l должно быть равно l£0.27, т.е. ширина импульса дискретизации может составлять до 27 % интервала дискретизации.

Отметим, что в выражении (7.2.8) значения отсчетов относится к центру интервалов r импульсов дискретизации. Если отсчет будет относиться к концу интервалов r, что имеет место при обработке информации в режиме реального времени, то в выходной функции (7.2.9) появится сдвиг на интервал r/2, а в ее спектре соответственно сдвиг фаз на wr/2 (в правой части выражения (7.2.10) добавится множитель exp(-jpfr)).

Дискретизация спектров. Теоремы, доказанные для прямого преобразования Фурье, в такой же мере действительны и для обратного. При дискретизации спектра сигнала с шагом Df динамическое представление сигнала  также  становится периодическим с периодом Т = 1/Df. Для сохранения возможности точного восстановления сигнала в пределах главного периода (без наложения сигналов соседних периодов) частотный шаг дискретизации должен удовлетворять условию:

Df £ 1/T.                                                      (7.2.11)

Попутно отметим, что  для временной формы каузального  сигнала главным периодом принимают  интервал от 0 до Т, хотя при обработке  данных на ЭВМ это не имеет значения и главный период может устанавливаться от -Т/2 до Т/2.

Информационная  тождественность динамической и  частотной форм дискретного представления сигнала непосредственно следует из теоремы Котельникова-Шеннона.

Основой любых преобразований при обработке данных обычно является финитный (конечный по длительности) сигнал, зарегистрированный на интервале 0-Т и состоящий из определенных частотных составляющих от 0 до f_max. Оптимальная дискретизация аналогового сигнала без потери точности его восстановления, как рассмотрено выше, соответствует двум отсчетам на периоде максимальной частотной составляющей:

Dt = 1/2f_max,   N_t = T/Dt.                                         (7.2.12)

где N_t – общее количество отсчетов на интервале Т задания сигнала. Если сигнал зарегистрирован непосредственно в дискретной форме, то он автоматически ограничен по максимальной частоте, т.е. максимальные частоты в таком сигнале равны  f_max £  1/2Dt.

При переводе дискретного  сигнала в частотную форму  спектр сигнала непрерывен и периодичен с периодом 1/Dt = 2f_N. Для оптимальной дискретизации по частоте без потери точности восстановления непрерывного спектра должны выполняться условия:

Df = 1/T = 1/(DtN_t),   f_N = 1/2Dt,                                 (7.2.13)

N_f  = 2f_N/Df = N_t.                                            (7.2.14)

Спектр сигнала подвергается каким-либо преобразованиям (обработке), как правило, только в главном  частотном диапазоне и тем  самым превращается в непериодический  сигнал, существующий только в интервале 2f_N (от -f_N до f_N). Значения спектра за пределами главного диапазона по умолчанию полагаются равными нулю. При обратном переводе такого сигнала из частотной формы в динамическую сигнал также является непрерывным и периодическим с периодом 1/Df = T, при этом оптимальная дискретизация по координатам без потери точности восстановления непрерывной формы соответствует условиям:

Dt = 1/2f_N,   T = 1/Df,                                        (7.2.15)

N_t = T/Dt = N_f.                                              (7.2.16)

При осуществлении преобразований s(kDt) Û S(nDf), равно как и S(nDf) Û s(kDt), условие N_f = N_t является необходимым и достаточным для полного сохранения информации при преобразованиях сигнала из одной формы представления в другую. Условия (7.2.12-7.2.16) задают оптимальность преобразований без потерь информации. Если исходный сигнал дискретизирован оптимально и представлен N отсчетами, то уменьшение количества отсчетов при преобразовании неизбежно приводит к определенным потерям информации.

Что касается увеличения числа отсчетов при преобразовании функций (уменьшение интервалов дискретизации), то оно всегда возможно, т.к. выходной сигнал преобразования финитных сигналов является непрерывной функцией и, в принципе, интервал дискретизации может быть установлен бесконечно малым. Однако увеличение числа отсчетов не увеличивает ни количества информации, заключенной в исходном сигнале, ни точности ее представления. По существу, такая операция полностью эквивалентна интерполяции исходного сигнала рядом Котельникова-Шеннона. Пример такой операции приведен на рис. 7.2.11.

Рис. 7.2.11.

Отсчеты s(kDt) и огибающая их кривая на рисунке 7.2.11 повторяют (в более детальном масштабе) сигнал s₁(t) на рис. 7.2.3, дискретизированный с шагом Dt = 1. Как уже отмечалось, интервал дискретизации данного сигнала оказался завышенным, и спектр сигнала искажен (рис. 7.2.4). При выполнении операции s(kDt) Þ S(nDf) количество точек дискретизации спектра S(nDf) было увеличено в 5 раз по отношению к количеству точек сигнала s(kDt), т.е. N_f = 5N_t. При обратном преобразовании S(nDf) Þ z(kDt), были выполнены условия (7.2.15-7.2.16), при этом шаг дискретизации сигнала при его восстановлении оказался также в 5 раз меньше исходного (Dt = 0.2). Результат можно видеть на рис. 7.2.11 (кривая z(kDt)). Абсолютно такой же результат дает и интерполяция сигнала s(kDt) рядом Котельникова-Шеннона с переводом на шаг Dt = 0.2. Искажение аналогового сигнала закладывается при его дискретизации, если шаг дискретизации не удовлетворяет условию (7.2.5), и при любых дальнейших преобразованиях уже не может быть исправлено, т.к. информация о первоначальной форме аналогового сигнала при некорректной дискретизации утрачивается безвозвратно.

Дискретизация усеченных сигналов.  При выполнении условия (7.2.5) для сигналов с ограниченным спектром аналоговая форма сигнала может быть восстановлена по дискретным отсчетам, если сигнал на интервале Т его задания является финитным или, по крайней мере, настолько быстро затухающим, что отсчеты сигнала за пределами интервала Т практически равны нулю. Задача дискретизации усложняется для медленно затухающих сигналов, сигналов бесконечной длительности и сигналов со спектром, неограниченным по частоте. Последнее имеет место, если в сигнале присутствуют разрывы и резкие скачки.

В общем случае, длительность сигнала и ширина его спектра не могут быть одновременно ограничены конечными интервалами. Если длительность сигнала ограничена и сигнал урезан в области не нулевых значений, то спектр сигнала неограничен и наоборот. Однако обработка реальных сигналов возможна только с их ограничением, как по координатам, так и по ширине спектра. При этом в качестве оценки корректности ограничения сигналов используется энергетический критерий, согласно которому длительность сигнала Т и практическую ширину спектра W устанавливают такими, чтобы в них была сосредоточена подавляющая часть энергии сигнала. Это достигается при выполнении условий:

    |s(t)|² dt = k |s(t)|² dt,                                    (7.2.17)

|S(w)|² dw = k |S(w)|² dw,                               (7.2.17')

где k- коэффициент представительности (качества) задания сигнала, значение которого, в зависимости от целевых задач обработки сигналов, может устанавливаться от 0,9 до 0,99.

Допустим, что произвольный сигнал s(t) рассматривается в пределах конечного интервала [0, Т] и принимается равным нулю за его пределами. Такой сигнал может быть получен умножением сигнала s(t) на прямоугольную весовую функцию П_T(t):

s_T(t) = s(t) П_T(t).

Для спектра S_T(f) функции s_T(f) соответственно имеем:

S_T(f) = S(f) _* Т×sinc(pfT).                                        (7.2.18)

Спектр S_T(f) неограничен, поскольку неограничен носитель функции sinc(pfT). Отсюда следует, что частота дискретизации функции s_T(t) в принципе должна быть бесконечно большой, т.е. корректная дискретизация невозможна. На практике полагают, что спектр S_T(f) также определен в конечной области [-W,W]:

S'_T(f) = S_T(f)×П_2W(f),

при этом вне этой области, по оценке Шеннона, для спектра S_T(f) справедлива формула:

|S_T(f)| » 1/WТ,    f Ï (-W,W).                                     (7.2.19)

Но усеченная часть  спектра определяет разность значений между исходной функцией s_Т(t) и функцией s'_Т(t), восстановленной по усеченному спектру S'_T(f), т.к. отсеченных гармоник спектра будет недоставать для полного восстановления функции s_T(f):

e_T(t) = s_T(t) – s'_T(t).

Соответственно, оценка дисперсии погрешности аппроксимации определяется выражением:

s² = e²_T(t) » 1/WТ,      s » 1/ .                              (7.2.20)

Рис. 7.2.12. Вид функции погрешности аппроксимации

Эти выражения определяют порядок среднеквадратической погрешности аппроксимации, которая является интегральной по интервалу Т, а не локальной разностью значений s_T(t)–s'_T(t). Типичный вид погрешности аппроксимации усеченных сигналов приведен на рис. 7.2.12. В точках дискретизации погрешность равна нулю, максимальна на центрах интервалов дискретизации и нарастает при приближении к границам интервала Т.

Физические данные обычно регистрируются по определенным интервалам Т и, как правило, не выходят на нулевые значения на границах интервалов. В этом случае ограничение ширины спектра можно проводить по (7.2.20) с учетом допустимой среднеквадратической погрешности аппроксимации данных. Частота W при усечении спектра может рассматриваться в качестве частоты Найквиста для сигнала s_T(t) при его дискретизации, что определяет частоту дискретизации не менее F = 2W и количество точек дискретизации не менее N=TF=2WT.

В силу тождественности  свойств прямого и обратного  преобразования Фурье аналогичная методика может применяться и для оценки условий дискретизации спектров.

Таким образом, дискретизация  усеченных сигналов возможна, однако при обработке усеченных сигналов необходимо проявлять осторожность и контролировать как значение среднеквадратической ошибки искажений, так и характер возникающих искажений сигнала и его спектра. Так, например, при усечении функции автокорреляции в спектре мощности сигнала могут появиться отрицательные значения, т.к. функция отсчетов sinc(pfT) в (7.2.18) является знакопеременной. Другой пример - проектирование частотных полосовых фильтров. При задании передаточной функции фильтра H(f) в частотной области в виде П-образной функции H(f) = П_r(f) обратное преобразование Фурье дает импульсный отклик фильтра h(t) Û H(f) бесконечно большой длины. Усечение отклика h_T(t) = h(t)П_T(t) вызывает изменение передаточной функции фильтра (явление Гиббса): H_T(f) = П_r(f) _* П_T(f) Þ П_r(f)×Т× sinc(pfT), при этом по краям скачков П-функции появляются затухающие флюктуации с амплитудой первого выброса до 9% от значений коэффициента передачи фильтра в полосе пропускания.