Екілік санау жүйесі

                              Санау жүйесі 

     Сандарды цифр деп аталатын арнайы символдардың көмегімен бейнелеу қабылданған. Сандардың аталу және жазылу тәсілін санау жүйесі деп атайды.

    Санау жүйесі екі топқа бөлінеді: позициялық және позициялық емес.

  Позициялық емес санау жүйесінде әрбір цифрдың мәні оның алатын орнына байланысты емес. Мұндай санау жүйесінің мысалы ретінде римдік жүйені алуға болады. Осы жүйеде жазылған XXX санында X цифры кез келген позицияда 10-ды (онды) білдіреді. Позициялық емес санау жүйесінде арифметикалық әрекеттерді орындау біраз қиын болғандықтан, бүкіл дүние жүзі біртіндеп позициялық санау жүйесіне ауысты. Позициялық санау жүйесінде цифрдың мәні оның орнына (позициясына) байланысты болды. Позициялық санау жүйесінің негізі деп жүйедегі пайдаланылатын цифрлар санын айтады.

       Ондық санау жүйесі

   "Ондық" деп аталуы былай түсіндіріледі: бұл жүйенің негізінде он негізі жатыр. Бұл жүйеде санды жазу үшін он цифр қолданылады: - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Ондық жүйе позициялық болып табылады, өйткені ондық санды жазуда цифрдың мәні оның позициясына немесе санда орналасқан орнына байланысты. Санның цифрына бөлінетін позицияны разряд деп атайды. Мысалы, 425 жазуы 4 жүздіктен, 2 ондықтан және 5 бірліктен тұратын сан екенін білдіреді. 5 цифры - бірліктер разрядында, 2 - ондықтар разрядында, 4 - жүздіктер разрядында тұрады. Егер осы цифрларды басқа ретте жазатын болсақ, мысалы, 524, онда сан 5 жүздіктен, 2 ондықтан және 4 бірліктен тұрады. Бұл кезде 5 үлкен болады және санның үлкен цифры деп аталады, ал 4 цифры кіші болады да, осы санның кіші цифры деп аталады. Егер 524 санын қосынды түрінде жазатын болсақ: 524 = 5*102+2*101 +4*10° оның цифрлары салмағының айырмашылығы айқын болады, бұл жазудағы 10 саны санау жүйесінің негізі. Санның әрбір цифры үшін 10 негізі цифрдың орнына байланысты дәрежеленеді және осы цифрға көбейтіледі. Бірліктер үшін дәрежелеу негізі – нөлге, ондықтар үшін - бірге, жүздіктер үшін екіге тең және т.с.с. Егер ондық сан бөлшек болса, онда ол да қосынды түрінде оңай жазылады. Әрбір цифрдың бөлшек бөлігі үшін дәреже негізі теріс және - 1-ге тең - бұл бөлшек бөліктің үлкен цифры үшін, ал бөлшек бөліктің келесі цифры үшін -2 тең және т.с.с. Мысалы, 384,9506 ондық, саны мынадай қосындымен белгіленеді: 384,9506=3*102 +8*101 +4*10°+9*10-1 +5*10-2+0*10-3+6*10-4 Осылайша, ондық санның кез келген цифры - оның белгілі бір бүтін дәрежесі, ал дәреженің мәнін сәйкес цифрдың позициясы көрсетеді.

 

               Екілік санау жүйесі

    Компьютерде, әдетте, ондық емес, позициялық екілік санау жүйесі, яғни негізі 2 болатын санау жүйесі қолданылады. Екілік жүйеде кез келген сан екі 0 және 1 цифрларының, көмегімен жазылады және екілік сан деп аталады. Тек қана 0 және 1 цифрларынан тұратын екілік санды ондық саннан ажырату үшін екілік санды жазуда екілік санау жүйесінің индексіне белгі қосылады, мысалы, 110101,1112 . Екілік санның әрбір разрядын (цифрын) бит деп атайды. Екілік жүйенің маңызды құндылығы - цифрларды физикалық берудің қолайлылығы (мысалы, 1 цифрына электр кернеуінің бар болуы, ал 0 цифрына электр кернеуінің жоқ болуы сәйкес келуі мүмкін) және екілік сандармен арифметикалық және логикалық операцияларды орындауға арналған компьютер аппаратурасының, дәлірек айтқанда, арифметикалық және логикалық құрылғысының күрделілігінде болып табылады. Ондық сандар тәрізді, кез келген екілік санды екілік санға кіретін цифрлар салмағының айырмашылығын анық бейнелейтін қосынды түрінде жазуға болады. Бұл қосындыда негізі ретінде 2 санын қолдануға болады. Мысалы, 1010101,101 екілік саны үшін қосындыны төмендегідей өрнектеуге болады: 1*26 +0*25 +1*24 +0*23+1*22+0*21+1*20+1*2-1 +0*2-2+1*2-3 Бұл қосынды ондық сан үшін жазылған қосындының ережесі бойынша жазылады. Берілген мысалда екілік сан жеті таңбалы бүтін саннан, үш таңбалы бөлшек бөліктерінен тұрады. Сондықтан, бүтін бөліктің үлкен цифры, яғни бірлік 27-1=26-не көбейтіледі, бүтін бөліктің нөлге тең келесі цифры, 25-не көбейтіледі және т.с.с., екінің дәрежесі кемуі бойынша ең төменгі дәрежеге дейін, үшінші цифрдың бөлшек бөлігі 23-не көбейтіледі. Осы қосындыда ондық жүйенің ережесі бойынша арифметикалық амалдарды орындай отырып, 85,625 санын аламыз. Осылайша, 1010101,101 екілік саны 85,625 ондық санына сәйкес келеді, немесе 1010101,1012= 85,62510.

 

 Сандарды көшіру ережесі.

 Екілік жүйенің елеулі кемшілігі - мұнда санды жазу үшін 0 және 1 цифрлары көп пайдаланылады. Бұл адамның екілік санды қабылдауын қиындатады. Мысалы, 156 ондық санының екілік жүйедегі түрі мынадай: 10011100. Сондықтан екілік жүйе әдетте компьютердің "ішкі кажеттілігі" үшін қолданылады, ал адамның компьютермен жұмыс істеуі үшін үлкен санау жүйесі тандалады. Бұл кезде сегіздік немесе он алтылық жүйелер жиі қолданылады, өйткені кейін көрсетілетіндей, осы екі жүйелердің және екілік жүйенің арасында санды бір жүйеден басқаға ауыстыруды жеңілдететін карапайым байланыс бар. Әрбір коэффициент пен екінің дәрежесінің көбейтінділерінің қосындысын табу қажет.

 

 Он алтылық санау жүйесі

Екілік санау жүйесін компьютерден тыс жерде қолдану өте қолайсыз екенін атап өттік. Мысалы, 89512810=110110101000100110002. Екілік санды жазуды қысқарту үшін негізі 16 болатын санау жүйесі қолданылады. Бұл жүйені он алтылық санау жүйесі деп атайды. Он алтылық позициялы санау жүйесінде санды жазу үшін ондық санау жүйесінің цифрлары 0, 1, 2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9 және жетпейтін алты цифрды белгілеу үшін ондық сандарының мәні 10, 11, 12, 13, 14 және 15 болатын сәйкес латын алфавитінің алғашқы үлкен әріптері: A, B, C, D, E, F қолданылады. Осылайша ондық жүйенің барлық цифрлары және сонымен қатар, латынның алты әріптері он алтылық жүйенің -"цифрлары" болып табылады. Он алтылық жүйенің барлық цифрларын келтірейік: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B C, D, E, F. Он алтылық санау жүйесінде F санынан кейін F+1 саны келеді, ал ондық санау жүйесіндегі 15 санынан кейін 15+1=16 саны келеді деген жазуға сәйкес келеді. Сондықтан, он алтылық санның түрі, мысалы, 3E5A1 болуы мүмкін. Осы санды негізі 16 болатынын ескеріп, қосындысы түрінде есептеп жазсақ, мынаны аламыз: ЗЕ5А116=3*164+E*163 +5*162 +A*161+1*16° Ондық жүйенің ережесі бойынша арифметикалық амалдарды орындай отырып және А=10, Е=14 ескерсек, ЗЕ5А116=25539310 санын аламыз. Ондық жүйеге қарағанда он алтылық жүйедегі санның ықшамды екендігін байқауға болады.

 

      Сегіздік санау жүйесі

 Сегіздік санау жүйесі, яғни негізі 8 болатын санау жүйесінде сандар сегіз цифрдың көмегімен өрнектеледі: 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7. Мысалы, 357 сегіздік санында жеті бірлік, бес сегіз және үш сегіздің квадраты бар, яғни 3578=3*82+5*8'+7*8°, мұнда 357 санының индексі "8" санау жүйесін білдіреді. Жазылған қосындыда ондық жүйенің ережесі бойынша арифметикалық әрекеттерді орындай отырып, 3578=23910 аламыз, яғни 357 сегіздік саны 239 ондық санға сәйкес келеді.

Ондық санау жүйесіндегі  сандарды басқа санау жүйесіне ауыстыру

  Ондық санау жүйесіндегі санды екілік санау жүйесіне ауыстыру үшін санды 2-ге бөлу керек. Алынған бөлінді екіден кіші болғанша бөлінеді де, қалған қалдықты кері бағытта жазады. Мысалы:

129:2=64   (1)            12910=100000012

64:2=32    (0)  

32:2=16   (0) 
16:2=8     (0)

8:2=4        (0)

4:2=2       (0)

2:2=1        (0)

1:2=0        (1)

 

Ондық санау жүйесіндегі  санды сегіздік санау жүйесіне ауыстыру үшін екілік санау жүйесіне ауыстырған әдісті қолданады. Бірық бұл кезде санды сегізге бөледі. Мысалы:

129:8=16    (1)            12910=2018

16:8=2        (0)

2:8=0          (2)

 

Ондық санау жүйесіндегі  санды он алтылық санау жүйесіне ауыстыру үшін тек санды сегіздің орнына он алтыға бөлу керек. Мысалы:

129:16=8    (1)           12910=8116

8:16=0        (8)

 

       Екiлiк сандармен орындалатын арифметикалық әрекеттер                        Екiлiк санау жүйесiнде арифметикалық әрекеттер ондық жүйедегi ереже бойынша орындалады, тек қана айырмашылығы – санау жүйесiнiң негiздеушiсi екiге тең және тек екi цифр қолданылады.

Қосу

 Екiлiк санды қосу тасымалдау есебiмен сәйкес разрядтар қосумен жүредi.

 Екi екiлiк санды қосу кезiнде мынадай төрт ереже қолданылады:

0+0=0

0+1=1

1+0=1

1+1=10 бiрлiктердi көршi разрядқа тасымалдайды

 М: 101 мен 11 екi екiлiк санды қосайық.

+ 1000

 Қосу – екiлiк арифметикадағы маңызды амал.

 Компьютердегi екiлiк сандармен жүзеге асатын басқа амалдар қосудың көмегiмен орындалады.

 Азайту

 Екi екiлiк санды азайту кезiнде мынадай төрт ереже қлданылады:

0-0=0

0-1=1 бiрлiктi көршi үлкен разрядтан алады

1-0=1

1-1=0

М: 1010 мен 101 екiлiк сандарының айырмасын табайық.

- 101

Көбейту

 Екi екiлiк санды көбейту ондық сандарды көбейтумен бiрдей жүредi:

 М: 1001 мен 101 екiлiк сандарын көбейтейiк.

*

1001

0000       1001         101101