Защита информации в телекоммуникационных системах

Решение:

Пусть А хочет передать В сообщение m = 14. А выбирает р = 31,

с_Аd_A mod (р - 1) = 1.                                        

с_А = 11, d_A = 41.

Аналогично,  В выбирает параметры

с_вd_в mod (p - 1) = 1

c_B = 31 и d_B = 21. Переходим к протоколу Шамира.

Шаг 1. x₁ = 14¹¹mod 51 =44.

Шаг 2. х₂ = 44³¹ mod 51 = 29.

ШагЗ.  x₃= 29⁴¹ mod 51 = 5.

Шаг 4. х₄ = 5²¹ mod 51 = 14.

Таким образом, В получил передаваемое сообщение m = 14.      

Пусть B хочет передать C сообщение m = 16. B выбирает р = 53,

С_Bd_B mod (р - 1) = 1.                                        

С_B = 5 , d_B = 21.

Аналогично. C выбирает параметры

С_cd_c mod (p - 1) = 1

C_c = 11 и d_c = 19. Переходим к протоколу Шамира.

Шаг 1. x₁ = 16⁵mod 53 =24.

Шаг 2. х₂ = 24¹¹ mod 53 = 15.

ШагЗ.  x₃= 15²¹ mod 53 =47.

Шаг 4. х₄ = 47¹⁹ mod 53 =16.

Таким образом, C получил передаваемое сообщение m = 16.      

1. Пусть R хочет передать A сообщение m = 18. C выбирает р = 57,

С_Rd_R mod (р - 1) = 1.                                        

С_R = 5 , d_R = 45.

Аналогично. В выбирает параметры

С_Ad_A mod (p - 1) = 1

C_A = 101 и d_A = 173. Переходим к протоколу Шамира.

Шаг 1. x₁ = 18⁵mod 57 =18.

Шаг 2. х₂ = 18¹⁰¹ mod 57 = 18.

ШагЗ.  x₃= 18⁴⁵ mod 57 = 18.

Шаг 4. х₄ = 18¹⁷³ mod 57 =18.

Таким образом, A получил передаваемое сообщение m = 18.

Задача 3. Шифрование по алгоритму Эль - Гамаля

По таблице 3, выбрать сообщение m и секретный ключ x  и провести шифрование по методу Эль-Гамаля для пяти абонентов. Вариант задания определяется последними цифрами номера студенческого билета. По номеру i (предпоследняя цифра) студент выбирает сообщение для зашифровывания, по j (последняя цифра) – требуемые для реализации этого алгоритма секретный ключ x. Исходные данные для других четырех секретных ключей x выбираются циклически по процедуре (i+1) и (j+1).

Таблица 3. Исходные данные для выбора сообщений и числа х.

i	0	1	2	3	4
Сообщение	7	9	11	13	3
j	0	1	2	3	4
х	43	47	51	29	11

 

Пусть имеются абоненты А, В, С, D, E которые хотят передавать друг другу зашифрованные сообщения, не имея никаких защищенных каналов связи. Шифр Эль – Гамаля  решает эту задачу, используя, в отличие от шифра Шамира, только одну пересылку сообщения. Фактически здесь используется схема Диффи – Хеллмана, чтобы сформировать общий секретный ключ для двух абонентов, передающих друг другу сообщение, и затем сообщение шифруется путем умножения его на этот ключ. Для каждого следующего сообщения секретный ключ вычисляется заново.

Для всей группы абонентов  выбираются некоторое большое простое число р и число g, такие, что различные степени g суть различные числа по модулю р. Числа р и g передаются абонентам в открытом виде (они могут использоваться всеми абонентами сети).

Нам необходимо выбрать числа  p и g так, чтобы они отвечали следующим требованиям:

g^q mod p

1,

где p=2q+1.

Возьмем p=61 и g=11.

2q+1=61  q=30

Проверим соотношение:

11³⁰ mod 61= 60

1 – выполняется.

Затем каждый абонент группы выбирает свое секретное число c_i:

                                     1 < C_i < р – 1

(см. таблицу 5.1), и вычисляет соответствующее ему открытое число d_i:

                                                     d_i=g^Сi mod p        (3.1)

 

 

Т а б л и ц а 5.1 – Ключи пользователей в системе Эль – Гамаля

Абонент	Секретный ключ	Открытый ключ
A	43	50
B	47	50
C	51	50
D	29	11
E	11	50

 

Покажем теперь, как A передает сообщение m абоненту В. Будем предполагать, как и при описании шифра Шамира, что сообщение представлено в виде числа m < р.

Шаг 1. A формирует случайное число к, 1 к р-2, вычисляет числа

r=g^k mod p,              (3.2)

e=m

d_B^k mod p,             (3.3)

и передает пару чисел (r, е) абоненту В.

Шаг 2. В, получив (r,е), вычисляет

 

m'=е

r^p-1-c_b mod р                        (3.4)

 

Утверждение  (свойства шифра  Эль-Гамаля):

1)   Абонент B получил сообщение, т.е. m'=m;

2)  противник, зная р, g, d_B, r и е, не может вычислить m.

 

Передадим сообщение m = 7 от A к B. Возьмем р = 61, g = 11. Пусть абонент B выбрал для себя секретное число с_B = 47 и вычислил по (3.1) d_B= 50.

Абонент A выбирает случайно число k, например k = 23, и вычисляет по (3.2), (3.3):

r = 11²³ mod 61 = 50,

е = 7

50²³ mod 61 = 16.

Теперь A посылает к B зашифрованное сообщение в виде пары чисел. B вычисляет по (3.4):

m' = 16

50^61-1-47 mod 61 = 7.

Мы видим, что B смог расшифровать переданное сообщение. 

Ясно, что по аналогичной  схеме могут передавать сообщения  все абоненты в сети. Заметим, что  любой абонент, знающий открытый ключ абонента B, может посылать ему сообщения, зашифрованные с помощью открытого ключа d_B. Но только абонент B, и никто другой, может расшифровать эти сообщения, используя известный только ему секретный ключ с_B. Отметим также, что объем шифра в два раза превышает объем сообщения, но требуется только одна передача данных (при условии, что таблица с открытыми ключами заранее известна всем абонентам).

Передадим сообщение m=9 от B к C. (р = 61, g = 11. Пусть абонент C выбрал для себя секретное число С_C = 51 и вычислил по (3.1) d_C = 50.

Абонент B выбирает случайно число k, например k = 6, и вычисляет по (3.2), (3.3):

r = 11⁶ mod 61 = 60

е = 9

50⁶ mod 61 = 52.

Теперь B посылает к C зашифрованное сообщение в виде пары чисел. C вычисляет по (3.4):

m' = 52

60^61-1-51 mod 61 = 9

Мы видим, что C смог расшифровать переданное сообщение.        

Передадим сообщение m= 11 от C к D. (р = 61, g = 11). Пусть абонент D выбрал для себя секретное число с_D = 29 и вычислил по (3.1)  d_D=11.

Абонент D выбирает случайно число k, например k = 5, и вычисляет по (3.2), (3.3):

r = 11⁵ mod 61=11,

е = 11

11⁵ mod 61 = 60.

Теперь C посылает к D зашифрованное сообщение в виде пары чисел. D вычисляет по (3.4):

m' = 60

11^61-1-29 mod 61 = 11.

Мы видим, что D смог расшифровать переданное сообщение.        

Передадим сообщение m= 13 от D к E. (р = 61, g = 11). Пусть абонент E выбрал для себя секретное число с_E = 11 и вычислил по (3.1)  d_E=50.

Абонент D выбирает случайно число k, например k = 3, и вычисляет по (3.2), (3.3):

r = 11³ mod 61=50,

е = 13

50³ mod 61 = 21.

Теперь D посылает к E зашифрованное сообщение в виде пары чисел. E вычисляет по (3.4):

m' = 21

50^61-1-11 mod 61 = 13.

Мы видим, что E смог расшифровать переданное сообщение. 
Передадим сообщение m= 3 от E к A. (р = 61, g = 11). Пусть абонент A выбрал для себя секретное число с_A = 43 и вычислил по (3.1)  d_A=50.

Абонент L выбирает случайно число k, например k = 4, и вычисляет по (3.2), (3.3):

r = 11⁴ mod 61=1,

е = 3

50⁴ mod 61 = 3.

Теперь E посылает к A зашифрованное сообщение в виде пары чисел. A вычисляет по (3.4):

m' = 3

1^61-1-43 mod 61 = 3.

Мы видим, что A смог расшифровать переданное сообщение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

 

В данной курсовой работе рассматриваются  криптосистемы с открытым ключом. В таких системах для шифрования данных используется один ключ, который  нет необходимости скрывать, а  для дешифрования другой – закрытый, математически связанный с открытым ключом, однако на его определение  и расшифровку шифра уйдет  относительно большой период времени.

Метод RSA является очень удобным, поскольку не требует для шифрования передачи ключа другим пользователям, в отличие, скажем, от симметричных алгоритмов. Высокая криптостойкость, объясняемая сложностью определить секретный ключ по открытому, а также довольно простая программная реализация ставят данный метод на достаточно высокий уровень.

 Использование системы  Диффи – Хеллмана облегчает снабжение большого количества абонентов секретными ключами.

Шифр Шамира позволяет  организовать обмен секретными сообщениями  по открытой линии связи без наличия  секретных ключей. Однако использование  четырех пересылок от одного абонента к другому значительно усложняет  процедуру шифрованной передачи. Данную проблему решил Эль – Гамаль,  предложивший передачу сообщений без наличия секретных слов, используя лишь одну пересылку сообщения.

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы

1. Рябко Б. Я., Фионов А.Н. Криптографические методы защиты информации. – М: Горячая линия- Телеком, 2005.

2.Петраков А.В. Основы  практической защиты информации. 2-е издание Учебн. Пособие. – М: Радио и связь 200

3. Романец Ю. В. Защита  информации в компьютерных системах и сетях./Под ред. В.Ф. Шаньгина. – М: Радио и связь 1999