Интегрирование функции методом трапеций

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

 

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ  УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

(ГОУВПО «ВГТУ»)

 

Физико-технический факультет

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

 

по дисциплине информатика

 

Тема «Интегрирование функции методом трапеций»

 

 

 

 

 

Разработал студент гр. ТФ-111                 Яковлев. А.Ю

 

Руководитель      Кошелева. Н.Н

 

 

Защищена  Оценка      

 

 

 

2012

 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

 

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ  УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

(ГОУВПО «ВГТУ»)

 

ЗАДАНИЕ

на курсовую работу

 

по дисциплине информатика

 

Тема проекта «Интегрирование функции методом трапеций»

Вариант   №6

Содержание и объем работы

Проинтегрировать функцию  от  a до b, где a и b корни уравнения x²-5x+1=0 методом трапеций с точностью .

,     ,    

 

Срок защиты курсового проекта ______________________________________

 

Руководитель        Кошелева Н.Н.

 

Задание принял студент          Яковлев А.Ю.

 

Замечания руководителя

 

Содержание

 

Задание на курсовую работу          2

Замечания руководителя          3

Введение  5

1 Метод Трапеции   7

2 Блок-схема программы    8

3 Листинг программы   9

4 Работа программы визуально                                                                                        10

5 Результаты расчетов и анализ                                                  10

Заключение    12

Список литературы           13

 

Введение

Определенный интеграл от функции, имеющей неэлементарную первообразную, можно вычислить  с помощью той или иной приближенной формулы. Для решения этой задачи на компьютере, можно воспользоваться формулами прямоугольников, трапеций или формулой Симпсона. В данной работе рассматривается формула трапеций.

Пусть I=ò f(x)dx, где f(x) – непрерывная функция, которую мы для наглядности будем предполагать положительной. Тогда I представит собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями x=a, x=b, y=0, y=f(x). Выберем какое-нибудь натуральное число n и разложим отрезок [a,b] на n равных отрезков при помощи точек x₀=a<x₁<…<x_n=b. Прямые x=x_i разбивают интересующую нас криволинейную трапецию на n полосок. Примем каждую из этих полосок за обыкновенную прямолинейную трапецию (рис. 1, где n=4).

рис. 1

Тогда площадь первой слева полоски будет приближенно  выражаться числом

((f(x₀)+f(x₁))/2)*(x₁-x₀)=((y₀+y₁)/2)*((b-a)/n),

ибо основания трапеции, за которую мы принимаем полоску, равны f(x₀)=y₀ и f(x₁)=y₁, а высота её

x₁-x₀=(b-a)/n.

Аналогично площади  дальнейших полосок выразятся числами

(y₁+y₂)*((b-a)/2*n), (y₂+y₃)*((b-a)/2*n), … , (y_n-1+y_n)*((b-a)/2*n).

Значит, для нашего интеграла получается формула

I»((b-a)/2*n)*[y₀+2*(y₁+…+y_n-1)+y_n].

Пологая для краткости y₀+y_n=Y_кр (крайние), y₁+y₂+…+y_n-1=Y_пром (промежуточные), получим

 

 

Эту формулу можно  записать в другом виде

ò f(x)dx » (h/2)*[f(a)+f(b)+2åf(xi)]

(где h – длина одного из n равных отрезков, x_i=a+i*h). Эта приближенная формула и называется формулой трапеций. Она оказывается тем более точной, чем больше взятое нами число n. Погрешность одного шага вычисляется по формуле: -(h^3)/12.

        Задача. Пусть нужно проинтегрировать функцию f(x) = ln²(x)/x  на отрезке [a, b], где a и b корни уравнения x²-5*x+4=0. На этом отрезке функция непрерывна.

Вычисления выполняются до тех  пор, пока относительная ошибка, вычисляемая  по формуле | S-Sn |, не будет меньше или равна требуемой. Функция реализована с экономией вычислений, т. е. учитывается, что S₀ постоянная и S₁=S₁+f(a+(2*i+1)*h), поэтому эти значения вычисляются единожды. Метод трапеций обладает высокой скоростью вычисления, но меньшей точностью, чем метод Симпсона, поэтому его применение удобно там, где не требуется очень высокая точность.

Ниже предлагается блок-схема, листинг, спецификации, ручной счет и результат работы программы на примере поставленной выше задачи. Блок-схема позволяет отследить и понять особенности алгоритма программы, листинг -  исходный код работающей программы с комментариями, а ручной счет предоставляет возможность проанализировать результаты выполнения программы.

 

 

 

 

1 Метод трапеции.

Метод трапеций — метод численного интегрирования функции одной переменной, заключающийся в замене на каждом элементарном отрезке подынтегральной функции на многочлен первой степени, то есть линейную функцию. Площадь под графиком функции аппроксимируется прямоугольными трапециями. Алгебраический порядок точности равен 1.

Если отрезок  является элементарным и не подвергается дальнейшему разбиению, значение интеграла можно найти по формуле

Это простое применение формулы для площади трапеции — полусумма оснований, которыми в данном случае являются значения функции в крайних точках отрезка, на высоту (длину отрезка интегрирования). Погрешность аппроксимации можно оценить через максимум второй производной

Если отрезок  разбивается узлами интегрирования и каждом из элементарных отрезков применяется формула трапеций, суммирование даст составную формулу трапеций

 

Формула Котеса.

В случае равномерной сетки

где   — шаг сетки.

Метод трапеций быстро сходится к точному значению интеграла для периодических функций, поскольку погрешность за период аннулируется. Метод может быть получен путём вычисления среднего арифметического между результатами применения формул правых и левых прямоугольников.

2. Блок-схема программы:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                                         

                                                                                             ДА

                                                                  НЕТ

                                                                       

 

 

 

 

                                                                                                                             i=1

 

                                                                                                                        

                                                                                                                            

 

 

 

 

                                                                         

 

 

 

 

 

 

 

3 Листинг программы

 

program fromCtoPascal;

var

  S, x, y, h, d, integ, a, b, e, z : real;

  i, n : integer;

function f(x:real):real;

  begin

    f := sqr(ln(x))/x;

  end;

begin

y:=x*x-5*x+4;

d:=sqr(-5)-4*1*4;

a:=(5-sqrt(d))/2;

b:=(5+sqrt(d))/2;

s:= 0;

n := 2;

e:=0.0001;

z:=1;

while z>e do

begin

  h := (b - a) / n;

  z:=h*(f(b - h)+f(b))/2;

  n:=1+n;

  end;

  for i := 1 to n-1 do

    begin

      S := S + f(a + h * i);

      end;

  integ := h * ( ( f(a) + f(b) ) / 2 + S);

  n:=n+1;

  writeln('интеграл = ',integ:0:6);

  writeln('кол-во отрезков = ',n);

  readln;

END.

 

4. Работа программы визуально

 

 

Рисунок 4.1 − Вывод результата программы на экран

 

 

5 Результаты расчетов и анализ

 

Расчет проверялся для функции  , а определенный интеграл брался от 1 до 4, точность 0,0001.

В результате расчетов получаем:

Интеграл  .

Рисунок 5.1 – точное значение интеграла

Методом трапеций .

 

 

 

 

Заключение

 

Таким образом, очевидно, что при вычислении определенных интегралов методами трапеций не дает нам точного значения, а только приближенное.

Чем ниже задается численное значение точности вычислений (основание трапеции), тем точнее результат получаемый машиной. Для большей точности необходимо большее число отрезков, что обуславливает возрастание затрат времени вычисления интеграла на компьютере обратно пропорционально точности вычисления.

Следовательно, при понижении численного значения точности вычислений результат расчетов стремится к точному результату.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы

 

1. Ставровский А.Б. –« ТурбоПаскаль7.0» - Учебник. – К.: Издательская группа BHV, 2000. – 400 с.

 

2. Демидович Б.П. – Основы вычислительной математики – М.: Физматгиз, 1963.- 660с. с илл.

 

3. Муров А.Е. – Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран, Паскаль. – Томск: МП «Раско», 1991 – 272 с. илл.