Информационные технологии

Содержание

 

Введение

С момента рождения всем нам приходится сталкиваться с очередями. Они везде: родители сидят в очереди в Загсе, чтобы официально зафиксировать этот факт... имеется очередь в гардероб...и так далее.

Очереди возникают практически  во всех системах массового обслуживания (СМО) и теория массового обслуживания (теория очередей) занимается оценкой  функционирования системы при заданных параметрах и поиском параметров, оптимальных по некоторым критериям.

Таким образом, актуальность данной темы обусловлена тем, что  при грамотном подходе и глубоких знаниях теории очередей, можно задать такие параметры функционирования системы, которые сведут затраты  на содержание СМО к минимуму.

Работа вносит определенный вклад в обобщение знаний о теории массового обслуживания, что подтверждает теоретическую значимость.

Целью данной работы стало  изучение теоретических аспектов эффективного построения и функционирования СМО.

Объектом изучения данной работы является применение теории массового обслуживания в исследовании особенностей функционирования магазина.

Предметом исследования являются системы массового обслуживания.

 

 

 

1. Постановка задачи

В магазине к узлу расчета поступает поток покупателей с интенсивностью λ = 85 человек в час. Средняя продолжительность обслуживания контролером-кассиром одного покупателя _об.= 2 минуты. Рабочее время 8 часов (1 час обеденный перерыв). Средняя заработная плата одного контролера-кассира составляет 10000 руб. в месяц. Кассовый аппарат стоит 10000 руб. (срок службы 5 лет). Стоимость канцтоваров (бумага, кассовая лента, ручки и т.д.) на одного кассира составляет 150 руб. в месяц.

Арендная плата в месяц составляет 20000 руб.

Коммунальные услуги составляют 2000 руб.

Налоги составляют 11000 руб.

Средний размер покупки – 300 руб.

Определить:

а) Минимальное количество контролеров-кассиров n_min, при котором очередь не будет расти до бесконечности, соответствующие характеристики обслуживания при n=n_min и прибыль фирмы при этих условиях.

б) Оптимальное количество n_опт. контролеров-кассиров, при котором относительная величина затрат, связанная с издержками на содержание каналов обслуживания и с пребыванием в очереди покупателей, задаваемая, например, как C_отн. = , будет минимальна, и сравнить характеристики обслуживания при n=n_min и n=n_опт.. Определить прибыль фирмы при n=n_опт.

в) Вероятность того, что  в очереди будет не более трех покупателей.

 

 

2. Математическая модель

Данная задача является примером СМО с ожиданием

Система массового обслуживания имеет один канал. Входящий поток  заявок на обслуживание —  простейший поток с интенсивностью λ. Интенсивность  потока обслуживания равна µ (т. е. в  среднем непрерывно занятый канал  будет выдавать µ обслуженных заявок). Длительность обслуживания — случайная величина, подчиненная показательному закону распределения. Поток обслуживаний является простейшим пуассоновским потоком событий. Заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания.

Предположим, что независимо от того, сколько требований поступает  на вход обслуживающей системы, данная система (очередь + обслуживаемые клиенты) не может вместить более N-требований (заявок), т.е. клиенты, не попавшие в ожидание, вынуждены обслуживаться в другом месте. Наконец, источник, порождающий заявки на обслуживание, имеет неограниченную (бесконечно большую) емкость. Граф состояний СМО в этом случае имеет вид, показанный на рис. 1.

Рис. 1. Граф состояний одноканальной СМО с ожиданием

 

Состояния СМО имеют  следующую интерпретацию:

S₀ – канал свободен;

S₁ – канал занят (очереди нет);

S₂ – канал занят (одна заявка стоит в очереди);

……………………………………………………

S_n – канал занят (n-1 заявок стоит в очереди);

………………………………………………….

S_N – канал занят (N-1 заявок стоит в очереди).

Стационарный процесс  в данной системе будет описываться  следующей системой алгебраических уравнений:

      (1)

где ρ=λ/µ; n – номер состояния.

Решение приведенной выше системы уравнений (1) для нашей модели СМО имеет вид:

     (2)

(3)

 

Тогда

Следует отметить, что  выполнение условия стационарности для данной СМО необязательно, поскольку число допускаемых в обслуживающую систему заявок контролируется путем введения ограничения на длину очереди (которая не может превышать N-1), а не соотношением между интенсивностями входного потока, т.е. не отношением λ/µ=ρ.

Определим характеристики одноканальной СМО с ожиданием и ограниченной длиной очереди, равной (N-1) [2, с. 89 – 92]:

1. вероятность отказа в обслуживании заявки:

       (4)

2. относительная пропускная способность системы:

      (5)

3. абсолютная пропускная способность:

          (6)

4. среднее число находящихся в системе заявок:

      (7)

5. среднее время пребывания заявки в системе:

         (8)

6. средняя продолжительность пребывания клиента (заявки) в очереди:

         (9)

7. среднее число заявок (клиентов) в очереди (длина очереди):

.         (10)

Теперь рассмотрим более  подробно СМО, имеющую n-каналов с неограниченной очередью. Поток заявок, поступающих в СМО, имеет интенсивность λ, а поток обслуживаний – интенсивность µ. Необходимо найти предельные вероятности состояний СМО и показатели ей эффективности.

Система может находиться в одном состоянии S₀, S₁, S₂,…,S_k,…,S_n,…, нумеруемых по числу заявок, находящихся в СМО: S0 – в системе нет заявок (все каналы свободны); S₁ – занят один канал, остальные свободны; S₂ – заняты два канала, остальные свободны;…, S_k – занято k каналов, остальные свободны;…, S_n – заняты все n каналов (очереди нет); S_n+1 – заняты все n каналов, в очереди одна заявка;…, S_n+r – заняты все n каналов, r заявок стоит в очереди, … . 

Граф состояний показан  на рисунке 2.

Рис. 2. Граф состояний многоканальной СМО с ожиданием

Обратим внимание, что  по мере увеличения в СМО от 0 до n увеличивается число каналов обслуживания. При числе заявок в СМО, большем, чем n, интенсивность потока обслуживания сохраняется равной nµ.

Формулы для предельных состояний  СМО с ожиданием выглядят следующим  образом:

       (11)

       (12)

       (13)

 

Вероятность того, что  заявка окажется в очереди равна:

          (14)

 

Для n-канальной СМО с ожиданием, используя прежние формулы, можно найти[4, с. 349 – 360]:

• среднее число занятых каналов:

           (15)

• среднее число заявок в очереди:

          (16)

• среднее число заявок в системе:

        (17)

 

 

 

 

3. Расчёты, результаты и их анализ

Задача представляет собой пример СМО с ожиданием.

Необходимо найти:

А). Минимальное количество контролеров-кассиров n_min, при котором очередь не будет расти до бесконечности, соответствующие характеристики обслуживания при n=n_min и прибыль фирмы при этих условиях.

1. Находим среднее число занятых каналов по формуле 15.

По условию l=85 (1/ч)=1.42(1/мин).

Очередь не будет расти  до бесконечности при условии, что  среднее число занятых каналов  будет меньше, чем реальное количество кассиров. На числовой оси наименьшее натуральное целое число, большее, чем 2,84, есть число 3. Значит минимальное количество кассиров =3.

2. Рассчитаем основные характеристики этой СМО с количеством кассиров =3.
• Вероятность того, что канал свободен. По формуле (11) получаем:

Таким образом, можно  заключить, что 1,3% времени касса свободна.

• Вероятность того, что заявка окажется в очереди, рассчитаем по формуле 13:

• Среднее число заявок в очереди. Воспользовавшись формулой 16, получаем:

• Среднее время ожидания в очереди 

• Среднее число заявок в системе 

3. Рассчитаем прибыль фирмы при этих условиях.

Прибыль = выручка –  себестоимость. На себестоимость продукции  отнесем заработную плату трех кассиров, амортизационные отчисления от использования основных средств (кассовые аппараты), материальные затраты на канцелярию, арендную плату, затраты на коммунальные услуги, а также начисленные предприятию налоги. При расчете заработной платы будем считать, что фирма работает без выходных, а отчетный период равен 30 дням.

Заработная плата  трех кассиров = 3 кассира*10 т.р.=30 т.р.

Начислена амортизация основных средств:

т.р.

Материальные затраты  на канцелярию 150*3=0,45 т.р.

Арендная плата =  20 т.р.

Затраты на коммунальные услуги = 2 т.р.

Начисленные предприятию  налоги = 11 т.р.

Значит себестоимость  по осуществлению предпринимательской деятельности предприятия = 30+6+0,45+20+2+11=69,45 т.р.

Рассчитаем выручку  с учетом данных задачи об интенсивности  обслуживания. Если человек в час, то можем посчитать, сколько людей обслуживается одним кассиром за месяц: человек.

Теперь можем определить размер выручки: т.р.

Прибыль = 16065-69,45 =15995,55 т.р.

Б). Оптимальное количество n_опт. контролеров-кассиров, при котором относительная величина затрат, связанная с издержками на содержание каналов обслуживания и с пребыванием в очереди покупателей, задаваемая, например, как C_отн. = , будет минимальна, и сравнить характеристики обслуживания при n=n_min и n=n_опт.. Определить прибыль фирмы при n=n_опт. 

При n=3 относительная величина затрат, выражаемая как

C_отн. = , будет равна

C_отн=

Рассчитаем относительную  величину затрат при n=4,5,6,7 и представим их в сводной таблице.

N=4

N=5

N=6

N=7

 

Таблица 1

Сравнительные характеристики СМО с числом каналов обслуживания

n = 3,4,5,6,7

Характеристика	N=3	N=4	N=5	N=6	N=7
Вероятность того, что  канал свободен	0,013	0,048	0,057	0,060	0,061
Среднее время ожидания в очереди Toch	11,6	0,77	0,19	0,036	0,015
Затраты Cотн. =	36,9	5,94	4,45	4,44	5,03