История развития систем счисления

 

 

Содержание.

Введение. 4

1. История развития систем счисления. 7

1.1 Зарождение систем счисления. 7

1.2. Образование десятичной системы счисления. 10

2. Непозиционные системы счисления. 11

2.1. Древнеегипетская десятичная непозиционная система 11

2.2. Вавилонская шестидесятеричная система 12

2.3. Римская система 15

3. Позиционные системы счисления. 17

3.1.  Двоичная (бинарная) система счисления. 17

3.2. Восьмеричная система счисления. 18

3.3. Десятеричная система счисления 19

3.4. Шестнадцатеричная система счисления. 19

Заключение. 21

Список литературы. 22

Введение.

Современный человек в повседневной жизни постоянно сталкивается с  числами: мы запоминаем номера автобусов  и телефонов, в магазине подсчитываем стоимость покупок, ведём свой семейный бюджет в рублях и копейках (сотых  долях рубля) и т.д. Числа, цифры... они с нами везде. А что знал человек о числах несколько тысяч  лет назад? Вопрос непростой, но очень  интересный. Историки доказали, что  и пять тысяч лет назад люди могли записывать числа и производить  над ними арифметические действия. Конечно, принципы записи были совсем не такими, как сейчас. Но в любом случае число изображалось с помощью одного или нескольких символов.

Эти символы, участвующие в записи числа, в математике и информатике  принять называть цифрами.

Но что же люди понимают тогда  под словом "число"?

Первоначально понятие отвлечённого числа отсутствовало, число было "привязано" к тем конкретным предметам, которые пересчитывали. Отвлечённое понятие натурального числа появляется вместе с развитием  письменности. Дробные же числа изобрели тогда, когда возникла необходимость  производить измерения. Измерение, как известно, это сравнение с  другой величиной того же рода, выбираемой в качестве эталона.

Эталон называется ещё единицей измерения. Понятно, что единица  измерения не всегда укладывалась целое  число раз в измеряемой величине. Отсюда и возникла практическая потребность  ввести более "мелкие" числа, чем  натуральные. Дальнейшее развитие понятия  числа было обусловлено уже развитием  математики.

Понятие числа - фундаментальное понятие, как математики, так и информатики. В дальнейшем при изложении материала под числом мы будем понимать его величину, а не его символьную запись.

Сегодня, в самом конце XX века, для  записи чисел человечество использует в основном десятичную систему счисления. А что такое система счисления?

Система счисления - это способ записи (изображения) чисел.

Различные системы счисления, которые  существовали раньше и которые используются в настоящее время, делятся на две группы: позиционные и непозиционные.

Наиболее совершенными являются позиционные  системы счисления, т.е. системы записи чисел, в которых вклад каждой цифры в величину числа зависит  от её положения (позиции) в последовательности цифр, изображающей число. Например, наша привычная десятичная система является позиционной: в числе 34 цифра 3 обозначает количество десятков и "вносит" в  величину числа 30, а в числе 304 та же цифра 3 обозначает количество сотен  и "вносит" в величину числа 300.

Системы счисления, в которых каждой цифре соответствует величина, не зависящая от её места в записи числа, называются непозиционными.

Позиционные системы счисления - результат  длительного исторического развития непозиционных систем счисления.

В настоящее время позиционные  системы счисления более широко распространены, чем непозиционные. Это объясняется тем, что они позволяют записывать большие числа с помощью сравнительно небольшого числа знаков. Еще более важное преимущество позиционных систем - это простота и легкость выполнения арифметических операций над числами, записанными в этих системах.

Вычислительные машины в  принципе могут быть построены в  любой системе счисления. Но столь привычная для нас десятичная система окажется крайне неудобной. Если в механических вычислительных устройствах, использующих десятичную систему, достаточно просто применить элемент с множеством состояний (колесо с десятью зубьями), то в электронных машинах надо было бы иметь 10 различных потенциалов в цепях.

 

1. История развития систем счисления.

 

         1.1 Зарождение систем счисления.

На ранних ступенях развития общества люди почти не умели считать. Они отличали друг от друга совокупности двух и трех предметов; всякая совокупность, содержавшая большее число предметов, объединялась в понятии «много». Это был еще не счет, а лишь его зародыш.

Впоследствии способность  различать друг от друга небольшие  совокупности развивалась; возникли слова  для обозначений понятий «четыре», «пять», «шесть», «семь». Последнее  слово длительное время обозначало также неопределенно большое  количество.

С усложнением хозяйственной  деятельности людей понадобилось вести  счет в более обширных пределах. Для этого человек пользовался  окружавшими его предметами, как  инструментами счета: он делал зарубки  на палках и на деревьях, завязывал  узлы на веревках, складывал камешки  в кучки и т.п. Это удобно, так  как сразу визуально определяется количество знаков и сопоставляется с количеством предметов, которые  эти знаки обозначают. Все мы ходили в первый класс и считали там, на счетных палочках – это отзвук той далекой эпохи. Кстати, от счета с помощью камешков ведут свое начало различные усовершенствованные инструменты, как, например, русские счеты, китайские счеты («сван-пан»), древнеегипетский «абак» (доска, разделенная на полосы, куда клались жетоны). Аналогичные инструменты существовали у многих народов. Более того, в латинском языке понятие «счет» выражается словом «calculatio» (отсюда наше слово «калькуляция»); а происходит оно от слова «calculus», означающего «камешек».

Особо важную роль играл  природный инструмент человека –  его пальцы. Этот инструмент не мог  длительно хранить результат  счета, но зато всегда был «под рукой» и отличался большой подвижностью. Язык первобытного человека был беден; жесты возмещали недостаток слов, и числа, для которых еще не было названий, «показывались» на пальцах.        

 Поэтому, вполне естественно,  что вновь возникавшие названия  «больших» чисел часто строились  на основе числа 10 – по количеству  пальцев на руках; у некоторых  народов возникали также названия  чисел на основе числа 5 –  по количеству пальцев на одной  руке или на основе числа  20 – по количеству пальцев  на руках и ногах. 

На первых порах расширение запаса чисел происходило медленно. Сначала люди овладели счетом в пределах нескольких десятков и лишь позднее  дошли до сотни. У многих народов  число 40 долгое время было пределом счета и названием неопределенно  большого количества. В русском языке  слово «сороконожка» имеет смысл  «многоножка»; выражение «сорок сороков» означало в старину число, превосходящее  всякое воображение. 

На следующей ступени  счет достигает нового предела: десяти десятков, и создается название для  числа 100. Вместе с тем слово «сто»  приобретает смысл неопределенно  большого числа. Такой же смысл приобретают  потом последовательно числа  тысяча, десять тысяч (в старину это  число называлось «тьма»), миллион.        

 На современном этапе  границы счета определены термином  «бесконечность», который не обозначает, какое либо конкретное число. 

 Рис 1. Обозначение  чисел в разных системах счисления.

 

2.  Образование десятичной системы счисления.

В современном русском  языке, а также в языках других народов названия всех чисел до миллиона составляются из 37 слов, обозначающих числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 , 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900, 1000 (например, восемьсот пятнадцать тысяч триста девяносто четыре). В свою очередь названия этих 37 чисел, как правило, образованы из названий чисел первого десятка (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) и чисел 10, 100, 1000 (например, 18 = восемь на десять, 30 = тридесять и т.д.). В основе этого словообразования лежит число десять, и поэтому наша система наименований называется десятичной системой счисления. 

Из упомянутого правила  в разных языках имеются различные  исключения, объясняющиеся историческими  особенностями развития счета. В  русском языке единственным исключением  является наименование «сорок». Это  исключение можно поставить в  связь с тем, что число 40 играло некогда особую роль, означая неопределенно  большое количество.        

 В тюркских языках (узбекском, казахском, татарском,  башкирском, турецком и др.) исключение  составляют наименования чисел  20, 30, 40, 50, тогда как названия чисел  60, 70, 80, 90 образованы из наименований  для 6, 7, 8, 9. Во французском языке  сохранились недесятичные названия  чисел 20 и 80, причем 80 именуется  quatrevingt, т.е. «четыре двадцать». Здесь мы имеем остаток древнего двадцатеричного счисления (по числу пальцев на руках и ногах). В латинском языке наименование числа 20 тоже недесятичное (viginti). Наименования чисел 18 и 19 образованы из названия 20 с помощью вычитания: 20–2 и 20–1 (duodeviginti, undeviginti, т.е. «два от двадцати», «один от двадцати»).

 

      2. Непозиционные системы счисления.

В непозиционных системах любое число определяется как  некоторая функция от численных  значений совокупности цифр, представляющих это число. Простейшая, но абсолютно  неудобная система счисления. Основана на единственной цифре – единице (палочке). Позволяет записывать только натуральные числа. Чтобы представить число в этой системе счисления нужно записать столько палочек, каково само число. Использовалась нецивилизованными племенами, потребности которых в счете, как правило, не выходили за рамки первого десятка. Чисто формально единичную систему счисления можно отнести к числу основных (с основанием 1). Но, в отличие от остальных основных систем счисления, считать ее позиционной можно лишь с очень сильной натяжкой, а универсальной она вообще не является (в ней нельзя представить ноль, дроби и отрицательные числа).

Исторически первыми системами  счисления были именно непозиционные  системы. Одним из основных недостатков  является трудность записи больших  чисел. Запись больших чисел в  таких системах либо очень громоздка, либо алфавит системы чрезвычайно  велик.

В вычислительной технике  непозиционные системы не применяются, но продолжают ограниченно использоваться для указания порядковых числительных (часов, столетий, номеров съездов  или конференций и т.п.).

Несколько примеров такой  системы помогут нам более  подробно в ней разобраться.

2.1. Древнеегипетская десятичная непозиционная система

В древнеегипетской системе  счисления, которая возникла во второй половине третьего тысячелетия до н.э., использовались специальные цифры  для обозначения чисел 1, 10, 10², 10³, 10⁴, 10⁵, 10⁶, 10⁷. Числа в египетской системе счисления записывались как комбинации этих цифр, в которых каждая из них повторялась не более девяти раз.

Пример. Число 345 древние  египтяне записывали так:

	Единицы		Тысячи
	Десятки		Десятки тысяч
	Сотни		Сотни тысяч

 

В основе как палочной, так  и древнеегипетской системы счисления  лежал простой принцип сложения, согласно которому значение числа равно сумме значений цифр, участвующих в его записи. Учёные относят древнеегипетскую систему счисления к десятичной непозиционной.

2.2. Вавилонская шестидесятеричная система

Также далеко от наших дней, за две тысячи лет до н.э., в другой великой цивилизации -вавилонской - люди записывали цифры по-другому.

Числа в этой системе счисления  составлялись из знаков двух видов: прямой клин служил для обозначения единиц, а лежачий клин - для обозначения  десятков.

Для определения значения числа надо было изображение числа  разбить на разряды справа налево. Новый разряд начинался с появления  прямого клина после лежачего, если рассматривать число справа налево.

Например: Число 32 записывали так: 

Знаки прямой клин и лежачий  клин служили цифрами в этой системе. Число 60 снова обозначалось тем же прямым клином, что и 1, этим же знаком обозначались и числа 3600=60², 216000=60³ и все другие степени 60. Поэтому вавилонская система счисления получила название шестидесятеричной.

Значение числа определяли по значениям составляющих его цифр, но с учётом того, что цифры в  каждом последующем разряде значили  в 60 раз больше тех же цифр в предыдущем разряде.

Пример. Число 92=60+32 записывали так:

а число 444 в этой системе  записи чисел имело вид

т.к. 444=7*60+24.

Исключительно для наглядности  разделён пробелом (которого не было у  вавилонян) старший разряд (левый) и  младший.

Все числа от 1 до 59 вавилоняне записывали в десятичной непозиционной  системе, а число в целом - в  позиционной системе с основанием 60.

Запись числа у вавилонян  была неоднозначной, т.к. не существовало цифры для обозначения нуля. Запись числа 92, приведённая выше, могла  обозначать не только 92=60+32, но и, например, 3632=3600+32. Для определения абсолютного  значения числа требовались дополнительные сведения. Впоследствии вавилоняне ввели  специальный символ для обозначения  пропущенного шестидесятеричного разряда