Математические модели

2.Математическая модель - это совокупность математических объектов и соотношений между ними, адекватно отображающая свойства и поведение исследуемого объекта.  
Математика в самом общем смысле слова имеет дело с определением и использованием символических моделей. Математическая модель охватывает класс неопределяемых (абстрактных, символических) математических объектов таких, как числа или векторы, и отношения между этими объектами.  
Математическое отношение – это гипотетическое правило, связывающее два или более символических объекта. Многие отношения могут быть описаны при помощи  математических операций, связывающих один или несколько объектов с другим объектом или множеством объектов (результатом операции). Абстрактная модель с ее объектами произвольной природы, отношениями и операциями определяется непротиворечивым набором правил, вводящих операции, которыми можно  пользоваться, и устанавливающих общие отношения между их результатами. Конструктивное определение вводит новую математическую модель, пользуясь уже известными математическими понятиями (например, определение сложения и умножения матриц в терминах сложения и умножения чисел).  
Математическая модель будет воспроизводить подходящим образом выбранные стороны физической ситуации, если можно установить правило соответствия, связывающее специфические физические объекты и отношения с определенными математическими объектами и отношениями. Поучительным и/или интересным может также быть и построение математических моделей, для которых в физическом мире аналогов не существует. Наиболее общеизвестными математическими моделями являются системы целых и действительных чисел и евклидова геометрия; определяющие свойства этих моделей представляют собой более или менее непосредственные абстракции физических процессов (счет, упорядочение, сравнение, измерение). 
Объекты и операции более общих математических моделей часто ассоциируются с множествами действительных чисел, которые могут быть соотнесены с результатами физических измерений.     
Математическое моделирование - метод качественного и (или) количественного описания процесса  с помощью, так называемой математической модели, при построении которой реальный процесс  или явление описывается с помощью того или иного адекватного математического аппарата. Математическое моделирование является неотъемлемой частью современного исследования. 
 
Математическое моделирование является типичной дисциплиной, находящейся, как сейчас часто говорят, на “стыке” нескольких наук. Адекватная математическая модель не может быть построена без глубокого знания того объекта, который “обслуживается” математической моделью. Иногда высказывается иллюзорная надежда, что математическая модель может быть создана совместно математиком, не знающим объекта моделирования, и специалистом по “объекту”, не знающим математики. Для успешной деятельности в области математического моделирования необходимо знать как математические методы, так и объект моделирования. С этим связано, например, наличие такой специальности как физик теоретик, основной деятельностью которого является математическое моделирование в физике. Разделение специалистов на теоретиков и экспериментаторов, утвердившееся в физике, несомненно, произойдет и в других науках, как фундаментальных, так и прикладных.  
 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.Классификация математических моделей.

Ввиду разнообразия применяемых  математических моделей, их общая классификация  затруднена. В литературе обычно приводят классификации, в основу которых  положены различные подходы. Один из таких подходов связан с характером моделируемого процесса, когда выделяют детерминированные и вероятностные  модели. Наряду с такой широко распространенной классификацией математических моделей  существуют и другие. 
 
Классификация математических моделей на основе особенностей применяемого математического аппарата. В ней можно выделить следующие их разновидности. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.Математические модели с сосредоточенными параметрами.

Обычно с помощью таких  моделей описывают динамику систем, состоящих из дискретных элементов. С математической стороны - это системы  обыкновенных линейных или нелинейных дифференциальных уравнений. 
 
Математические модели с сосредоточенными параметрами широко применяются для описания систем, состоящих из дискретных объектов или совокупностей идентичных объектов. Например, широко используется динамическая модель полупроводникового лазера. В этой модели фигурируют две динамические переменные -  концентрации неосновных носителей заряда и фотонов в активной зоне лазера. 
 
В случае сложных систем число динамических переменных и, следовательно, дифференциальных уравнений может быть велико (до 10²... 10³). В этих случаях полезны различные методы редукции системы, основанные на временной иерархии процессов, оценке влияния различных факторов и пренебрежении несущественными среди них и др. 
 
Метод последовательного расширения модели может привести к созданию адекватной модели сложной системы. Моделями этого типа описываются процессы диффузии, теплопроводности, распространения волн различной природы и т. п. Эти процессы могут быть не только физической природы. Математические модели с распределенными параметрами широко распространены в биологии, физиологии и других науках. Чаще всего в качестве основы математической модели применяют уравнения математической физики, в том числе и нелинейные.

 

 

 

 

 

 

5.Основной принцип классификации математических моделей

 
В качестве основного принципа классификации  математических моделей часто используют области их применения. При таком  подходе выделяются следующие области  применения: 
 
физические процессы; 
 
технические приложения, в том числе управляемые системы, искусственный интеллект; 
 
жизненные процессы (биология, физиология, медицина); 
 
большие системы, связанные с взаимодействием людей (социальные, экономические, экологические); 
 
гуманитарные науки (языкознание, искусство). 
 
(Области применения указаны в порядке, соответствующем убыванию уровня адекватности моделей). 
 
Виды математических моделей: детерминированные и вероятностные, теоретические и экспериментальные факторные. Линейные и нелинейные, динамические и статические. непрерывные и дискретные, функциональные и структурные. 
 
По форме представления математических моделей различают инвариантную, алгоритмическую, аналитическую и графическую модели объекта проектирования.

6.Виды математических моделей технических объектов

Структура модели - это упорядоченное  множество элементов и их отношений. Параметр -  это величина, характеризующая свойство или режим работы объекта. Выходные параметры характеризуют свойства технического объекта, а внутренние параметры - свойства его элементов. Внешние параметры - это параметры внешней Среды, оказывающей влияние на функционирование технического объекта. 
 
К математическим моделям предъявляются требования адекватности, экономичности, универсальности. Эти требования противоречивы.  

В зависимости от степени  абстрагирования при описании физических свойств технической системы  различают три основных иерархических  уровня: верхний или метауровень, средний или макроуровень, нижний или микроуровень. 
 
Метауровень соответствует начальным стадиям проектирования, на которых осуществляется научно-техничекский1 поиск и прогнозирование, разработка концепции и технического решения, разработка технического предложения. Для построения математических моделей метауровня используют методы морфологического синтеза, теории графов, математической логики, теории автоматического управления, теории массового обслуживания, теории конечных автоматов. 
 
На макроуровне объект рассматривается как динамическая система с сосредоточенными параметрами. Математические модели макроуровня представляют собой системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Эти модели используют при определении параметров технического объекта и его функциональных элементов. 
 
На микроуровне объект представляется как сплошная Среда с распределенными параметрами. Для описания процессов функционирования таких объектов используют дифференциальные уравнения в частных производных. На микроуровне проектируют неделимые по функциональному признаку элементы технической системы, называемые базовыми элементами. При этом базовый элемент рассматривается как система, состоящая из множества однотипных функциональных элементов одной и той же физической природы, взаимодействующих между собой и находящихся под воздействием внешней Среды и других элементов технического объекта, являющихся внешней средой по отношению к базовому элементу. 
 
По форме представления математических моделей различают инвариантную, алгоритмическую, аналитическую и графическую модели объекта проектирования. 
 
В инвариантной форме математическая модель представляется системой уравнений вне связи с методом решения этих уравнений. 
 
В алгоритмической форме соотношения модели связаны с выбранным численным методом решения и записаны в виде алгоритма - последовательности вычислений. Среди алгоритмических моделей выделяют имитационные , модели предназначенные для имитации физических и информационных процессов, протекающих в объекте при его функционировании под воздействием различных факторов внешней среды.  
 
Аналитическая модель представляет собой явные зависимости искомых переменных от заданных величин (обычно зависимости выходных параметров объекта от внутренних и внешних параметров). Такие модели получают на основе физических законов, либо в результате прямого интегрирования исходных дифференциальных уравнений. Аналитические математические модели позволяют легко и просто решать задачи определения оптимальных параметров. Поэтому, если представляется возможность получения модели в таком виде, ее всегда целесообразно реализовать, даже если при этом придется выполнить ряд вспомогательных процедур, Такие модели обычно получают методом планирования эксперимента (вычислительного или физического). 
 
Графическая (схемная) модель представляется в виде графов, эквивалентных схем, динамических моделей, диаграмм и т.п. Для использования графических моделей должно существовать правило однозначного соответствия условных изображений элементов графической и компонентов инвариантной математических моделей. 
 
Деление математических моделей на функциональные и структурные определяется характером отображаемых свойств технического объекта. 
 
Структурные модели  отображают только структуру объектов и используются только при решении задач структурного синтеза. Параметрами структурных моделей являются признаки функциональных или конструктивных элементов, из которых состоит технический объект и по которым один вариант структуры объекта отличается от другого. Эти параметры называют морфологическими перемененными. Структурные модели имеют форму таблиц, матриц и графов. Наиболее перспективно применение древовидных графов типа И-ИЛИ-дерева. Такие модели широко используют на метауровне при выборе технического решения. 
 
Функциональные модели описывают процессы функционирования технических объектов и имеют форму систем уравнений. Они учитывают структурные и функциональные свойства объекта и позволяют решать задачи как параметрического, так и структурного синтеза. Их широко используют на всех уровнях  проектирования. На метауровне функциональные задачи позволяют решать задачи прогнозирования, на макроуровне - выбора структуры и оптимизации внутренних параметров технического объекта, на микроуровне - оптимизации параметров базовых элементов. 
 
ПО способам получения функциональные математические модели делятся на теоретические и экспериментальные. 
 
Теоретические модели получают на основе описания физических процессов функционирования объекта, а экспериментальные - на основе поведения объекта во внешней среде, рассматривая его как “черный ящик”. Эксперименты при этом могут быть физические (на техническом объекте или его физической модели) или вычислительные (на теоретической математической модели). 
 
При построении теоретических моделей используется физический и формальный подходы.  
 
Физический подход сводится к непосредственному применению физических законов для описания объектов, например, законов Ньютона, Гука, Кирхгофа и т.д. 
 
Формальный подход использует общие математические принципы и применяется при построении как теоретических, так и экспериментальных моделей. Экспериментальные модели - формальные. Они не учитывают всего комплекса физических свойств элементов исследуемой технической системы, а лишь устанавливают обнаруживаемую в процессе эксперимента связь между отдельными параметрами системы, которые удается варьировать и (или) осуществлять их измерение. Такие модели дают адекватное описание исследуемых процессов лишь в ограниченной области  пространства параметров, в которой осуществлялось варьирование параметров в эксперименте. Поэтому экспериментальные математические модели носят частный характер, в то время как физические законы отражают общие закономерности явлений и процессов, протекающих как во всей технической системе, так и в каждом ее элементе в отдельности. Следовательно, экспериментальные математические модели не могут быть приняты в качестве физических законов. Вместе с тем методы, применяемые для построения этих моделей широко используются при проверке научных гипотез. 
 
Функциональные математические модели могут быть линейные и нелинейные. 

Линейные модели содержат только линейные функции величин, характеризующих состояние объекта при его функционировании, и их производных. Характеристики многих элементов реальных объектов нелинейные. Математические модели таких объектов включают нелинейные функции этих величин и их производных и относятся к нелинейным. 
 
Если при моделировании учитываются инерционные свойства объекта и (или) изменение во времени объекта или внешней Среды, то модель называют динамической. В противном случае модель - статическая. Математическое представление  динамической модели в общем случае может быть выражено системой дифференциальных уравнений, а статической - системой алгебраических уравнений. 
 
Если воздействие внешней Среды на объект носит случайный характер и описывается случайными функциями. В этом случае требуется построение вероятностной  математической модели. Однако такая модель весьма сложная и ее использование при проектировании технических объектов требует больших затрат машинного времени. Поэтому ее применяют на заключительном этапе проектирования. 
 
Большинство проектных процедур выполняется на детерминированных моделях. Детерминированная математическая модель характеризуется взаимно однозначным соответствием между внешним воздействием на динамическую систему и ее реакцией на это воздействие. В вычислительном эксперименте при проектировании обычно задают некоторые стандартные типовые воздействия на объект: ступенчатые, импульсные, гармонические, кусочно-линейные, экспоненциальные и др. Их называют тестовыми воздействиями.  

1.Введение

Степень разработанности  математических методов в научной 

дисциплине служит объективной  характеристикой глубины знаний об

изучаемом предмете. Явления  в физики и химии описываются 

математическими моделями достаточно полно, в результате эти науки 

достигли высокой степени  теоретических обобщений.

Математическое моделирование  как нормальных физиологических, так 

и патологических процессов  является в настоящее время одним  из самых 

актуальных направлений  в научных исследованиях. Дело в  том, что 

современная медицина представляет собой в основном экспериментальную 

науку с огромным эмпирическим опытом воздействия на ход тех  или иных

болезней различными средствами. Что же касается подробного изучения

процессов в биосредах, то их экспериментальное исследование является

ограниченным, и наиболее эффективным аппаратом их исследования

представляется математическое моделирование.

Попытки использовать математическое моделирование в 

биомедицинских направлениях начались в 80-х гг. 19 в. Идея

корреляционного анализа, выдвинутая английским психологом и 

антропологом Гальтоном и усовершенствованная английским биологом и

математиком Пирсоном, возникла как результат попыток обработки 

биомедицинских данных. Начиная  с 40-х гг. 20 в. математические методы

проникают в медицину и  биологию через кибернетику и  информатику.

Первым примером упрощенного  описания живых систем в медицине и 

биологии была модель черного  ящика, когда все выводы делались только на

основе изучения реакций  объекта (выходов) на те или иные внешние 

воздействия (входы) без учета  внутренней структуры объекта.

Соответствующее описание объекта  в понятиях вход — выход оказалось 

неудовлетворительным, т.к. оно не учитывало изменения его  выходных

реакций на одно и то же воздействие  из-за влияния внутренних изменений  в  5

объекте. Поэтому метод  черного ящика уступил место  методам пространства

состояний, в которых описание дается в понятиях вход — состояние  — 

выход. Наиболее естественным описанием динамической системы  в рамках

теории пространства состояний  является компартментальное моделирование,

где каждому компартменту соответствует одна переменная состояния. В то

же время соотношения  вход — выход по-прежнему широко используются

для описания существенных свойств биологических объектов.

Выбор тех или иных математических моделей при описании и 

исследовании биологических  и медицинских объектов зависит  как от

индивидуальных знаний специалиста, так и от особенностей решаемых задач.

Например, статистические методы дают полное решение задачи во всех

случаях, когда исследователя  не интересует внутренняя сущность процессов,

лежащих в основе изучаемых  явлений. Когда знания о структуре  системы,

механизмах ее функционирования, протекающих в ней процессах  и 

возникающих явлениях могут  существенно повлиять на решения 

исследователя, прибегают  к методам математического моделирования 

систем.

Под руководством И.М. Гельфанда  был развит целый подход,

позволяющий формализовать  врачебные знания на основе гипотезы

структурной организации  данных о человеке, и таким путем  получать в 

клинической медицине результаты, сравнимые по своей строгости  с 

результатами экспериментальных  наук, при полном соблюдении этических 

законов медицины.

Широко применяются математические методы в биофизике, биохимии,

генетике, физиологии, медицинском  приборостроении, создании

биотехнических систем. Развитие математических моделей и методов