Методы решения нелинейных уравнений

  |c-x k-1 | ? | f (x k+1)/m| , где m = minf’(x) на отрезке [a;b] .

  На  практике проще пользоваться другим правилом :

  Если  на отрезке [a;b] выполняется условие 0 < m < | f (x)| и e - заданная точность решения, то неравенство | x k+1-x k| ? e влечет выполнение неравенства |c-x k-1| ? e .

  В этом случае процесс последовательного  приближения продолжают до тех пор, пока не выполнится неравенство :|c-x k-1| ? e .

  Упрощенный  метод Ньютона:   , n=0,1,…

  Метод секущих:  , n=0,1,… 

  1.3. Тестовый пример                             

  Для заданного нелинейного уравнения вида f(x)=0 графическим или аналитическим способом найти интервалы локализации корней, 5^x-3x-5=0

1. 5^x-3x-5=0;   y=5^x       y=3x-5

   5^x=3x+5  x -2 -1 0 1 2  x -2 2

                           y 0,04 0,2 1 5 25  y -1 11 

1. графический метод

Первое  решение находится в интервале (-2;-1). Второе в интервале (1;2)

б) метод  секущих

      1) (-2;-1)

      f(x)=5^x-3x-5

f(-2)=5^-2+6-5=1/25+1=26/25=1.04>0

f(-1)=5^-1+3-5=1/5-2=-1.8<0

x₁=a-(b-a)f(a)/f(b)-f(a)=-2-(-1+2)*1.04/-1.8-1.04=-1/6338<0

f(-1.6338)=5^-1.6338+3*1.6338-5=-0.0265<0

  применим метод к промежутку (-2;-1.6338)

            x₂=-2-(-1.6429+2)*1.04/(-0.0002-1.04)=-1.64297

            f(-1.64297)=5^-1.6338+3*1.64297-5=-0.00003

            искомый корень: -1.6429 

      2) (-2;-1)

f(1)=5¹-3-5=-3<0

f(2)=5²-3*2-5=25-11=14>0

x₁=a-(b-a)f(a)/f(b)-f(a)=1-(2-1)*(-3)/-14+3=1+3/17=1.1765

f(1.1765)=5^1.1765+3*1.1765-5=-1.8869<0

      (1.1765;2) 

x₂=a-(b-a)f(a)/f(b)-f(a)=1.1765-(2-1.1765)*(-1.8869)/-14+-1.8869=1.2743

f(1. 2743)=-1.04795<0

      (1.2743;2)

x₃=a-(b-a)f(a)/f(b)-f(a)=1.2743-(2-1.2743)*(-1.04795)/-14+-1.04795=1.3248

f(1. 3248)=-0.5411<0

      (1.3248;2)

x₄=a-(b-a)f(a)/f(b)-f(a)=1.3248-(2-1.3248)*(-0.5411)/-14+=-0.5411=1.3499

f(1. 3499)=-0.2688<0

      (1.3499;2)

x₅=a-(b-a)f(a)/f(b)-f(a)=1.3499-(2-1.3499)*(-0.2688)/-14+-0.2688=1.3621

f(1. 3621)=-0.1313<0

      (1.3621;2)

x₆=a-(b-a)f(a)/f(b)-f(a)=1.3621-(2-1.3621)*(-0.1313)/-14+-0.1313=1.3680

f(1. 3680)=-0.0635<0

      (1.3680;2)

x₇=a-(b-a)f(a)/f(b)-f(a)=1.3680-(2-1.3680)*(-0.0635)/-14+-0.0635=1.3709

f(1. 3709)=-0.0299<0

      (1.3709;2)

x₈=a-(b-a)f(a)/f(b)-f(a)=1.3709-(2-1.3709)*(-0.0299)/-14+-0.0299=1.3722

f(1. 3722)=-0.0148<0

      (1.3722;2)

x₉=a-(b-a)f(a)/f(b)-f(a)=1.3722-(2-1.3722)*(-0.0148)/-14+-0.0148=1. 3729

f(1. 3729)=-0.0067<0

      (1.3729;2)

x₁₀=a-(b-a)f(a)/f(b)-f(a)=1.3729-(2-1.3729)*(-0.0067)/-14+-0.0067=1.3732

f(1. 3732)=-0.0032<0

      (1.3732;2)

x₁₁=a-(b-a)f(a)/f(b)-f(a)=1.3732-(2-1.3732)*(-0.0032)/-14+-0.0032=1.3733

f(1. 3733) =-0.00199<0

      (1.3733;2)

x₁₂=a-(b-a)f(a)/f(b)-f(a)=1.3733-(2-1.3733)*(-0.00199)/-14+-0.00199=1.3734

f(1. 3734)=-0.0008<0

      (1.3734;2)

x₁₃=a-(b-a)f(a)/f(b)-f(a)=1.3734-(2-1.3734)*(-0.0008)/-14+-0.0008=1.37344

f(1. 37344)= -0.0004<0

      (1.37344;2)

x₁₄=a-(b-a)f(a)/f(b)-f(a)=1.37344-(2-1.37344)*(-0.0004)/-14+-0.0004=1.3735

f(1. 3735)=-0.0003<0

      (1.3735;2)

x₁₅=a-(b-a)f(a)/f(b)-f(a)=1.3735-(2-1.3735)*(-0.0003)/-14+-0.0003=1.37347

f(1. 37347)=-0.000001<0

      (1.37347;2)

      искомый корень: 1.3734

1.4 Разработка алгоритма решения нелинейных уравнений в приложении 1.1 
 
 
 
 
 
 
 

Глава 2. Вычисление значения функции при помощи интерполяционной формулы

2.1 Общая характеристика  методов интерполяционной  формулы

     Основные  направления исследования: разрешимость задачи интерполирования, простейших интерполяционных формул, применение интерполяции для построения приближенных интерполяционных формул, применение интерполяции для построения приближенных и численных методов решения различных задач математики и ее приложений.

      Приближенное  представление функций. Интерпояционные функции на отрезке по значениям ее в узлах сетка - означает постоение другой функции такой, что В более общей постановке задача интерполирования функции состоит в постоении не только из условий совпадения значений функций и на стеке , но и совпадения в отдельных узлах производных до какого-то порядка или некоторых других соотношений, связанных и .

      Обычно  стоится в виде

,

где - некоторая заранее выбранная система линейно независимых функций. Такое интерполирование называется л и н е й н ы м относительно системы , а интерполяционным многочленом по системе .

      Выбор системы  определяется свойством класса функций, для приближения которого предназначаются интерполяционные формулы. Например, для приближения - периодической функции на   за  естественно взять тригонометрическую систему функций, для приближения на полу оси ограниченных или возрастающих функции- систему рациональных или показательных функций, учитывающих поведение приближаемых функций на бесконечности и т.д.

      Чаще  всего используя а л г е  б р а и ч е с к о  е  интерполирование: . Существует ряд явных представлений алгебраических интерполяционных многочленов. Например интерполяционный многочлен Лагранжа имеет вид:

      В задаче приближения функции и  на всём отрезке  алгебраическое интерполирование высокого порядка выполняется сравнительно редко. Алгебраический интерполяционный процесс не является сходящимся в классе непрерывных на функций. Обычно ограничиваются линейным интерполированием по узлам и на каждом отрезке или квадратичным по трем узлам , , на отрезке .

      Эффективным аппаратом приближения функции  являются интерполяционные сплайны, но их построение в ряде частных случаях требует значительных вычислительных затрат.

      Полиномиальный  интерполяционный  сплайн произвольной степени m дефекта r определяется как функция , удовлетворяющая, кроме условий и , еще дополнительно условиям совпадения в узлах сетки значений функции и интерполированной функции и их производных до некоторого порядка.

      Часто при обработке эмпирических данных коэффициенты в определяют исходя из требования минимизации суммы

- заданные числа,  .

      Такое построение функции называют интерполированием  по методу наименьших квадратов.

      Интерполирование  функций многих переменных имеет  ряд принципиальных и алгебраических трудностей. Например в случае алгебраической интерполяции интерполяционный многочлен  Лагранжа фиксированной степени, вообще говоря, не существует для произвольной схемы различных узлов интерполяции. В частности для функций двух переменных такой многочлен суммарной степени не выше n может быть построен по узлам лишь при условии, что эти узлы не лежат на алгебраической кривой порядка n.

      Другой  поход к интерполированию функции  многих переменных стоит в том, что сначала интерполируется функция по переменной при фиксированных потом по следующей переменной при фиксированных и т.д. интерполяционные сплайны для функций многих переменных определяются по многомерной сетке при соответствующих изменениях по аналогии с одномерным случаем.

      Интерполирование функций и численные методы. Интерполирование функции используется:

1. для замены сложно вычисляемой функции другой, вычисляемой проще
2. для приближенного восстановления функции на всей области задания по значениям её в отдельных точках или по другим известным величинам
3. для получения сглаживающих функций
4. для приближенного нахождения предельных значений функции
5. в задачах ускорения сходимости последовательностей и рядов и в других вопросах.

     Общие идеи построения интерполяционных методов  решения уравнения  =0 и систем уравнения , одни и те же. Трудности задачи интерполирования функций многих преременных особенно  сказывается при исследовании и практическом использовании такого рода методов для большого числа уравнений. В основу получении интерполяционных методов решения уравнения =0 положена замена функции ее интерполяционным многочленом и последующим решением уравнения =0 берутся за приближенные решении уравнения =0 интерполяционный многочлен используется так же при построении итерационных методов решения уравнения =0.

      Например  взяв за корень линейного интерполяционного алгебраического многочлена, построенного по значениям и в узле  или по значениям и в узлах и , приходят соответственно к методу Ньютона и метода секущих

,

где - разделенная разность функций для узлов и .

      Другой  подход к построению численных методов  решения уравнения  =0 основан на интерполировании обратной функции . Пусть в качестве интерполяционной формулы для функции взят интерполяционный алгебраический многочлен Лагранжа , построенный по узлам Тогда за следующее приближению к корню уравнения =0 берется величина .

      Численное интегрирование. Аппарат интерполирования функции лежит в основе построения многих квадратурных и кубатурных формул. Такого рода формулы строятся путем замены интегрируемой функции на всей области или на её составных частях интерполяционными многочленами того или иного вида и последующим интегрированием этих многочленов. Например квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени точности, так называемые квадратурные формулы Гаусса:

где - знакопостоянная весовая функция, получаемая в результате замены функции   интерполяционным алгебраическим многочленом, построенным по корням ортогонального относительно веса многочлена степени n.

      Изложенная  выше схема построения формул для  приближенного вычисления интегралов применима и в многомерном  случае

      Формулы численного дифференцирования, в основе которых лежит интерполирование, получаются в результате дифференцирования интерполяционных многочленов. Ввиду неустойчивости задачи численнго дифференцирования относительно ошибок использования значений функций в узлах шаг интерполирования должен согласоваться с погрешносьтью значений функций. Поэтому на практике нередки случаи, когда известная на густой сетке функция используется в данной задаче не во всех точках, а на более редкой сетке.

      При численном решении интегральных уравнений, известная функция заменяется в интегральном уравнении каким-либо интерполяционным приближением (интерполяционным алгебраическим многочленом, интерполяционным сплайном и т.д.) с узлами интерполирования , а приближенные значения для находятся из системы, полученной после подстановке вместо независимости переменной x узлов интерполирования . В случае нелинейных интегральных уравнений приближенные значения находятся соответственно из нелинейной системы.