Метод касательных решения нелинейных уравнений

Пензенский приборостроительный колледж

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

на тему:

Метод касательных решения нелинейных уравнений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил:  Ст-т 22п группы  ЛЯПИН  Р.Н.

 

 

Проверила: ______________

 

 

 

 

 

 

 

 

Ковылкино – 1999 г.

 

ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ

 

 

студент Ляпин Р.Н. группа 22п

 

 

 

 

1. Тема: "Метод касательных решения нелинейных уравнений".
2. Изучить теоретический материал по заданной  теме.
3. Составить блок схему алгоритма решения задачи .
4. Написать программу на языке Турбо-Паскаль для решения задачи в общем виде.
5. Выполнить программу с конкретными значениями исходных данных. 
6. Определить корни уравнения х3 + 0,1 * х2 + 0,4 * х – 1,2 = 0 аналитически и уточнить один из них с точностью до 0,000001 методом касательных
7. Срок представления работы к защите: 10 мая 1999 г.
8. Исходные данные для исследования: научная и техническая литература.

 

 

Руководитель курсовой работы: Кривозубова С.А.

 

Задание принял к исполнению:  Ляпин Р.Н.

 

 

 

РЕФЕРАТ

 

Курсовая работа содержит:  страниц, 1 график, 5 источников.

Перечень ключевых понятий: производная, метод касательных, программирование, нелинейное уравнение.

Объект исследования: Корни нелинейного уравнения.

Цель работы: Определение корней нелинейного уравнения.

Методы исследования: изучение работ отечественных и зарубежных авторов по данной теме.

Полученные результаты: изучен метод касательных решения нелинейных уравнений; рассмотрена возможность составления программы на языке программирования Турбо-Паскаль 7.0

Область применения: в работе инженера.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

 

стр.

 

ВВЕДЕНИЕ........................................ 5

 

1. Краткое описание сущности  метода касательных 

   ( метода секущих  Ньютона).................... 7

 

2. Решение нелинейного  уравнения аналитически .. 9

 

3. Блок схема программы ........................ 11

 

4. Программа на языке PASCAL 7.0 ............... 12

 

5. Результаты выполнения  программы ............. 13

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННИХ ИСТОЧНИКОВ ............... 14

 

 

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

 

 

Процедура подготовки и решения задачи на ЭВМ достаточно сложный и трудоемкий процесс, состоящий  из следующих этапов:

1. Постановка задачи (задача, которую предстоит решать на ЭВМ, формулируется пользователем   или получается им  в виде задания).
2. Математическая формулировка задачи.
3. Разработка алгоритма решения задачи.
4. Написание программы на языке программирования.
5. Подготовка исходных данных .
6. Ввод программы и исходных данных в ЭВМ.
7. Отладка программы.
8. Тестирование программы.
9. Решение задачи на ЭВМ и обработка результатов.

В настоящей курсовой работе условие задачи дано в математической формулировке, поэтому необходимость в выполнении этапов 1 и 2 отпадает и сразу можно приступить к разработке алгоритма решения задачи на ЭВМ. Под алгоритмом понимается последовательность арифметических и логических действий над числовыми значениями переменных, приводящих к вычислению результата решения задачи при изменении исходных данных в достаточно широких пределах. Таким образом, при разработке алгоритма решения задачи математическая формулировка преобразуется в процедуру решения, представляющую собой последовательность арифметических действий и логических связей между ними. При этом алгоритм обладает следующими свойствами: детерминированностью, означающей, что применение алгоритма к одним и тем же исходным данным должно приводить к одному и том уже  результату; массовость, позволяющей получать результат при различных исходных данных; результативностью, обеспечивающей получение результата через конечное число шагов.

Наиболее наглядным способом описания алгоритмов является описание его в виде схем. При этом алгоритм представляется последовательность блоков, выполняющих определенные функции, и связей между ними. Внутри блоков указывается информация, характеризующая выполняемые ими функции. Блоки схемы имеют сквозную нумерацию.

Конфигурация и размеры блоков, а также порядок построения схем определяются ГОСТ 19.002-80 и ГОСТ 19.003-80.

На этапе  4 составляется программа на языке Турбо-Паскаль. При описании программы необходимо использовать характерные приемы программирования и учитывать специфику языка. В качестве языка программирования выбран язык ПАСКАЛЬ ввиду его наглядности и облегченного понимания для начинающих программистов, а также возможности в дальнейшем использовать для решения более трудных задач.

Этапы алгоритмизации и программирования являются наиболее трудоемкими, поэтому им уделяется большое внимание.

В процессе выполнения курсовой работы студент готовит исходные данные, вводит программу и исходные данные. При работе ввод программы и исходных данных осуществляется с клавиатуры дисплея.

Отладка программы состоит в обнаружении и исправлении ошибок, допущенных на всех этапах подготовки задач к решению на ПЭВМ. Синтаксис ошибки обнаруживается компилятором, который выдает сообщение, указывающее место и тип ошибки. Обнаружение семантических ошибок осуществляется на этапе тестирования программы, в котором проверяется правильность выполнения программы на упрощенном варианте исходных данных или с помощью контрольных точек или в режиме пошагового исполнения.

Задание при обработке на  ЭВМ проходит ряд шагов: компиляцию, редактирование (компоновку) и выполнение.

Обработка результатов решения задачи осуществляется с помощью ЭВМ. Выводимые результаты оформлены в виде, удобном для восприятия.                       

 

 

 

1. Краткое описание сущности метода  касательных

( метода секущих Ньютона)

 

Пусть на отрезке [a; b] отделен корень с уравнения f (x) = 0 и f -функция непрерывна на отрезке [a; b], а на интервале  ]a; b[ существуют отличные от нуля производные f ’ и f ”.

Так как f ’(x) ¹ 0 , то запишем уравнение f (x) = 0 в виде :

x = x – ( f (x) / f ’(x))     (1)

Решая его методом итераций можем записать :

xn+1 = x n– ( f (x n) / f ’(x n))    (2)

Если на отрезке [a;b]   f ’(x) * f “(x) > 0, то нул – евое приближение выбираем x0=a. Рассмотрим геометрический смысл метода . Рассмотрим график функции y=f(x). Пусть для определенности f ‘(x) > 0 и f “(x) > 0 (рис. 1). Проведем касательную к графику функции в точке B (b, f (b)). Ее уравнение будет иметь вид :

y = f (b) + f ’(b) * (x – b)

Полагая в уравнении y = 0 и учитывая что f ’(x) ¹ 0, решаем его относительно x. Получим :

x = b – (f (b) /f ‘(b))

Нашли абсциссу x1 точки c1 пересечения касательной с осью ox :

x1 = b – (f (b) – f ’ (b))

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Проведем  касательную к графику функции в точке b1 (x1; f (x1)).Найдем абсциссу x2 точки с2 пересечения касательной с осью Ox :

x2 = x1 – (f (x1) / ( f ’(x1))

Вообще :

xk+1 = x k – ( f (x k) / f ’(x k))     (3)

Таким образом, формула (3) дает последовательные приближения (xk) корня, получаемые из уравнения касательной , проведенной к графику функции в точке         b k (x k; f (x k0) метод уточнения корня  c  [a;b] уравнения f (x) = 0 с помощью формулы (3) называется методом касательной или методом Ньютона.

Геометрический смысл метода касательных состоит в замене дуги y = f (x) касательной, одной к одной  из крайних точек . Начальное приближение x 0 = a или    x0 = b брать таким, чтобы вся последовательность приближения х k принадлежала интервалу  ]a;b[ . В случае существования производных f ’, f ”, сохраняющих свои знаки в интервале, за х0 берется тот конец отрезка [a;b], для которого выполняется условие  f ’(х0) * f (х0) > 0. Для оценки приближения используется общая формула :

|c-x k-1 | £ | f (x k+1)/m| , где m = min f ’(x) на отрезке [a;b] .

На практике проще пользоваться другим правилом :

Если на отрезке [a;b] выполняется условие  0 < m < | f (x)|  и e - заданная точность решения, то неравенство | x k+1-x k| £ e влечет выполнение неравенства       |c-x k-1| £ e .

В этом случае процесс последовательного приближения продолжают до тех пор, пока не выполнится неравенство :

|c-x k-1| £ e .

 

 

 

 

 

2. Решение нелинейного  уравнения аналитически 

 

 

Определим корни уравнения х3 + 0,1х2 + 0,4х – 1,2 = 0 аналитически. Находим :     f  (x) =  х3 + 0,1х2 + 0,4х – 1,2

f ‘ (x) =  3х2 + 0,1х + 0,4

 

f (–1)   = –2,5 < 0  f (0)   = –1,2 < 0  f (+1)   = 0,3 > 0

 

x	- ¥	-1	0	+1	+ ¥
sign f (x)	-	-	-	+	+

 

 

Следовательно, уравнение имеет действительный корень, лежащий в промежутке [ 0; +1 ].

Приведем уравнение к виду x =  j (x) , так , чтобы | j ‘ (x) | <1 при 0 £ x £ +1.

Так как max | f ’(x) | = f ’(+1) = 3 + 0,1 + 0,4 = 3,5 то можно взять R = 2.

Тогда j (x) = x – ( f (x) / R) = x – 0,5 х3 – 0,05 х2 – 0,2 х + 0,6 = – 0,5 х3 – 0,05 х2 + 0,8 х + 0,6.

Пусть х0 = 0 , тогда х n+1 = j (х n).

Вычисления расположим в таблице.     

 

n	хn	х2n	х3n	j (хn).	f (x)
1	1	1	1	0,85	-0,17363
2	0,85	0,7225	0,614125	0,9368125	0,08465
3	0,9368125	0,87761766	0,822163194	0,89448752	-0,04651
4	0,89448752	0,800107923	0,715686552	0,917741344	0,024288
5	0,917741344	0,842249174	0,772966889	0,905597172	-0,01306
6	0,905597172	0,820106238	0,74268589	0,912129481	0,006923
7	0,912129481	0,83198019	0,758873659	0,908667746	-0,0037
8	0,908667746	0,825677072	0,750266124	0,910517281	0,001968
9	0,910517281	0,829041719	0,754856812	0,909533333	-0,00105
10	0,909533333	0,827250884	0,752412253	0,910057995	0,000559
11	0,910057995	0,828205555	0,753715087	0,909778575	-0,0003
12	0,909778575	0,827697055	0,753021048	0,909927483	0,000159
13	0,909927483	0,827968025	0,753390861	0,909848155	-8,5E-05
14	0,909848155	0,827823665	0,753193834	0,909890424	4,5E-05
15	0,909890424	0,827900583	0,753298812	0,909867904	-2,4E-05
16	0,909867904	0,827859602	0,753242881	0,909879902	1,28E-05
17	0,909879902	0,827881437	0,753272681	0,90987351	-6,8E-06
18	0,90987351	0,827869803	0,753256804	0,909876916	3,63E-06
19	0,909876916	0,827876002	0,753265263	0,909875101	-1,9E-06
20	0,909875101	0,827872699	0,753260756	0,909876068	1,03E-06

 

 

График функции y =  х3 + 0,1х2 + 0,4х – 1,2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Блок схема программы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Программа на языке PASCAL 7.0

 

program metod_kasatel;{Название программы}

 uses Crt;  {Модуль дисплейных функций}

var  {Блок описаний переменных}

xn,xn1,a,b,c,mx,y0,x0 :real;

 

function f1(x1:Real): Real; {Основная функция}

 begin

  f1 := x1*x1*x1*(-0.5)-0.05*x1*x1+0.8*x1+0.6;

 end;

 

function f2(x4:Real): Real; {Производная от основной функции}

 begin

  f2 := x4*x4*x4+0.5*x4*x4+0.1*x4*x4+0.4*x4–1.2;

 end;

 

begin {Начало основного тела программы}

  Clrscr; {Очистка экрана перед выполнением программы}

 

a:=0;b:=1;c:=0.00000001;

 

 Writeln(' От A=',a,' до B=',b); {Вывод на экран}

 Writeln(' Погрешность с=',c);

 

Readln; { Ожидание нажатия клавиши Enter}

 

xn:=b;

xn1:= f1(xn);

 y0:=f2(b);

 

while ABS(y0)>c do {Проверка по точности вычисления корня}

 

 begin {Тело цикла}

  xn:=xn1;

  xn1:=f1(xn);

  y0:= f2(xn1);

 

   {Печать промежуточного результата}

   Writeln('xn=',xn,' xn+1=',xn1,' f(xn+1)=',y0);

 

  Readln; { Ожидание нажатия клавиши Enter}

end; {Конец тела цикла}

 

Writeln('Конечные значения'); {Печать полученного результата}

Writeln(' xn+1=',xn1,' f(xn+1)=',y0);

 

Readln; { Ожидание нажатия клавиши Enter}

end. {Конец основного тела программы} 
5. Результаты выполнения программы

 

 

От A= 0.0000000000E+00 до B= 1.0000000000E+00

 Погрешность с= 1.0000000000E-08

От A= 0.0000000000E+00 до B= 1.0000000000E+00

 Погрешность с= 1.0000000000E-08

 

xn= 8.5000000000E-01 xn+1= 9.3681250000E-01 f(xn+1)= 8.4649960270E-02

xn= 9.3681250000E-01 xn+1= 8.9448751986E-01 f(xn+1)=-4.6507647892E-02

xn= 8.9448751986E-01 xn+1= 9.1774134381E-01 f(xn+1)= 2.4288343840E-02

xn= 9.1774134381E-01 xn+1= 9.0559717189E-01 f(xn+1)=-1.3064617920E-02

xn= 9.0559717189E-01 xn+1= 9.1212948085E-01 f(xn+1)= 6.9234699658E-03

xn= 9.1212948085E-01 xn+1= 9.0866774587E-01 f(xn+1)=-3.6990702320E-03

xn= 9.0866774587E-01 xn+1= 9.1051728099E-01 f(xn+1)= 1.9678960780E-03

xn= 9.1051728099E-01 xn+1= 9.0953333295E-01 f(xn+1)=-1.0493249720E-03

xn= 9.0953333295E-01 xn+1= 9.1005799543E-01 f(xn+1)= 5.5884091853E-04

xn= 9.1005799543E-01 xn+1= 9.0977857497E-01 f(xn+1)=-2.9781681224E-04

xn= 9.0977857497E-01 xn+1= 9.0992748338E-01 f(xn+1)= 1.5865717614E-04

xn= 9.0992748338E-01 xn+1= 9.0984815480E-01 f(xn+1)=-8.4537703515E-05

xn= 9.0984815480E-01 xn+1= 9.0989042365E-01 f(xn+1)= 4.5040009354E-05

xn= 9.0989042365E-01 xn+1= 9.0986790364E-01 f(xn+1)=-2.3997676180E-05

xn= 9.0986790364E-01 xn+1= 9.0987990248E-01 f(xn+1)= 1.2785800209E-05

xn= 9.0987990248E-01 xn+1= 9.0987350958E-01 f(xn+1)=-6.8122881203E-06

xn= 9.0987350958E-01 xn+1= 9.0987691573E-01 f(xn+1)= 3.6295678001E-06

xn= 9.0987691573E-01 xn+1= 9.0987510095E-01 f(xn+1)=-1.9338276616E-06

xn= 9.0987510095E-01 xn+1= 9.0987606786E-01 f(xn+1)= 1.0303429008E-06

xn= 9.0987606786E-01 xn+1= 9.0987555269E-01 f(xn+1)=-5.4896190704E-07

xn= 9.0987555269E-01 xn+1= 9.0987582717E-01 f(xn+1)= 2.9248803912E-07

xn= 9.0987582717E-01 xn+1= 9.0987568093E-01 f(xn+1)=-1.5583464119E-07

xn= 9.0987568093E-01 xn+1= 9.0987575885E-01 f(xn+1)= 8.3031409304E-08

xn= 9.0987575885E-01 xn+1= 9.0987571733E-01 f(xn+1)=-4.4236003305E-08

xn= 9.0987571733E-01 xn+1= 9.0987573945E-01 f(xn+1)= 2.3572283681E-08