Моделирование систем неопределенности

Основные данные о работе

Версия шаблона	2.1
ЦДОР
Вид работы	Творческое  эссе
Название дисциплины	Моделирование систем
Тема	Неопределенности
Фамилия
Имя
Отчество
№ контракта

 

Основная часть

Неопределенность измерений

Измерения, которые мы уже знаем, при их проведении они воспринимаются в широком смысле слова, то есть, как получение любой информации возникает проблема по определению результатов измерений, то есть неопределенности.

 

Неопределенность имеют разное происзождения. Однако обычно выделяют три вида:

 

1.  Неизвестность, как теория  познания, так же рассматривается  и философией. Неопределенность  такого подразумевает, ситуацию, когда мы задаемся вопросом «Есть ли жизни на Марсе?». Исследования последних десятилетий, посадка советской автоматической станции на Марс значительно снизили эту неопределенность, но не сняла ее совсем. Ещё один пример – вопрос о начальном этапе возникновения жизни. Здесь неопределенность полностью также не снята.

 

2.  Расплывчатость – этот  такой вид неопределенности  обозначает то, что ни один эксперимент не может снять ее полностью.

 

3.  Случайность  - это такой вид неопределенности, который подчиняющийся строгой закономерности, выражаемой распределением вероятностей.

 

Расплывчатая неопределенность

 

Значения расплывчатости. Иногда при измерениях встречаются случаи, когда тождество или различие двух состояний нельзя утверждать с полной уверенностью, т.е. аксиомы тождества не выполняются. Это особенно хорошо проявляется для шкал, в которых классы эквивалентности обозначаются конструкциями естественного языка. Возьмем в пример: «В комнату вошел высокий молодой человек с тяжелым свертком в руках.»  В этом примере измерение состоялось, класс эквивалентности, к которому принадлежит человек, в сущности, назван. Но неизвестно, все же, какого он роста, сколько ему лет – для разных людей понятия «молодой» и «высокий» могут иметь разное содержание. «Тяжелый сверток» – ещё неясно, сколько, хотя бы примерно он весит…. «Старый человек» – это с какого возраста? «Лысый» – сколько на голове должно остаться волос, чтобы можно было «наградить» человека этим определением?

 

Такая неопределенность смысла языковых конструкций – камень преткновения автоматического (и не только автоматического) перевода с одного языка на другой. Из-за расплывчатости и неясности слов одному и тому же предложению можно дать несколько разных смысловых интерпретаций.

 

Примеры:

Time flies like an arrow	Время летит стрелой Время летит в направлении  стрелы Мухам времени нравится стрела Измеряй скорость мух, похожих на стрелу Измеряй скорость мух  точно так же, как и скорость стрелы
The flesh is weak but the spirit is strong	Плоть слаба, а дух силен Мясо тухлое, но водка  крепкая

 

С этим же свойством есть и одна из трудностей перевода поэзии.

Для этого было введено понятие лингвистической переменной как переменной, значение которой расплывчато по своей природе, как метки некоторого размытого, расплывчатого множества (синонимы: размытое, нечеткое множество).

 

Древние логики всегда затевали споры о том, сколько песчинок нужно сложить вместе, чтобы получилась куча песка. Теперь же мы можем сказать, что слово «куча» мы подразумеваем что это всего лишь метка расплывчатого множества.

 

Расплывчатость может быть присуща  не только естественному языку. Например, в математике используются понятия “значительно больше” (>>) и “приблизительно равно” (»), являющиеся типично расплывчатыми.

 

Основные понятия теории расплывчатых множеств

 

Предположим, что расплывчатое множество  А состоит из неопределенного  числа элементов х: признаки, по которым элементы включаются в расплывчатое множество, не позволяют однозначно отделить все элементы, входящие в него, от элементов, ему не принадлежащих; по крайней мере некоторые элементы можно посчитать как относящимися к этому множеству, так и не входящими в него.

 

Функция принадлежности. В основном для каждого элемента х можно задать число mА(х),    0 Ј mА(х) Ј 1, выражающее степень принадлежности этого элемента к расплывчатому множеству А. Если mА(х) = 0, то элемент х точно не принадлежит к множеству А, если mА(х) = 1, то элемент х определенно входит в него. Если mА(х) берет значения только равные 0 или только равные 1, то множество А является не расплывчатым.  Характерным признаком расплывчатости множества это наличие хотя бы одного элемента с функцией принадлежности, отличной от 0 и 1. Так, например, множество R+ положительных чисел может быть размытым, если положить mR+(0) = Ѕ, так как можно считать нуль «отчасти положительным», «отчасти отрицательным» числом.

 

В итоге, расплывчатое множество А  в Х можно определить как совокупность упорядоченных пар вида

 

                             А = {х, mА(х)},            х  О Х

 

Определение расплывчивости - расплывчатое множество А’ называется дополнением  к расплывчатому множеству А  тогда и только тогда, когда mА’(х) = 1 - mА(х).

 

Определение расплывчатых множеств - объединением расплывчатых множеств А  и В называется расплывчатое множество  А ИВ , удовлетворяющее условию

 

                            А ИВ Ыm А ИВ (х) =  max [mА(х), mB(х)] ,   х  О Х

 

Над расплывчатыми множествами можно производить действия, которые соответствуют алгебраическим операциям над функциями принадлежности составляющих множеств.

 

Формула - алгебраическое произведение расплывчатых множеств А и В, обозначаемое АВ:

 

                                  mАВ(х) = mА(х)ЧmВ(х),       х О Х

 

Алгебраическая сумма А+В  равна  равенству

 

                  mА+В(х) = mА(х)  + mВ(х) - mА(х)ЧmВ(х),       х О Х

 

Из этого можно сделать следующий  краткий вывод:

 

Расплывчатость – это явление, при котором не может быть выполнено отношение эквивалентности; явление может одновременно принадлежать данному классу и не принадлежать ему. Неопределенности такого типа записывается с помощью функции принадлежности; значение этой функции выражает степень уверенности, с которой мы относим объект к указанному классу. Сам же класс в итоге невозможно определить однозначно и называется расплывчатым, или нечетким множеством.

 

Моделирование систем с  использованием нечетких чисел

 

Возьмем в пример , что в процессе прогнозирования безопасности разрабатываемых производственных процессов, как правило, ощущается дефицит данных о надежности оборудования, вероятностях ошибок персонала, частоте неблагоприятных воздействий окружающей среды. Это есловлено как отсутствием соответствующих статистических данных, так и значительной дисперсией имеющихся данных (недостаточной достоверностью). Таким образом, есть необходимость представления таких данных не точно известными, а приближенными величинами, заданными на некоторых интервалах возможных значений.   В этом месте теория нечетких множеств может быть весьма полезной, поскольку позволяет заменить точечные оценки вероятностей их интервальными оценками, выраженными в форме нечетких чисел.

 

Под нечеткой (расплывчатой) величиной N воспринимают подмножество, которое определяется на множестве действительных чисел и характеризуемое заданным соответствием между конкретными их значениями и значениями их функции принадлежности (степенями принадлежности) m из интервала [0,1].

 

Функция принадлежности значений такой  величины это распределение возможностей появления определенных действительных чисел.

 

Модальными значениями нечеткой величины – mN являются все те же элементы множества, обладающие единичной степенью принадлежности – наибольшей возможностью наблюдения в рассматриваемых условиях: mN(m)=1.

 

Теперь можно конкретизировать определение нечеткого числа следующим образом.

 

Нечеткое число – это  полунепрерывный  сверху, компактный нечеткий интервал с выпуклой функцией принадлежности с единственным модальным значением.

 

Такие понятия в основном выражаются словами «приблизительно, примерно, около, порядка m».

 

Делая выводы их определения, функция принадлежности может иметь несколько форм, отличающихся различным размахом, т.е. шириной диапазона возможных значений действительных чисел. При неограниченном уменьшении размаха, нечеткое число переходит в четкую, фиксированную величину.

 

В этом месте стоит обратить внимание на сходство между возможностной  и вероятностной интерпретациями  переменных. Оно проявляется, прежде всего в том, что размах нечеткого числа такой же что и в области тех значений случайной величины, на которых совокупная вероятность ее появления равна единице. Однако максимальное значение функции m(m)=1не имеет отношения ко всему нечеткому интервалу, а только к модальному значению действительного числа (по определению).

 

Как было сказано выше, над расплывчатыми множествами можно производить действия, соответствующие алгебраическим операциям над функциями принадлежности составляющих множеств. Таким образом, и с  нечеткими числами позволительно производить известные алгебраические операции, в том числе используемые в дереве отказов логические сложение и умножение, изменение знака (отрицание). Наиболее простой способ - при предварительной аппроксимации нечетких чисел в так называемой L-R форме («Left-Right»).

 

Взяв во внимание определение функции принадлежности может иметь место несколько форм, отличающихся различным размахом a и b, т.е. шириной диапазона возможных значений действительных чисел. В основном принимают a = b = 0,0556m.

 

Эта величина получается допуском того, что функции принадлежности нечетких чисел аппроксимируются следующей L-R-формой:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где ai = bI – симметричные относительно модального значения mi коэффициенты размаха i-х нечетких чисел.

Предполагается также, что величины размаха ее левой L и правой R ветвей изменяются отmPi(xi= mi)=1 для точки их пересечения  xi= mi (по определению нечеткого числа) до mPi(xi= mi± 0,5mi)Ј 0,1 при отклонениях переменной на половину величины mi , т.е. соблюдается следующее условие: 

mPi(xi= 0,5mi) = mPi(xi= mi± 0,5mi)Ј 0,1  .                                                     

 (2)

Интерпретировуем следующим образом: возможность того, что частота  появления исследуемых событий  отклоняется от заданных средних  значений на 50% равна 0,1. Подставив это значение в 2.1, получим

 

                                   (3)

 

Отсюда следует, что a = b = 0,0556m. 

 

При неограниченном уменьшении размаха, нечеткое число переходит в четкую, фиксированную величину.

Правила операций над нечеткими числами A = (mA ,a, b ) и B=(mB , g, d) приведены в таблице ниже.

 

Правила операций над нечеткими  числами

AЕB	mA+mB , a+b,  g+d
AB	mA - mB , a+d,  b+g
AДB	mA Ч mB , mA g+ mB a+ ag, mAd+ mBb+bd

 

В этой таблице  Е,,Д - операции сложения, вычитания и перемножения нечетких чисел в L-R-форме

Прогноз меры возможности появления  головного события PY, образуемого  логическим сложением или перемножением nпредпосылок, проводится после предварительной 

аппроксимации их параметров нечеткими  числами (m, a b) в форме L-R-диаграммы (рис.2.1).   

Обозначим через PY нечеткое число, выражающее меру возможности появления результирующего события, обусловленного событиями Pi.

 

При связи событий Pi логическим «и» имеем: 

 (4)

причем

,  ,     .                                       (5)                                                     

 

При связи событий Pi логическим «или» имеем: 

 

,                                                             (6)

причем 

 

,  ,  .                                           (7) 

 

Как приближенные, так и точные количественные параметры исходных предпосылок определяются на основе статистических данных по интенсивности  отказов техники, частоте ошибок персонала и вероятности нерасчетных  внешних воздействий.

 

Моделирование системы в условиях неопределенности

 

Как уже отмечалось в первой части  нашего курса, в большинстве реальных больших систем не обойтись без учета  “состояний природы” — воздействий  стохастического типа, случайных  величин или случайных событий. Это могут быть не только внешние воздействия на систему в целом или на отдельные ее элементы. Очень часто и внутренние системные связи имеют такую же, “случайную” природу.

 

Важно понять, что стохастичность связей между элементами системы  и уж тем более внутри самого элемента (связь “вход-выход”) является основной причиной риска выполнить вместо системного анализа совершенно бессмысленную работу, получить в качестве рекомендаций по управлению системой заведомо непригодные решения.

 

Выше уже оговаривалось, что  в таких случаях вместо самой случайной величины X приходится использовать ее математическое ожи-дание Mx. Все вроде бы просто — не знаем, так ожидаем. Но насколько оправданы наши ожидания? Какова уверенность или какова вероятность ошибиться?

 

Такие вопросы решаются, ответы на них получить можно — но для этого надо иметь информацию о законе распределения СВ. Вот и приходится на данном этапе системного анализа (этапе моделирования) заниматься статистического исследованиями, пытаться получить ответы на вопросы: