Модели и методы анализа проектных решений

Выясним, какой желательно иметь матрицу K в (16). Пределом мечты была бы система (16) с диагональной матрицей K, когда все fi j = 0 при i ? j. В этом случае (16) распадается на отдельные уравнения fi iui = Pi . Такое может быть, только если в физической системе, рассчитываемой методом конечных элементов, узлы между собой не связаны, то есть по существу системы не существует. Однако теперь уже ясно, к чему надо стремиться: следует так выполнять процесс построения алгебраической системы уравнений, чтобы матрица по возможности содержала больше нулевых коэффициентов и была близка к диагональной, другими словами, желательно, чтобы в каждое уравнение входило относительно небольшое число неизвестных в соседних узлах.

Матрицы, близкие к диагональным, обычно имеют ленточную структуру, когда все ненулевые и некоторые нулевые коэффициенты находятся между двумя линиями, параллельными главной диагонали. Например,

где знак * заменяет коэффициенты, отличные от нуля, а главная диагональ и параллельные ей линии указаны пунктиром. Ленточную матрицу характеризует ширина ленты t = t1 + t2 + 1, равная наибольшему числу коэффициентов в строке в пределах ленты. В данном случае t1 = t2 = 2 и t = 5. Для диагональной матрицы t = 1. При решении системы уравнений с ленточной матрицей участвуют только те коэффициенты, которые расположены в пределах ленты. Число арифметических операций, необходимых для решения системы алгебраических уравнений с полностью заполненной матрицей методом Гаусса, при больших n имеет порядок n3. В то же время для ленточной матрицы при t1 = t2 и t1 ! n он составляет

Для примера ленточной матрицы обратимся к задачам предыдущего раздела, но с пятью узлами и шестью элементами на рис. 2, г. Аналогично (11) матрица K будет иметь коэффициенты flt . По смыслу flt они отличны от нуля только для тех узлов l, где перемещение узла t вызывает отличную от нуля силу при условии, что остальные узлы, кроме t, неподвижны. Отсюда при нумерации узлов, показанной на рис. 2, г, слева от оси x имеем

Здесь t = 3 и матрица K является трехдиагональной.

При применении метода конечных элементов ширина полосы ленточной матрицы зависит от нумерации узлов. Например, если пронумеровать узлы так, как показано на рис. 2, г справа от оси x, то K примет вид (17). Вообще если элементы имеют несколько узлов, то при t1 = t2 величина t1 равна максимальной по элементам величине наибольшей разности между номерами узлов в отдельном элементе. В первом случае нумерации узлов слева на рис. 2, г t1 = 1, а при нумерации справа t1 = 2.

В некоторых случаях исходная постановка задачи может оказаться настолько плохой, что даже метод конечных элементов не может помочь. И надо ее менять. При этом имеет место система алгебраических уравнений, в которой малые изменения коэффициентов или свободных членов приводят к значительному изменению решения. Такие системы уравнений носят название плохо обусловленных. Выясним, в чем причина плохой обусловленности на примере системы (15), которую перепишем в виде

В прямоугольной системе координат u1 , u2 на рис. 4 уравнение прямой будет u2 = u1 tg a + g, где a - угол между прямой и положительным направлением оси u1 , g - отрезок отсекаемый прямой на оси u2 . Уравнения (18) описывают две прямые на рис. 4, а решение (18) представляет собой координаты точки пересечения этих прямых. Здесь

Если a1 = a2 и прямые параллельны, то решение системы (18) не существует и она является вырожденной. Если a1 и a2 различаются мало, то система близка к вырожденной. При этом незначительные изменения углов a1 , a2 сильно скажутся на координатах точки пересечения прямых, то есть на решении. Таким образом, плохая обусловленность объясняется тем, что система является почти вырожденной.

В качестве примера обратимся к (18). Пусть +(1) = +(3) = + и +(2) @ +, то есть элемент 2 на рис. 2, а значительно более жесткий, чем элементы 1 и 3. При этом tg a1 ї tg a2 и система (18) почти вырожденная. В данном случае разумно изменить постановку задачи и считать элемент 2 абсолютно жестким по сравнению с элементами 1 и 3. Это позволяет объединить узлы 1 и 2 в один узел, который обозначим 12, и приложить к нему суммарную силу P12 = P1 + P2 . Если в (18) положить u1 = u2 = u12 , вычесть из первого уравнения второе и после преобразований пренебречь + по сравнению с +(2), то задача сведется к одному уравнению 2+u12 = P12 .

ПРИМЕР КОНТИНУАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ

Обратимся к задаче (3) для одного элемента. В общем случае задания q(r)(x) она является континуальной задачей. Для простоты положим с(r) = 1, l (r) = 1, и опустим индекс r, тогда задача (3) будет

- u" = q(x), u(0) = u(1) = 0,

где штрихи означают дифференцирование по x. Согласно схеме метода конечных элементов разобьем интервал 0, 1 на элементы, соединенные в узлах xi (i = 0, 1, _, n + 1) (рис. 5). Будем разыскивать приближенное решение (19) среди функций семейства с конечным числом параметров в виде

u(x) = u0j0(x) + u1j1(x) + _ + unjn(x) + un + 1jn + 1(x).

Здесь u(x) приближенно представлена линейной комбинацией некоторых функций ji(x) с коэффициентами (параметрами) ui = u(xi) - неизвестными значениями искомой функции в узлах xi . Для того чтобы в (20) u(xi) = ui во всех узлах xi , функции ji(x) должны удовлетворять условиям ji(xi) = 1 и ji(xj) = 0 для всех узлов xj при j ? i. Кроме того, чтобы выполнялись граничные условия (19), следует в (20) положить u0 = un + 1 = 0. В остальном функции ji(x), которые носят название пробных, можно выбирать в довольно широких пределах. Общие требования к ним состоят в возможности выполнить процесс построения приближенного решения и на основе (20) при n ? осуществить сколь угодно точно соответствующую аппроксимацию любой функции, среди которых разыскивается решение задачи. Очевидно, выбор ji(x) играет важнейшую роль как в отношении трудоемкости расчета, так и точности результата. Метод конечных элементов оперирует в качестве ji(x) кусочно-полиномиальными функциями, отличными от нуля в пределах небольшого числа элементов вблизи узла xi . Именно это делает метод максимально эффективным. Поскольку u(x) по своему физическому смыслу должна быть непрерывной функцией, выберем ji(x) в виде кусочно-линейных функций-"домиков", отличных от нуля на двух элементах (см. рис. 5). Каждая такая функция ji(x), i = 1, 2, _, n, равна единице в xi и нулю во всех остальных узлах. При этом набор функций u(x) в (20) будет состоять из непрерывных функций линейных в пределах элементов с изломами в узлах и определяемых своими узловыми значениями ui , i = 1, 2, _, n. На концах интервала 0, 1 они обращаются в нуль. Каждую из таких функций можно изобразить в виде ломаной линии.

Остается определить ui в (20). Это можно сделать по-разному путем приближенного удовлетворения уравнению в (19). Однако, поскольку уравнение в (19) содержит u", а уже u' в (20) терпит разрывы непрерывности в узлах, воспользуемся следующим приемом. Обозначим R(x) = u"(x) + q(x) невязку уравнения в (19). Точное решение дает R(x) = 0, и, следовательно,

для любых функций j(x), которые носят название тестовых. Поскольку разыскивается приближенное решение в форме (20) и для него, как правило, R(x) ? 0, то выполнение тестового условия (21) на базе (20) невозможно. Смягчим выполнение условия (21), потребовав, чтобы оно выполнялось только для n функций jj(x), которые совпадают с пробными. Такой прием носит название метода Галёркина. Выполним в (21) интегрирование по частям при условии j(x) = jj(x) и jj(0) = = jj(1) = 0, тогда вместо (21) получим

Теперь уже в задачу (22) входит u' и можно подставить u из (20) в (22), что дает систему линейных алгебраических уравнений относительно ui вида (16) с коэффициентами fi j и свободными членами Pi

Здесь fi j = fj i и матрица K симметричная, что характерно для метода Галёркина. Для простоты примем длину элементов одинаковой и равной h. Согласно рис. 5, наклон функции ji равен 1/ h на интервале xi - 1 , xi и -1/ h на интервале xi , xi + 1 .

Кроме того, произведение отлично от нуля только при j = i, j = i 7 1, когда соответствующие два элемента, которые несут на себе функции ji и jj , перекрываются (см. рис. 5). В противном случае Если i = j, то

Аналогично fi j = -1/ h при j = i 7 1. Следовательно, матрица K в данном случае оказывается трехдиагональной:

Согласно (23), интегрирование в Pi совершается только на двух соседних элементах. Решение полученной системы алгебраических уравнений дает ui и позволяет представить приближенное решение в форме (20).

В данном примере непрерывность пробных функций ji позволила воспользоваться (22). Кроме того, все функции ji отличны от нуля на разных интервалах 2h, что делает их существенно различными и построенную на их основе при помощи (23) систему линейных алгебраических уравнений невырожденной. Более того, матрица (24) оказалась ленточной и каждое уравнение связывает не более трех неизвестных в соседних узлах. Полученное приближенное решение (20) в виде ломаной линии хорошо аппроксимирует решение задачи при достаточно больших n.

Таким образом, для континуальной задачи метод конечных элементов осуществляет приближенный переход к дискретной задаче на основе (20) и соответствующих кусочно-полиномиальных функций ji , отличных от нуля на нескольких соседних элементах, содержащих узел xi . Дальнейшие процедуры метода конечных элементов для континуальной и дискретной задач в основном совпадают. Здесь, так же как и в случае дискретной задачи, можно выполнить построение матрицы K(r) для типового элемента и из них в процессе соединения элементов в систему сформировать матрицу K для всей системы. Аналогично формируются и свободные члены уравнений. Алгоритм метода конечных элементов особенно эффективен для решения двух- и трехмерных задач, где проявляются основные преимущества этого метода.

ЛИТЕРАТУРА

1. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода  конечных элементов. М.: Мир, 1977. 349 с.

2. Courant R. // Bull. Amer. Math. Soc. 1943. Vol. 49. P. 1-43.

3. Turner M., Clough R., Martin H., Topp L. // J. Aeronaut Sci. 1956. Vol. 23, № 9. P. 805-823.

4. Зинкевич О., Морган К. Конечные  элементы и аппроксимация. М.: Мир, 1986. 318 с.

5. Розин Л.А. Стержневые системы  как системы конечных элементов. Л.: Изд-во ЛГУ, 1976. 232