Основные элементарные функции, их свойства и графики

CoolReferat.com

Национальный  научно-исследовательский университет

-ИрГТУ-

Кафедра прикладной геологии

 

 

 

Реферат по высшей математике

На тему: «Основные элементарные функции,

их свойства и графики»

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил:

 

.

Проверил:

преподаватель

Коваленко Е.В.

 

 

 

Иркутск 2010

Содержание:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Показательные функции:

 

Определение. Функция, заданная формулой у=а^х (где а>0, а≠1), называется показательной функцией с основанием а.

Сформулируем  основные свойства показательной функции :

1. Область определения — множество (R) всех действительных чисел.
2. Область значений — множество (R+) всех положительных действительных чисел.
3. При а > 1 функция возрастает на всей числовой прямой; при 0<а<1 функция убывает.
4. Является функцией общего вида.

 

Рис. 1 График функции  , на интервале x Î [-3;3]

 

Рис. 2 График функции , на интервале x Î [-3;3]

 

Степенные функции:

 

Функция вида у(х)=хⁿ, где n – число Î R, называется степенной функцией. Число n может принимать раличные значения: как целые, так и дробные, как четные, так и нечетные. В зависимости от этого, степенная функция будет иметь разный вид. Рассмотрим частные случаи, которые являются степенными функциями и отражают основные свойства данного вида кривых в следующем порядке: степенная функция у=х² (функция с четным показателем степени – парабола), степенная функция у=х³ (функция с нечетным показателем степени – кубическая парабола) и функция у=√х (х в степени ½) (функция с дробным показателем степени), функция с отрицательным целым показателем (гипербола).

Степенная функция у=х²

1. D(x)=R – функция определена на все числовой оси;
2. E(y)=[0;∞) - функция принимает положительные значения на всей области определения;
3. При х=0 у=0 - функция проходит через начало координат O(0;0).
4. Функция убывает на промежутке (-∞;0] и возрастает на промежутке [0;∞).
5. Функция является четной (симметрична относительно оси Оу).

В зависимости  от числового множителя, стоящего перед  х², функция может быть уже/шире и направлена вверх/вниз.

Рис. 3 График функции , на интервале x Î [-3;3]

 

 

Степенная функция у=х³

1. График функции у=х³ называется кубической параболой. Степенная функция у=х³ обладает следующими свойствами:
2. D(x)=R – функция определена на все числовой оси;
3. E(y)=(-∞;∞) – функция принимает все значения на своей области определения;
4. При х=0 у=0 – функция проходит через начало координат O(0;0).
5. Функция возрастает на всей области определения.
6. Функция является нечетной (симметрична относительно начала координат).

Рис. 4 График функции , на интервале x Î [-3;3]

В зависимости  от числового множителя, стоящего перед  х³, функция может быть крутой/пологой и возрастать/убывать.

Степенная функция  с целым отрицательным показателем:

Если показатель степени n является нечетным, то график такой степенной функции называется гиперболой. Степенная функция с  целым отрицательным показателем степени обладает следующими свойствами:

1. D(x)=(-∞;0)U(0;∞) для любого n;
2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞), если n – нечетное число; E(y)=(0;∞), если n – четное число;
3. Функция убывает на всей области определения, если n – нечетное число; функция возрастает на промежутке (-∞;0) и убывает на промежутке (0;∞), если n – четное число.
4. Функция является нечетной (симметрична относительно начала координат), если n – нечетное число; функция является четной, если n – четное число.
5. Функция проходит через точки (1;1) и (-1;-1), если n – нечетное число и через точки (1;1) и (-1;1), если n – четное число.

Рис. 5 График функции , на интервале x Î [-3;3]

 

Степенная функция  с дробным показателем

 

Степенная функция  с дробным показателем вида (картинка) имеет график функции, изображенный на рисунке. Степенная функция с дробным показателем степени обладает следующими свойствами: (картинка)

1. D(x) Î R, если n – нечетное число и D(x)=[0;∞), если n – четное число ;
2. E(y) Î (-∞;0)U(0;∞), если n – нечетное число; E(y)=[0;∞), если n – четное число;
3. Функция возрастает на всей области определения для любого числа n.
4. Функция проходит через начало координат в любом случае.

 

Рис. 6 График функции , на интервале x Î [0;3]

 

Рис. 7 График функции , на интервале x Î [0;5]

Рис. 8 График функции  , на интервале x Î [-3;3]

 

Логарифмические функции:

 

Логарифмическая функция у = log_a x обладает следующими свойствами :

1. Область определения D(x) Î (0; + ∞).
2. Область значений E(y) Î ( - ∞; + ∞)
3. Функция ни четная, ни нечетная (общего вида).
4. Функция возрастает на промежутке (0; + ∞) при a > 1, убывает на (0; + ∞) при 0 < а < 1.

График функции  у = log_a x может быть получен из графика функции у = а^х с помощью преобразования симметрии относительно прямой у = х. На рисунке 9 построен график логарифмической функции для а > 1, а на рисунке 10 - для 0 < a < 1.

Рис. 9 График функции  ; на интервале x Î [0;5]

Рис. 10 График функции  ; на интервале x Î [0;5]

Тригонометрические функции:

 

Функции y = sin х, у = cos х, у = tg х, у = ctg х называют тригонометрическими функциями.

Функции у = sin х, у = tg х, у = ctg х нечетные, а функция у = соs х  четная.

 

 

Функция y = sin (х).

1. Область определения D(x) Î R.
2. Область значений  E(y) Î [ - 1; 1].
3. Функция периодическая; основной период равен 2π.
4. Функция нечетная .
5. Функция возрастает на промежутках [ -π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] и убывает на промежутках [ π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], n Î Z.

График функции  у = sin (х) изображен на рисунке 11.

Рис. 11 График функции  ; на интервале x Î [-2 ;2 ]

 

Функция y = cos(х).

1. Область определения D(x) Î R.
2. Область значений E(y) Î [ - 1; 1].
3. Функция периодическая с основным периодом 2π.
4. Функция четная.
5. Функция убывает на промежутках [2πn; π+ 2πn] и возрастает на промежутках [-π+ 2πn; 2πn], nπZ.

График функции  у = соs (х) изображен на рисунке 12.

 

Рис. 12 График функции  ; на интервале x Î [-2 ;2 ]

Функция y = tg х.

1. Область определения: D(x) Ï π/2 + πk, kÎZ.
2. Область значений E(y) Î (- ∞; + ∞)
3. π- основной период функции.
4. Функция нечетная.
5. Функция возрастает на промежутках ( -π/2 +πn;π/2 +πn).

График функции  у = tg х изображен на рисунке 13.

Рис. 13 График функции  ; на интервале x Î (- ; )

Функция y = ctg х.

1. Область определения функции: D(x) Ï xπ/2 +πk, kÎZ.
2. Область значений функции E(y) Î (- ∞; + ∞).
3. Функция периодическая с основным периодом π.
4. Функция нечетная.
5. Функция у = ctg х убывает на промежутках (πn;π+πn).

График функции  у = ctg х изображен на рисунке 14.

Рис. 14 График функции  ; на интервале x Î (-𝜋;)

 

Обратные тригонометрические функции:

 

Функции y = arcsin (х), у = arccos (х), у = arctg (х), у = arcctg (х) называют обратными тригонометрическими функциями.

Функция y = arcsin (x):

Свойства функции y = arcsin (x):

1. Область определения D(x)Î[−1;1]

2. Область значения E(y)Î [−π/2;π/2]

3. y=arcsin(x)- непрерывная строговозрастающая функция на D

5. График y = arcsin(x) симметричен графику y = sin(x) относительно линии y=x

6. y=arcsin(x) нечетная функция т.е. ∀x∈[−1;1] arcsin(−x)=−arcsin(х)

График функции y = arcsin (x)  изображен на рисунке 15.

Рис. 15 График функции  ; на интервале x Î [- ;]

Функция y = arccos (x):

Свойства функции y = arccos (x):

1. Область определения D(x)Î[−1;1]

2. Область значения E(y)Î [0;π]

3. y=arccos(x)- непрерывная строговозрастающая функция на D

5. График y = arccos(x) симметричен графику y = cos(x) относительно линии y=x

6. y=arccos(x) функция общего вида

График функции y = arccos (x)  изображен на рисунке 16.

 

Рис. 16 График функции ; на интервале x Î [- ;]

Функция y = arctg (x):

Свойства функции y = arctg (x):

1. Область определения D(x)Î(- ∞;+∞)
2. Область значения  E(y)Î [−π/2;π/2]
3. y=arctg (x)- непрерывная строговозрастающая функция на D
4. График y = arctg(x) симметричен графику y = tg(x) относительно линии y=x
5. y=arctg (x) нечетная функция.

График функции y = arctg (x)  изображен на рисунке 17.

 

Рис. 17 График функции  ; на интервале x Î [- 5; 5]

Функция y = arcсtg (x):

Свойства функции y = arcсtg (x):

1. Область определения D(x)Î(- ∞;+∞)
2. Область значения  E(y)Î [0 ; π]
3. y=arctg (x)- непрерывная строгоубывающая функция на D
4. График y = arcсtg(x) симметричен графику y = сtg(x) относительно линии y=x
5. y=arcctg (x) функция общего вида.

График функции y = arcctg (x)  изображен на рисунке 18.

Рис. 18 График функции  .

 

Список использованной литературы:

1. Алгебра и начала анализа, учебник для 10 класса общеобразовательных учреждений ; С.М. Никольский; М. Просвещение, 2001
2. Конспект лекции по высшей математике.

Некоторые изображения  взяты из сети Интернет, графики  функции построены в программе Microsoft Office Exel.

Список рисунков: