Применение теории графов в информатике

 Доклад  на тему: Применение теории графов в информатике 

 Родоначальником теории графов принято считать математика Леонарда Эйлера (1707-1783). Рассмотрим к примеру задачу о Кенигсбергских мостах.

Издавна среди  жителей Кёнигсберга была распространена такая загадка: как пройти по всем мостам, не проходя ни по одному из них дважды? Многие кёнигсбержцы пытались решить эту задачу как теоретически, так и практически, во время прогулок. Но никому это не удавалось, однако не удавалось и доказать, что это даже теоретически невозможно.

В 1736 году задача о семи мостах заинтересовала выдающегося математика, члена Петербургской академии наук Леонарда Эйлера. Он смог найти правило, пользуясь которым легко определить, можно ли пройти по всем мостам, не проходя дважды ни по одному из них (в случае семи мостов Кёнигсберга это невозможно).

На упрощённой схеме части города (графе) мостам соответствуют линии (рёбра графа), а частям города — точки соединения линий (вершины графа). В ходе рассуждений Эйлер пришёл к следующим выводам:

• Число нечётных вершин (вершин, к которым ведёт нечётное число рёбер) графа должно быть чётно. Не может существовать граф, который имел бы нечётное число нечётных вершин.
• Если все вершины графа чётные, то можно, не отрывая карандаша от бумаги, начертить граф, при этом можно начинать с любой вершины графа и завершить его в той же вершине.
• Граф с более чем двумя нечётными вершинами невозможно начертить одним росчерком.

Граф кёнигсбергских мостов имел четыре нечётные вершины (т.е. все), следовательно, невозможно пройти по всем мостам, не проходя ни по одному из них дважды.

 

Созданная Эйлером теория графов нашла очень широкое применение: например, её используют при изучении транспортных и коммуникационных систем, в частности, для маршрутизации данных в Интернете. 
 

Маршрутизация — процесс определения маршрута следования информации в сетях связи.

Маршруты могут  задаваться административно (статические маршруты), либо вычисляться с помощью алгоритмов маршрутизации, базируясь на информации о топологии и состоянии сети, полученной с помощью протоколов маршрутизации (динамические маршруты)

Маршрутизация в компьютерных сетях типично выполняется специальными программно-аппаратными средствами — маршрутизаторами

Маршрутиза́тор или роутер — сетевое устройство, на основании информации о топологии сети и определённых правил принимающее решения о пересылке пакетов сетевого уровня (уровень 3 модели OSI) между различными сегментами сети.

Протокол  маршрутизации — сетевой протокол, используемый маршрутизаторами для определения возможных маршрутов следования данных в составной компьютерной сети. Применение протокола маршрутизации позволяет избежать ручного ввода всех допустимых маршрутов, что, в свою очередь, снижает количество ошибок, обеспечивает согласованность действий всех маршрутизаторов в сети и облегчает труд администраторов.

Алгоритмы маршрутизации применяются для определения наилучшего пути пакетов от источника к приёмнику и являются основой любого протокола маршрутизации. Для формулирования алгоритмов маршрутизации сеть рассматривается как граф. При этом маршрутизаторы являются узлами, а физические линии между маршрутизаторами — рёбрами соответствующего графа. Каждой грани графа присваивается определённое число — стоимость, зависящая от физической длины линии, скорости передачи данных по линии или финансовой стоимости линии

Алгоритмы маршрутизации  можно разделить на:

• адаптивные и неадаптивные
• глобальные и децентрализованные
• статические и динамические

Возьмем к примеру  маршрутизации по состоянию канала.

В случае алгоритма  состояния канала маршрутизатор собирает информацию о своих непосредственных соседях, измеряя задержку (пропускную способность). При получении изменений маршрутизатор определяет заново кратчайший путь до всех адресатов с помощью алгоритма Э. Дейкстры. Алгоритм состояния канала лежит в основе таких протоколов маршрутизации, как OSPF и IS-IS

Алгори́тм Де́йкстры — алгоритм на графах, изобретённый нидерландским ученым Э. Дейкстрой в 1959 году. Находит кратчайшее расстояние от одной из вершин графа до всех остальных.

Для определения кратчайшего пути от одного узла до другого Дейкстра предложил следующий алгоритм. Топология сети представляется в виде неориентированного графа с указанными для каждого ребра значениями метрики (например, расстояния между двумя соседними узлами). Изначально путь неизвестен, поэтому все вершины графа получают метки с бесконечным значением расстояния до отправителя. Метки могут быть временными или постоянными.

Пример

Рассмотрим выполнение алгоритма на примере графа, показанного  на рисунке. Пусть требуется найти расстояния от 1-й вершины до всех остальных.

Кружками обозначены вершины, линиями — пути между ними (ребра графа). В кружках обозначены номера вершин, над ребрами обозначена их «цена» — длина пути. Рядом с каждой вершиной красным обозначена метка — длина кратчайшего пути в эту вершину из вершины 1.

Первый  шаг. Рассмотрим шаг алгоритма Дейкстры для нашего примера. Минимальную метку имеет вершина 1. Её соседями являются вершины 2, 3 и 6.

Первый по очереди  сосед вершины 1 — вершина 2, потому что длина пути до неё минимальна. Длина пути в неё через вершину 1 равна сумме кратчайшего расстояния до вершины 1, значение её метки, и длины ребра, идущего из 1-ой в 2-ую, то есть 0 + 7 = 7. Это меньше текущей метки вершины 2, бесконечности, поэтому новая метка 2-й вершины равна 7.

Аналогичную операцию проделываем с двумя другими  соседями 1-й вершины — 3-й и 6-й.

Все соседи вершины 1 проверены. Текущее минимальное  расстояние до вершины 1 считается окончательным  и пересмотру не подлежит (то, что  это действительно так, впервые доказал Э. Дейкстра). Вычеркнем её из графа, чтобы отметить, что эта вершина посещена.

Второй  шаг. Шаг алгоритма повторяется. Снова находим «ближайшую» из непосещенных вершин. Это вершина 2 с меткой 7.

Снова пытаемся уменьшить метки соседей выбранной  вершины, пытаясь пройти в них  через 2-ю вершину. Соседями вершины 2 являются вершины 1, 3 и 4.

Первый (по порядку) сосед вершины 2 — вершина 1. Но она уже посещена, поэтому с 1-й вершиной ничего не делаем.

Следующий сосед  вершины 2 — вершина 3, так имеет минимальную метку из вершин, отмеченных как не посещённые. Если идти в неё через 2, то длина такого пути будет равна 17 (7 + 10 = 17). Но текущая метка третьей вершины равна 9<17, поэтому метка не меняется.

 
Ещё один сосед вершины 2 — вершина 4. Если идти в неё через 2-ю, то длина такого пути будет равна сумме кратчайшего расстояние до 2-ой вершины и расстояния между вершинами 2 и 4, то есть 22 (7 + 15 = 22). Поскольку 22< , устанавливаем метку вершины 4 равной 22.

Все соседи вершины 2 просмотрены, замораживаем расстояние до неё и помечаем её как посещенную.

Третий  шаг. Повторяем шаг алгоритма, выбрав вершину 3. После её «обработки» получим такие результаты:

Дальнейшие  шаги. Повторяем шаг алгоритма для оставшихся вершин. Это будут вершины 6, 4 и 5, соответственно порядку.

Завершение  выполнения алгоритма. Алгоритм заканчивает работу, когда вычеркнуты все вершины. Результат его работы виден на последнем рисунке: кратчайший путь от вершины 1 до 2-й составляет 7, до 3-й — 9, до 4-й — 20, до 5-й — 20, до 6-й — 11.