Разработать проект «Арифметические операции над матрицами». Программа должна обеспечивать выполнение операций сложения, вычитания и ум

Основные данные о работе

Версия шаблона	1.1
Филиал	Типовые филиалы
Вид работы	Курсовая работа
Название дисциплины	Информатика и ВТ
Тема	Разработать проект «Арифметические  операции над матрицами». Программа  должна обеспечивать выполнение операций сложения, вычитания и умножения над матрицами целых чисел. Выбор выполняемой операции осуществляет пользователь
Фамилия студента
Имя студента
Отчество студента
№ контракта

 

Содержание

 

Введение…………………………………………………………………………3

1        Разработка эскизного и технического проектов программы.....……….5

1. Назначение и область применения………………………………………5
2. Постановка задачи………………………………………………………...5
3. Описание алгоритма………………………………………………………8
4. Организация входных и выходных данных……………………………..8
5. Выбор состава технических и программных средств…………………..9
2. Разработка рабочего проекта……………………………………….....…11
1. Разработка программы……………………………………………….…..11
2. Спецификация программы……………………………………………….12
3. Описание программы …………………………………………………….13
4. Тестирование программы ………………………………………………..14
3. Внедрение……..……………………………………………………...……16

Заключение……………………………………………………………………….19

Глоссарий ………………………………………………………………………...21

Список использованных источников……………………………………….…..24

Приложение…………………………………………………………………..…..26

Введение

В современной науке  и технике математические методы исследования, моделирования и проектирования играют все большую роль. Это обусловлено совершенствованием вычислительной техники, благодаря которой существенно расширяется возможность успешного применения математики при решении конкретных задач. Причины введения курса «Линейная алгебра» заключаются в необходимости подготовки студентов к изучению последующих математических и специальных дисциплин, большинство из которых связаны с основными понятиями линейной алгебры.

При решении различных задач математики очень часто приходится иметь дело с таблицами чисел, называемых матрицами. С помощью матриц удобно решать системы линейных уравнений, выполнять многие операции с векторами, решать различные задачи компьютерной графики и другие инженерные задачи.

Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество п столбцов. Числа т и п называются порядками матрицы. В случае, если т = п, матрица называется квадратной, а число m = n — ее порядком.

Матрицы широко применяются  в математике для компактной записи систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений. В этом случае, количество строк матрицы соответствует числу уравнений, а количество столбцов — количеству неизвестных. В результате, решение систем линейных уравнений сводится к операциям над матрицами.

Решение задач с помощью  компьютера включает в себя несколько  основных этапов, часть из которых  осуществляется без участия компьютера: постановка задачи, анализ и исследование задачи, разработка алгоритма, программирование, тестирование и отладка, анализ результатов решения задачи, сопровождение программы.

 

К основными арифметическими  операциями над матрицами относятся  умножение матрицы на число, сложение и умножение матриц

Для начала договоримся  считать матрицы равными, если эти  матрицы имеют одинаковые порядки  и все их соответствующие элементы совпадают.

Матричные определители существуют только для матриц квадратного  вида, ибо для матриц другого типа не существует определителей. В теории систем линейных уравнений и в некоторых других вопросах удобно использовать понятие определителя, или детерминанта. Обратная матрица. Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы. Теорема о единственности матрицы, обратной данной. Методы нахождения обратной матрицы (метод присоединенной матрицы, метод элементарных преобразований). Существует огромное количество способов решения матриц. Одним из них является Крамера, или как его еще называют – формула Крамера. Используя матрицы мы можем решать различные системы уравнений, при чем эти системы могут быть какой угодно величены и иметь сколько угодно переменных. С помощью нескольких выводов и формул решение огромных систем уравнений становится довольно быстрым и более легким.

Основная часть

1Разработка эскизного и технического проектов программы

 

1. Назначение и область применения

 

Тема: Разработать проект «Арифметические операции над матрицами». Программа должна обеспечивать выполнение операций сложения, вычитания и умножения над матрицами целых чисел. Выбор выполняемой операции осуществляет пользователь.

Условие задачи:

Необходимо разработать  проект, представляющий собой программу  которая должна обеспечивать операций сложения, вычитания и умножения над матрицами целых чисел на языке программирования Delphi. Выбор выполняемой операции осуществляет пользователь. Так как данное приложение разрабатывается с помощью языка программирования Delphi, то использоваться программа может под управлением OC MS-DOS [2,c.63] . Так же имеется возможность использования программы под управлением операционных систем поддерживающих режим DOS или сеанс DOS.

Область применения: пользователь, который будет иметь возможность  быстро и легко создавать и  решать системы матриц, построенную  по операторам языка Delphi и оперативно использовать матрицы в дальнейшем.

 

2. Постановка задачи

 

Арифметические операции над матрицами подразумевают  следующие действия:

1.2.1 Сложение матриц. Суммой двух матриц  A = || a ij || ,  где (i = 1, 2, ..., т,  j=1, 2, ..., n)  и В = || b ij || , где (i = 1, 2, ..., т,  j=1, 2, ..., n)  одних и тех же порядков т и п называется матрица С = || c ij ||  (і =1,2, ..., т;  j = 1, 2, ...., п) тех же порядков т и п, элементы сij   которой определяются по формуле

,                 (1)

где (i = 1, 2, ..., т,  j=1, 2, ..., n) [1, c.35] 

Для обозначения суммы  двух матриц используется запись С = А + В. Операция составления суммы матриц называется их сложением. Итак, по определению:

+ =

Пример:   +     = 

Из определения суммы матриц, а точнее из формул (1) непосредственно вытекает, что операция сложения матриц обладает теми же свойствами, что и операция сложения вещественных чисел, а именно:

1) переместительным свойством:  А + В = В  + А,

2) сочетательным свойством: (A + B) + С = А + (В + С).

Эти свойства позволяют  не заботиться о порядке следования слагаемых матриц при сложении двух или большего числа матриц.

1.2.2 Умножение матрицы на число. Произведением матрицы  A = || a ij || ,  где (i = 1, 2, ..., m,  j=1, 2, ..., n) [3, c.77]   на вещественное число l, называется матрица С = || c ij ||   (і =1,2, ..., m;  j = 1, 2, ...., n), элементы  которой определяются по формуле:

  ,                             (2)

где (i = 1, 2, ..., т,  j=1, 2, ..., n) 

Пример:  * 6 =

 

Для обозначения произведения матрицы на число используется запись С = l A или С = А l. Операция составления произведения матрицы на число называется умножением матрицы на это число.

Непосредственно из формулы (2) ясно, что умножение матрицы на число обладает следующими свойствами:

1) сочетательным свойством  относительно числового множителя: ( l m ) A = l ( m A );

2) распределительным свойством  относительно суммы матриц: l (A + B) = l A + l B;

3) распределительным свойством относительно суммы чисел: (l + m) A = l A + m A. [6, c.98]

1.2.3 Произведением матрицы A = || a ij || ,  где (i = 1, 2, ..., m,  j = 1, 2, ..., n) имеющей порядки, соответственно равные т и n, на матрицу В = || b ij || , где (i = 1, 2, ..., n ,  j=1, 2, ..., р), имеющую порядки, соответственно равные n и р, называется матрица С = || c ij ||   (і =1,2, ..., m;  j = 1, 2, ...., р), имеющая порядки, соответственно равные т и р элементы  которой определяются по формуле:

       (3)

где  (i = 1, 2, ..., m,   j = 1, 2, ..., p) [5, c.101]                      

Для обозначения произведения матрицы А на матрицу В используют запись С = А × В. Операция составления произведения матрицы А на матрицу В называется перемножением этих матриц.

Из сформулированного выше определения вытекает, что матрицу А можно умножить не на всякую матрицу В, необходимо, чтобы число столбцов матрицы А было равно числу строк матрицы В.

Формула (3) представляет собой правило составления элементов матрицы С, являющейся произведением матрицы  А на матрицу В. Это правило можно сформулировать и словесно: элемент ci j стоящий на пересечении і-й строки и j-го столбца матрицы С = А В, равен сумме по парных произведений соответствующих элементов і-й строки матрицы А и j-го столбца матрицы В [7, c.45]. В качестве примера применения указанного правила приведем формулу перемножения квадратных матриц второго порядка [4, c.10]

                        = 

Из формулы (3)  вытекают следующие свойства произведения матрицы  А на матрицу В:

1) сочетательное свойство: ( А В ) С = А ( В С );

2) распределительное  относительно суммы матриц свойство:

( A + B ) С = А С + В  С  или  A ( В + С ) = A В + А  С.

1.2.4 Из формулы (3)  вытекают следующие свойства произведения матрицы  А на матрицу В:

1) сочетательное свойство: ( А В ) С = А ( В С );

2) распределительное  относительно суммы матриц свойство:

( A + B ) С = А С + В  С  или  A ( В + С ) = A В + А  С.

 

3. Описание алгоритма

 

Программа – это последовательность команд для ввода исходных данных, их обработки и выдачи результатов для реализации алгоритма задачи.

Программа реализует  некоторый алгоритм решения конкретной задачи. Она объединяет последовательность действий с помощью определённых описаний.

В общем случае программа выглядит следующим образом:

Program<имя программы>;    {указывается имя программы}

Uses<имя 1,имя 2,…>;             {раздел модулей подключаемых к программе}

Label <метка 1,метка  2,…>;   {раздел описания меток}

Const <имя>=<значение>;     {раздел описания констант}

Type<имя типа>=<значение  типа>;  {раздел описания типов}

Var <идентификатор>,…,<идентификатор>:<тип>; {раздел описания   переменных}

Procedure<имя процедуры>;            {раздел описания процедур}

<тело процедуры>

Function<имя функции>;                  {раздел описания функций}

<тело функции>

Begin

           …                                              {основное тело программы}

End.

Основное тело программы помещается между зарезервированными словами begin…end. Данные слова называются операторными скобками.

 

4.  Организация входных и выходных данных

 

В любой, даже самой простой, программе присутствуют одни из часто  используемых операторов: операторы  ввода – вывода.

Ввод – это передача данных от внешнего пользователя в оперативную память компьютера для обработки. Самым распространённым устройством ввода является клавиатура.

Вывод – это обратный процесс, когда данные после обработки  выводятся пользователю. Самым распространённым устройством вывода является дисплей монитора и принтер.

Для осуществления ввода – вывода существуют четыре специальных оператора-процедуры:

Для ввода:

Read    (от английского  слова - читать)   

Readln  (Read Line – читать  линию, строку)

Для вывода:

Write  (от английского  слова – писать, записать)

Writeln  (Write Line – записать  линию, строку)

Оператор присваивания.

В качестве оператора присваивания служит пара символов :=.

Формат оператора:

<идентификатор>:=<выражение>;

В  качестве выражения  может быть использовано:

   <идентификатор>:=<числовая константа>;

   <идентификатор>:=<символьная  константа>;

   <идентификатор>:=<строковая  константа>;

   <идентификатор>:=<числовая  переменная>;