Расчет и исследования частотных спектров сигналов в СПИ

 

 

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

 

МОСКОВСКИЙ ИНСТИТУТ РАДИОТЕХНИКИ,

ЭЛЕКТРОНИКИ И АВТОМАТИКИ

(ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

 

 

 

 

 

Факультет: ВАВТ

Кафедра:    Интеллектуальных

     технологий и систем 

 

 

 

Пояснительная записка к курсовой работе

 

 

Дисциплина: Теория и средства передачи информации

 

Тема: Расчет и исследования частотных спектров сигналов в СПИ

 

 

 

 

Задание №16

 

Студент Федосеева  Т.А. /                      /

 

Группа ВУС-7-98

 

Руководитель Закорюкин В.Б. /                      /

 

 

 

 

 

 

МОСКВА 2003

 

 

 

Содержание

 

 

Введение              3

1 Задание             4

2 Математические методы расчета          5

3 Пример построения диаграмм  с помощью электронных таблиц Excel   11

4 Проведение исследования спектра  сигнала       15

5 Анализ полученных результатов         29

6 Определение минимальной ширины  спектра       30

Заключение            32

Библиографический список          33

 

 

Введение

 

 

Целью данной курсовой работы является построение математической модели исследуемого сигнала. С помощью электронных таблиц необходимо построить частотный спектр исходного сигнала прямоугольной формы.  Также необходимо провести оценку ширины спектра сигнала, путем увеличения и уменьшения периода следования и  длительности импульсов прямоугольной формы. Так же необходимо проанализировать какая форма импульсов наиболее предпочтительна прямоугольная, трапецеидальная или синусоидальная.

Для работы над данной  курсовой работой была выбрана программная реализация – электронные таблицы Microsoft @Excel – 97 (из-за реализованных в них сложных функций).

На основе полученных графиков будут изучены закономерности изменения спектра сигнала в зависимости от изменения его параметров, и будет выделен наилучший из них.

 

 

 

1 Задание

 

 

Задан сигнал в форме последовательностью импульсов прямоугольной формы с амплитудой U=5 В, периодом T=9 мкс и длительностью импульсов t=1,8 мкс (числа заданы в соответствии с вариантом задания).

Требуется:

  1) С помощью электронных таблиц Excel построить частотный спектр исходного сигнала.

2) Оценить влияние параметров T и t на форму спектра, увеличивая и уменьшая T и t по отдельности на 25%, 50%, 75%. Представить графическую форму спектра при изменении параметров, отобразив и разместив рядом форму сигнала во временной области при данных параметрах.

3) Оценить влияние формы импульсов  на форму частотного спектра, вычислив спектры и построив их для случаев последовательности импульсов прямоугольной, треугольной, трапецеидальной  и полусинусоидальной  форм.

4) Оценить при каких соотношениях T и t  спектр наиболее узкий.

 

 

2 Математические методы  расчета

 

 

Любая периодическая функция f(t) с периодом T может быть представлена на интервале в виде тригонометрического ряда Фурье:

,   (1)

 

где

Среднее значение f(t) на , или постоянная составляющая на этом интервале расчитывается по формуле:

 

  (2)

 

Коэффициенты ряда записываются следующим образом:

 

,   (3,4)

 

Выражение (1) можно представить в виде экспоненциального ряда Фурье:

, (5)

 

где коэффициенты ряда определяются через функцию f(t) выражениями:

 

,    (6, 7)

 

Выражение (6, 7) справедливо для всего интервала времени , поскольку экспоненциальная функция в правой части равенства является периодической. Следовательно, выбор может быть произвольным.

Из выражений (5) и (6, 7) следует, что периодическая функция представленная радом Фурье, содержит частотные составляющие с угловыми частотами где - основная частота.

 

Периодическая функция f(t) имеет спектр частот и может быть представлена как функция времени и как функция частоты (частотным спектром).

 

Последовательность импульсов с амплитудой U, периодом следования T и длительностью представлена на рис. 1.

Рис. 1. Периодический симметричный сигнал.

 

Определим частотный спектр такого сигнала. Функция f(t) в данном случае имеет вид:

 

  , для случая единичного импульса (8),

 

, для последовательности импульсов. (9)

k=0, 1, 2, … . 

 

 

Для вычисления амплитуд гармонических составляющих и построения частотного спектра используем выражение (6, 7).

Из рисунка 1 пределы интегрирования от до .

 

Амплитуда n-ой гармоники будет составлять:

 

 

  (10),

где - частота основной гармонической составляющей.

Поскольку , то

 

   (11).

 

 

Оценка влияния формы периодического сигнала на частотный спектр

 

 

Рассмотрим периодическую последовательность импульсов прямоугольной формы f(t),  имеющих период следования Т, длительность  t и амплитуду U. Такая последовательность представлена на рис.1.

 

Математическую модель такого сигнала представим экспоненциальным рядом Фурье:

,                                (12)

амплитуды гармонических составляющих которого будут

 

 

После подстановки его в выражение:

 

   (13)

получим преобразование Фурье для данной функции

 

            (14)

 

Из этого выражения следует, что частотный спектр периодической последовательности импульсов прямоугольной формы также состоит из единичных импульсов, расположенных на дискретных частотах  ±nω0. Амплитуды F(n)  гармонических составляющих зависят от соотношения между T и t. Форма спектра определяется функцией отсчетов амплитудного спектра Sa(nπτ/T) .

Согласно выражения (14) высота единичного импульса в спектре на частоте nω0  будет

 

                          (15)

 

 

Периодическая последовательность импульсов треугольной формы приведена на рис.2 .

Рис.2

 

Высота единичного импульса треугольной формы в спектре на частоте nω0  будет

 

                         (16)

 

Периодическая последовательность импульсов трапецеидальной формы приведена на рис.3 .

Рис.3

 

 

 

Высота единичного импульса трапецеидальной формы в спектре на частоте nω0  будет

 

                 (17)

где  Т1=t/2.

 

 

Периодическая последовательность импульсов полусинусоидальной формы приведена на рис.3 .

Рис.4

 

 

 

Высота единичного импульса полусинусоидальной  формы в спектре на частоте nω0  будет

 

                         (18)