Расчет надежностных параметров системы

 

 

 

 

МОСКВА 2005 год

Постановка задачи

Задана схема устройства:

Рис.1

Число элементов в каждом блоке n=10, все блоки состоят из равнонадежных элементов с  λ=1*10-6 1/час, интенсивность восстановлений µ=1*10-3 1/час. Предполагается, что вероятность отказов и вероятность восстановлений подчиняются экспоненциальному закону.

Требуется построить граф переходов и по нему определить надежностные параметры схемы P0(t), T0 и Кг за время t=1000 часов.

Ремонт происходит после выхода из строя всех блоков одной бригадой.

 

Граф переходов:

P0 – система работоспособна;

P1 – не работает первый блок;

P2 – не работает второй блок;

P3 – не работает третий блок;

P4 – не работают первый и второй блоки;

P5 – не работают второй и третий блоки;

P6 – не работают первый и третий блоки;

P7 – все блоки не работают.

 

 

Рис.2

 

 

=–7λP0+µP1+µP2+µP3

=λP0+(–3λ–µ)P1+µP4+µP6

=λP0+(–3λ–µ)P2+µP4+µP5

=λP0+(–3λ–µ)P3+µP5+µP6

=λP0+λP1+ λP2– λP4–2µP4+µP7

=λP0+λP2+ λP3– λP5–2µP5+µP7 

=λP0+λP1+ λP3– λP6–2µP6+µP7

=λP0+λP1+ λP2+ λP3+λP4+ λP5+ λP6–3µP7

P0+P1+P2+P3+P4+P5+P6+P7=1                  

Система находится в стационарном режиме отказов и восстановлений (процесс с отражающим экраном).

Тогда следует следующее утверждение: при t→∞ производные равны 0, в результате вместо системы линейных дифференциальных уравнений получается система линейных алгебраических уравнений:

0= –7λP0+µP1+µP2+µP3                                   – исключаем уравнение

0=λP0–3λ P1–µP1+µP4+µP6

0=λP0–3λ P2–µP2+µP4+µP5

0=λP0–3λ P3–µP3+µP5+µP6

0= λP0+λP1+ λP2– λP4–2µP4+µP7

0= λP0+λP2+ λP3– λP5–2µP5+µP7  

0= λP0+λP1+ λP3– λP6–2µP6+µP7

0= λP0+λP1+ λP2+ λP3+λP4+ λP5+ λP6–3µP7

P0+P1+P2+P3+P4+P5+P6+P7=1                        – уравнение нормировки

 

 

Решение системы уравнений:

λэлемента=1*10-6 1/час, тогда λблока=1*10-5 1/час;

µ=1*10-3 1/час.

P1= P2= P3;

P4= P5= P6.

λP0–3λ P1–µP1+2µP4=0   λP0 +2λP1–λP4–2µP4+µP7=0   λP0 +3 λP1+3λP4–3µP7=0 ;   P0+3 P1+3 P4+ P7=1	P7=     P4=                                     ;     P0=     P1=
P7= P0= ; P1= P4=	P0=0,91350326829     P1=0,02131507626     P4=0,00640974793     P7=0,00332225914.

 

P0=0, 91350326829;

P1= P2= P3= 0,02131507626;

P4= P5= P6= 0,00640974793;

P7= 0,00332225914.

 

Так как система состоит из последовательно подключенных элементов, то она работоспособна только тогда, когда все ее элементы работоспособны, т.е. при выходе из строя хотя бы одного элемента система перестает функционировать, поэтому: P0= Кг =0, 91350326829.

Расчет надежностных параметров системы P0(t), T0 за время t=1000 часов:

P0(t)= = = 0,970446

T0= = = = – = = = = 985 часов

 

Приложение

Теоретические сведения.

Основные понятия и определения.

Надежность – свойство объекта выполняемых заданных функций сохранения, во время значений и установленных эксплуатационных показателей в заданных режимах и условиях использования, технического обслуживания, ремонта и т.д.

Исправное состояние – это состояние, при котором прибор соответствует всем требованиям установленной нормативно–технической документации.

Неисправное состояние –  это состояние, при котором прибор, объект  не соответствует хотя бы одному из требований нормативно–технической документации.

Работоспособное состояние – это состояние объекта, при котором он способен выполнять заданные функции, сохраняя значения заданных нормативов  в пределах установленных документацией.

Неработоспособное состояние – это состояние, при котором значения хотя бы одного заданного параметра не соответствуют нормативно–технической документации.

Повреждение – нарушение исправного состояния изделия при сохранении его работоспособности.

Дефект – это отклонение от параметров изделия относительно заданных в нормативно–технической документации.

Неисправность – форматированное представление факта проявления дефекта на входах и выходах изделия.

Отказ – дефекты, связанные с необратимыми нарушениями характеристик изделия, приводящими к нарушению его работоспособного состояния.

Сбой – дефект, заключающийся в том, что в результате временного изменения параметров изделия в течение некоторого периода времени оно будет функционировать непрерывно. Причем его работоспособность восстанавливается самонаправленно.

Ошибки – это неправильное значение сигналов на внешних входах изделия, вызванное неисправностями, переходными процессами или помехами, воздействующими на изделие. Число дефектов, неисправностей, отказов и сбоев, одновременно присутствующих в изделии называют кратностью.

Безотказность – свойство изделия, в котором оно непрерывно сохраняет  работоспособность в течение некоторого времени.

Ремонтопригодность – свойство изделия, заключающееся в приспособленности к предупреждению и обнаружению причин возникновения отказов, повреждений и устранения их путем ремонта и технического обслуживания.

Показатели безотказности.

1. Вероятность безотказной работы P(t) – это вероятность того, что в заданном интервале времени t в изделии не возникает отказа:

; ; ;

Функция P(t) является монотонно убывающей функцией, т.е. в процессе эксплуатации и хранения надежность только убывает. Для определения P(t) используется следующая статистическая оценка:

; где N – число изделий, поставленных на испытание;

N0 – число изделий, отказавших в течении времени t.

2. Вероятность отказа: .
3. Интенсивность отказа λ(t) – это условная плотность вероятности возникновения отказа невосстанавливаемого объекта, определенного рассмотренного момента времени, при условии, что до этого момента отказ не возник.

Для определения λ(t) используется следующая статистическая оценка:

; где n(∆t) – число отказавших изделий в интервале времени (∆t);

Nср(∆t) – среднее число исправных изделий в интервал времени (∆t).

4. Средняя наработка до отказа (среднее время безотказной работы) T – это математическое ожидание наработки до первого отказа определяется так:

.

Показатели ремонтопригодности.

1. Вероятность восстановления S(t) – это вероятность того, что отказавшее изделие будет восстановлено в течение времени t.

; где nв – число изделий время восстановления которых было меньше заданного времени t;

Nов – число изделий, оставшихся на восстановлении.

2. Интенсивность восстановления µ(t) – условная плотность распространения времени восстановления для момента времени t при условии, что до этого момента восстановление изделия не произошло.

; где nв (∆t) – число восстановленных изделий за время (∆t);

Nвср (∆t) – среднее число изделий, которые не были восстановлены в течение времени (∆t).

3. Среднее время восстановления Tв – это натуральная величина ожидания восстановления: .
4. Коэффициент готовности Кг(t) – это вероятность того, что изделие работоспособно в произвольный момент времени t.

Стационарный режим: t→∞.

.

Закон распределения случайных величин.

Экспоненциальный закон распределения.

; ; ; .

Если λt <<1, то , . Вероятность безотказной работы в интервале (t, t+τ) не зависит от времени  предшествующей работы t, а зависит только от длины интервала τ, т.е. λ(t)= λ.

Система с последовательным соединением элементов.

Системой с последовательным соединением элементов называется система, в которой отказ любого элемента приводит к отказу всей системы. Такое соединение называется основным соединением.

В системе с последовательным соединением элементов для безотказной работы в течение некоторой наработки t необходимо и достаточно, чтобы каждый ее из n элементов работал безотказно в течении этой наработки. Считая отказы элементов независимыми, вероятность одновременной безотказной работы n элементов определяется по теореме умножения вероятностей: вероятность совместного появления независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

;

соответственно вероятность отказа такой системы:

.

Если система состоит из равнонадежных элементов , то:

  , .

Интенсивность отказов системы при последовательном соединении элементов равна сумме интенсивностей отказов элементов, т.е.:

.

Для системы из n равнонадежных элементов интенсивность отказов равна:

.