Решение инженерных задач с помощью Excel и Mathcad

4.1 Условие задания

 

4.2 Выполнение задания

 

Построим  график функции в Mathcad (рис. 19).

По графику  определяем, что функция z имеет только один экстремум – точку минимума.

Рис. 19. Построение поверхности  в Mathcad.

Воспользуемся блоком решения Mathcad и функцией Minimize. За начальное приближение точки минимума возьмем x=1 и y=1. В качестве ограничений укажем интервалы для xÎ[-8;8] и yÎ[-10;10].

Получили  решение x=1; y=1 (рис. 20).

Рис. 20. Минимизация функции  в Mathcad.

Теперь  выполним это же задания в Excel. Для этого сначала проведем табуляцию функции на интервале x Î [-8;8] и yÎ[-10;10] (рис. 21).

Рис. 21. Табулирование функции 2-х переменных в Excel.

На основе полученной таблицы строим поверхность (рис. 22).

Рис. 22. График функции двух переменных

С помощью надстройки «Поиск решения» найдем точку минимума. Для этого  настроим соответствующее диалоговое окно следующим образом (рис. 23). В результате выполнения получим искомую точку минимума (3,162;10)

Рис. 23. Настройка формы «Поиск решения» для нахождения минимума функции двух переменных.

При сравнении полученных результатов видно, результаты вычислений как в Mathcad, так и в Excel одинаковы, следовательно, они одинаково эффективны при работе с двумерными поверхностями и при поиске экстремумов функции двух переменных.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.Задание №5

Запрограммировать в Mathcad алгоритм численного интегрирования методом прямоугольников.

5.1.Условие задания

Возьмем произвольный интеграл:

5.2.Выполнение задания

Существует несколько  формул для решения задач методом  прямоугольников прямоугольников:

1. Формула левых прямоугольников.
2. Формула правых прямоугольников.
3. Формула средних прямоугольников.

 

1. Формула левых прямоугольников.

В общем виде формула левых  прямоугольников на отрезке [x₀;x_n] выглядит следующем образом(рис.25.):

Рис.25. Общая формула левых  прямоугольников

В данном случае x₀=a, x_n=b, т.к. любой интеграл в общем виде выглядит :

Шаг интегрирования h мы вычисляем по следующей формуле(рис.26.):

 

Рис.26. Вычисление шага интегрирования.

y₀,y₁,…,y_n-1 – это значения соответствующие функции f(x) в точках x₀,x₁,…,x_n-1  (x_i=x_i-1+h)

Тогда программный код, реализующий формулу левых прямоугольников может иметь вид, представленный на рисунке 27:

Рис.27. Программный код  формулы левых прямоугольников

В итоге мы получаем значение заданного интеграла(рис.28.):

Рис.28. Ответ заданного  интеграла

Таким образом, функции f(x) можно присваивать различные нелинейные уравнения и находить корни по формуле левых прямоугольников (например, рис. 29):

Рис. 29. Решение  уравнения  методом Левых прямоугольников

 

2. Формула правых прямоугольников.

В общем виде формула правых прямоугольников на отрезке [x₀;x_n] выглядит следующем образом(рис.30.):

Рис.30. Общая формула правых прямоугольников

Как и в формуле левых  прямоугольников задается точно  такой же шаг.

Тогда программный код, реализующий формулу правых прямоугольников может иметь вид, представленный на рисунке 31:

Рис.31. Программный код  формулы правых прямоугольников

В итоге мы получаем значение заданного интеграла(рис.32.):

Рис.32. Ответ заданного  интеграла

Таким образом, функции f(x) можно присваивать различные нелинейные уравнения и находить корни по формуле правых прямоугольников (например, рис. 33):

Рис. 33. Решение  уравнения  методом Правых прямоугольников

 

 

3. Формула средних прямоугольников.

Аналогичным образом осуществляется расчет интеграла по формуле средних  прямоугольников. Только в этом случае формула принимает вид(рис.34.):

Рис.34. Общая формула средних  прямоугольников.

В данной формуле требуется h умножать на сумму значений функции f(x), но уже не просто подставляя соответствующие значения x₀,x₁,…,x_n-1  в функцию f(x), а прибавляя к каждому из этих значений h/2 (x₀+h/2, x₁+h/2,…,x_n-1+h/2), а затем только подставлять их в заданную функцию.

Рис. 35. Решение уравнения  с помощью формулы средних  прямоугольников.

 

Заключение

 

В результате выполнения курсовой работы были изучены  программные продукты MathCAD и Excel, выявлены их достоинства и недостатки.

Было выявлено, что программа Excel имеет более удобный интерфейс и проще в освоении. Она позволяет легко составлять различные таблицы, графики и диаграммы. Программа позволяет составлять наглядные отчеты, анализировать определенные изменения

Однако  MathCAD позволяет выполнять более сложные математические вычисления. Программа содержит сотни операторов и встроенных функций для решения различных технических задач. Программа позволяет выполнять численные и символьные вычисления, производить операции с скалярными величинами, векторами и матрицами, автоматически переводить одни единицы измерения в другие.

Основное  отличие Mathcad - текстовый режим ввода выражений. При любом наборе формулы будут иметь привычный, аналогичный книжному, вид. Вычисления с введенными формулами осуществляются по желанию пользователя или мгновенно, одновременно с набором, либо по команде.

 

 

Список литературы

 

1. Блаттнер П. Использование Microsoft Office Excel 2003. Специальное издание. : Пер. с англ. —М.: Издательский дом "Вильямс", 2005. —64 с.: ил. ISBN 5-8459-0711-Х (рус.).
2. В.А. Охорзин. Прикладная математика в системе MATHCAD Учебное пособие. 3-е изд. СПб.: Лань, 2009, 352с. ISBN: 978-5-8114-0814-6
3. Веденеева Е.А. Функции и формулы Excel 2007. Библиотека пользователя. -СПб.: Питер, 2008. -384 с.: ил. (Серия «Библиотека пользователя»). ISBN 978-5-388-00071-2.
4. Е. Р. Алексеев, О. В. Чеснокова. Решение задач вычислительной математики в пакетах Mathcad 12, MATLAB 7, Maple 9. М: НТ Пресс, 2006, 496с. ISBN: 5-477-00208-5.
5. Е.Макаров. Инженерные расчеты в MathCAD. Учебный курс. С-Пб.:Питер, 2003.
6. Уокенбах Дж. Подробное руководство по созданию формул в Excel 2002.: Пер. с англ. —М.: Издательский дом «Вильямс», 2002. —624 с.: ил. ISBN 5-8459-0314-9 (рус.)