Теория автоматов

Теория автоматов.

На протяжении последних десятилетий  велись и ведутся интенсивные  работы по созданию и использованию  различных систем и устройств  для переработки дискретной информации. Преобразователи дискретной информации широко используются в качестве различного рода технических автоматов, вычислительных устройств и их функциональных блоков, устройств управления роботами, управляющих объектами по заданному алгоритму. Широкий класс таких преобразователей объединяется под общим названием -автоматы. Эти устройства имеют конечное число входов, воспринимающих информацию, и конечное число выходов для выдачи переработанной информации. Зависимость между входами и выходами задается предписанным алгоритмом переработки информации. Информация на входе и выходе представляется символами, физическими носителями которых являются квантованные по времени сигналы.

 

Если «К» символов одновременно следующих по параллельным входным  либо выходным каналам, рассматривать  как один символ из соответствующего алфавита, следующего по единому "склеенному" каналу, то такой автомат можно представить как устройство с одним входом и одним выходом (Рис. 1)

 

 

 

Рис. 1 - Общая функциональная модель преобразователя дискретной информации

 

Известны два подхода к определению  термина автомат. При первом его истолковывают как устройство, которое без непосредственного участия человека выполняет функции приема, преобразования и передачи энергии, информации и т.п. в соответствии с заложенной в него программой, при втором - как математическую модель реальных преобразователей дискретной информации. Функционирование его состоит в том, что последовательность z1,z2,... символов конечного или в общем случае бесконечного алфавита Z, поступающая на вход, вызывает на его выходе определенную последовательность w1,w2,... символов того же или другого алфавита. Таким образом, самой общей математической моделью преобразователя дискретной информации является последовательностная функция, отображающая множество Z всех последовательностей символов алфавита Z в другое множество W* последовательностей символов алфавита W. Такая интерпретация позволяет схематично представить преобразователь как устройство, реализующее отображение одного множества на другое (рис. 2а).

 

Рис. 2а - Формальная модель преобразователя

Данное отображение называется алфавитным отображением или алфавитным оператором.

 

Теория автоматов - это раздел теории управляющих систем, изучающий математические модели преобразователей дискретной информации, называемые автоматами. С определенной точки зрения такими преобразователями являются как реальные устройства (вычислительные машины, живые организмы), так и абстрактные системы (например, формальная система – это совокупность абстрактных объектов, не связанных с внешним миром, в котором представлены правила оперирования множеством символов в строго синтаксической трактовке без учета смыслового содержания, т.е. семантики; аксиоматические теории, описывающие определенную совокупность явлений в их причинно-следственной связи друг с другом).

Наиболее тесно теория автоматов  связана с теорией алгоритмов. Это объясняется тем, что автомат преобразует дискретную информацию по шагам в дискретные моменты времени и формирует результирующую информацию по шагам заданного алгоритма. Эти преобразования возможны с помощью технических и/или программных средств. Автомат можно представить как некоторое устройство (чёрный ящик), на которое подаются входные сигналы и снимаются выходные и которое может иметь некоторые внутренние состояния. При анализе автоматов изучают их поведение при различных возмущающих воздействиях и минимизируют число состояний автомата для работы по заданному алгоритму. Такой автомат называют абстрактным, т.к. абстрагируются от реальных физических входных и выходных сигналов, рассматривая их просто как буквы некоторого алфавита и в связи с идеализированным дискретным временем. При синтезе автоматов (процесс соединения или объединения) формируют систему из элементарных автоматов, эквивалентную заданному абстрактному автомату. Такой автомат называется структурным. Особое место в теории автоматов занимает понятие конечного автомата.

 

Результат преобразования вход => выход (рис.2а) зачастую зависит не только от входа в данный момент времени, но и от того, что было раньше на входе, от входной истории, т.е. от предыстории преобразования. Число возможных входных историй бесконечно (счетно), даже если различных элементов входной информации у автомата конечное число (как в конечном функциональном преобразователе). Чтобы эти предыстории как-то запоминать и отличать друг от друга преобразователь должен иметь память. Для этого в устройство (рис. 1.1,6) вводится алфавит состояний Q = {qx,q2,...qm).

 

Понятие состояния q при этом играет очень важную роль. В своих состояниях автомат запоминает свое концентрированное прошлое. На один и тот же входной сигнал преобразователь может реагировать по-разному в зависимости от того, в каком состоянии он находится в данный момент

 

Конечный автомат (рис.2б) — математическая абстракция, позволяющая описывать пути изменения состояния объекта в зависимости от его текущего состояния и входных данных, при условии, что общее возможное количество состояний Q и множество входных сигналов Z конечны. Конечный автомат является частным случаем абстрактного автомата.

 

 

Рис.2б – Конечный автомат

 

Конечный автомат является одним  из важнейших видов управляющих  систем. Главным достоинством конечных автоматов является то, что в них естественным образом описываются системы, управляемые внешними событиями.

 

Теория автоматов занимается изучением  процессов, протекающих в автоматах  различного рода, и общих закономерностей, которым они подчинены, широко применяя для этого алгебраический аппарат, математическую логику, комбинаторный анализ и теорию вероятностей. 
Конструируя надежные, хорошо работающие автоматы, приходится решать необычайно сложные задачи. Например, надо определять устойчивость систем, чтобы уменьшить различные отклонения в работе автоматических машин. Надо изучать и чувствительность автоматов, так как в процессе работы свойства систем регулирования не остаются постоянными.

 

Теория автоматов находит применение как в математике, так и в решении практических задач. Например, средствами теории автоматов доказывается разрешимость некоторых формальных исчислений. Применение методов и понятий теории автоматов к изучению формальных и естественных языков привело к возникновению математической лингвистики (математическая лингвистика - математическая дисциплина, предметом которой является разработка формального аппарата для описания строения естественных и некоторых искусственных языков.) Понятие автомата может служить модельным объектом в самых разнообразных задачах, благодаря чему возможно применение теории автоматов в различных научных и прикладных исследованиях.

 

Актуальность теории автоматов

 

Существует множество объектов управления, связанных с большой  ответственностью: ядерные и химические реакторы, комплексы промышленного, оборонного, космического назначения, горное дело. Успех в работе с ними прямо зависит от четкости и слаженности действий, от умения принимать выверенные решения и грамотно анализировать ситуацию, от возможности однозначной интерпретации информации. Различная природа физических процессов, протекающих в объектах, сложный характер взаимодействия между ними и управляющими системами обуславливает трудности разработки, алгоритмизации и программирования задач управления. Возникают трудности, связанные с необходимостью достижения наглядности и структурированности.

 

Для решения этих задач используется развитый математический аппарат теории автоматов.

Описание логики поведения (при  каких условиях необходимо выполнить те или иные действия) при автоматном подходе структурировано. Это свойство делает автоматное описание сложного поведения наглядным и ясным. Корректность работы при использовании автоматов закладывается еще на этапе проектирования, благодаря графическому представлению, т.е.

 

1) наглядно представляется поведение  управляющих автоматов (графически, таблично) и композиций из них;

2) композиций из них;

3) отображаются желаемые состояния;

4) можно легко увидеть возможные  ошибки в проектировании, такие  как отсутствие некоторого перехода, недоступность состояния и т.д.

 

Все это приводит к четкому пониманию  работы устройства. Процессы управления, проектирования могут быть представлены в виде элементов с предсказуемым  поведением.

 

Пример: один из крупнейших мировых производителей авиационной, космической и военной техники – американская корпорация «Боинг» занимается системами стабилизации самолетов с использованием чистой теории автоматов. Большая часть теории автоматов была успешно использована в системных программах и текстовых фильтрах в ОС UNIX. Это позволяет множеству людей работать на высоком уровне и разрабатывать очень эффективные программы.

Области применения ТА поражают своим размахом и не ограничиваются узкой направленностью и специализацией. Рассмотрим некоторые из них.