Теория графов

Для автоматического ввода длины ребра графа необходимо нажать кнопку .

При включенной кнопке «Выравнивать по сетке» новые вершины будут автоматически выравниваться по координатной сетке.

Если выбрать две различные вершины (щелчком левой кнопки мыши) и нажать на кнопку

, то программа найдет кратчайший путь между вершинами.

Алгоритм определения  кратчайшего пути между вершинами  графа описан следующим модулем  программы:

 

unit MinLength;

 

interface

 

uses

  Windows, Messages, SysUtils, Classes, Graphics, Controls, Dialogs,

  StdCtrls,IO,Data,AbstractAlgorithmUnit;

type

  TMinLength = class(TAbstractAlgorithm)

  private

     StartPoint:integer;

     EndPoint:integer;

     First:Boolean;

     Lymbda:array of integer;

     function Proverka:Boolean;

  public

     procedure Make;

  end;

 

var

  MyMinLength: TMinLength;

implementation

 

uses MainUnit, Setting;

procedure TMinLength.Make;

         var i ,j  : integer;

            PathPlace,TempPoint:Integer;

            flag:boolean;

         begin

           with MyData do begin

     StartPoint:=MyIO.FirstPoint;

     EndPoint:=MyIO.LastPoint;

                     SetLength(Lymbda,Dimension+1);

            SetLength(Path,Dimension+1);

           for i:=1 to Dimension do

              Lymbda[i]:=100000;

           Lymbda[StartPoint]:=0;

           repeat

             for i:=1 to Dimension do

                for j:=1 to Dimension do

                   if Matrix[i,j]=1 then

                     if  ( ( Lymbda[j]-Lymbda[i] ) > MatrixLength[j,i] )

                       then Lymbda[j]:=Lymbda[i] + MatrixLength[j,i];

           until Proverka ;

 

           Path[1]:= EndPoint ;

           j:=1;

           PathPlace:=2;

           repeat

             TempPoint:=1;

             Flag:=False;

             repeat

               if ( Matrix[ Path[ PathPlace-1 ],TempPoint] =1  )and (

                  Lymbda[ Path[ PathPlace-1] ] =

                   ( Lymbda[TempPoint] + MatrixLength[ Path[PathPlace-1 ], TempPoint] ) )

                   then Flag:=True

                   else Inc( TempPoint );

             until Flag;

             Path[ PathPlace ]:=TempPoint;

             inc( PathPlace );

             MyIO.DrawPath(Path[ PathPlace-2 ],Path[ PathPlace -1],true);

//            ShowMessage('f');

           until(Path[ PathPlace - 1 ] = StartPoint);

//           MyIO.DrawPath(Path[ PathPlace-1 ],Path[ PathPlace ],true);

           end;

         end;

function TMinLength.Proverka:Boolean;

         var i,j:integer;

             Flag:boolean;

         begin

           i:=1;

           Flag:=False;

           With MyData do begin

           repeat

             j:=1;

             repeat

               if Matrix[i,j]=1 then

               if ( Lymbda[j]-Lymbda[i] )>MatrixLength[j,i]then Flag:=True;

               inc(j);

             until(j>Dimension)or(Flag);

             inc(i);

           until(i>Dimension)or(Flag);

           Result:=not Flag;

           end;

         end;

 

 

end.

 

Рабочее поле программы предназначено для визуального ввода графов.

Рабочее поле с введенным  графом выглядит следующим образом:

 
ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Теория графов находит  широкое применение в различных  областях науки и техники:

Графы и информация

Двоичные деревья играют весьма важную роль в теории информации. Предположим, что определенное число  сообщений требуется закодировать в виде конечных последовательностей различной длины, состоящих из нулей и единиц. Если вероятности кодовых слов заданы, то наилучшим считается код, в котором средняя длина слов минимальна по сравнению с прочими распределениями вероятности. Задачу о построении такого оптимального кода позволяет решить алгоритм Хаффмана.

Двоичные кодовые деревья  допускают интерпретацию в рамках теории поиска. Каждой вершине при этом сопоставляется вопрос, ответить на который можно либо "да", либо "нет". Утвердительному и отрицательному ответу соответствуют два ребра, выходящие из вершины. "Опрос" завершается, когда удается установить то, что требовалось.

Таким образом, если кому-то понадобится взять интервью у  различных людей, и ответ на очередной вопрос будет зависеть от заранее неизвестного ответа на предыдущий вопрос, то план такого интервью можно представить в виде двоичного дерева.

Графы и химия

Еще А. Кэли рассмотрел задачу о возможных структурах насыщенных (или предельных) углеводородов, молекулы которых задаются формулой:

C_nH_2n+2

Молекула каждого предельного  углеводорода представляет собой дерево. Если удалить все атомы водорода, то оставшиеся атомы углеводорода также  будут образовывать дерево, каждая вершина которого имеет степень  не выше 4. Следовательно, число возможных структур  предельных углеводородов, т. е. число гомологов данного вещества, равно числу деревьев с вершинами степени не больше четырех.

Таким образом, подсчет  числа гомологов предельных углеводородов  также приводит к задаче о перечислении деревьев определенного типа. Эту задачу и ее обобщения рассмотрел Д. Пойа.

Графы и биология

Деревья играют большую  роль в биологической теории ветвящихся процессов. Для простоты мы рассмотрим только одну разновидность ветвящихся процессов – размножение бактерий. Предположим, что через определенный промежуток времени каждая бактерия либо делится на две новые, либо погибает. Тогда для потомства одной бактерии мы получим двоичное дерево.

Нас будет интересовать лишь один вопрос: в скольких случаях n-е поколение одной бактерии насчитывает ровно k потомков? Рекуррентное соотношение, обозначающее число необходимых случаев, известно в биологии под названием процесса Гальтона-Ватсона. Его можно рассматривать как частный случай многих общих формул.

Графы и физика

Еще недавно одной из наиболее сложных и утомительных задач для радиолюбителей было конструирование печатных схем.

Печатной схемой называют пластинку из какого-либо диэлектрика (изолирующего материала), на которой в виде металлических полосок вытравлены дорожки. Пересекаться дорожки могут только в определенных точках, куда устанавливаются необходимые элементы (диоды, триоды, резисторы и другие), их пересечение в других местах вызовет замыкание электрической цепи.

В ходе решения этой задачи необходимо вычертить плоский граф, с вершинами в указанных точках.

Итак, из всего вышесказанного неопровержимо следует практическая ценность теории графов.

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

 

1. Белов Теория Графов, Москва, «Наука»,1968.
2. Новые педагогические и информационные технологии Е.С.Полат, Москва, «Akademia» 1999 г.
3. Кузнецов О.П., Адельсон-Вельский Г.М. Дискретная математика для инженера. – М.: Энергоатомиздат, 1988.
4. Кук Д., Бейз Г. Компьютерная математика. – М.: Наука, 1990.
5. Нефедов В.Н., Осипова В.А. Курс дискретной математики. – М.: Издательство МАИ, 1992.
6. Оре О. Теория графов. – М.: Наука, 1980.
7. Исмагилов Р.С., Калинкин А.В. Матеpиалы к пpактическим занятиям по куpсу: Дискpетная математика по теме: Алгоpитмы на гpафах. - М.: МГТУ, 1995
8. Смольяков Э.Р. Введение в теоpию гpафов. М.: МГТУ, 1992
9. Hечепуpенко М.И. Алгоpитмы и пpогpаммы pешения задач на гpафах и сетях. - Hовосибиpск: Hаука, 1990
10. Романовский И.В. Алгоpитмы pешения экстpемальных задач. - М.: Hаука, 1977
11. Писсанецки С. Технология разреженных матриц. - М.: Мир, 1988
12. Севастьянов Б.А. Вероятностные модели. - М.: Наука, 1992
13. Бочаров П.П., Печинкин А.В. Теория вероятностей. - М.: Изд-во РУДН, 1994

 

ПРИЛОЖЕНИЕ

Текст программы определения кратчайшего пути в графе

 

Модуль управления интерфейсом  программы:

 

unit MainUnit;

 

interface

 

uses

  Windows, Messages, SysUtils, Classes, Graphics, Controls, Forms, Dialogs,

   StdCtrls,PaintingGraph, ComCtrls, ToolWin, ImgList, Menus,

  ActnList, ExtCtrls;

const

 

  crMyCursor = 5;

 

type

  TForm1 = class(TForm)

    SaveDialog1: TSaveDialog;

    OpenDialog1: TOpenDialog;

    ImageList1: TImageList;

    ImageList2: TImageList;

    LoadMenu: TPopupMenu;

    ControlBar1: TControlBar;

    ToolBar3: TToolBar;

    OpenButton: TToolButton;

    SaveButton: TToolButton;

    ToolButton15: TToolButton;

    ClearButton: TToolButton;

    UpdateButton: TToolButton;

    HelpButton: TToolButton;

    ToolButton26: TToolButton;

    RemovePointButton: TToolButton;

    ToolButton28: TToolButton;

    ToolButton32: TToolButton;

    SettingButton: TToolButton;

    ControlBar2: TControlBar;

    AlgoritmToolBar: TToolBar;

    KommiTool: TToolButton;

    ToolButton: TToolButton;

    NotFarButton: TToolButton;

    MinLengthButton: TToolButton;

    ToolButton5: TToolButton;

    MovePointButton: TToolButton;

    ActionList1: TActionList;

    AShowGrig: TAction;

    ASnapToGrid: TAction;

    ASave: TAction;

    ALoad: TAction;

    ADelete: TAction;

    GridToolBar: TToolBar;

    Clock: TLabel;

    Timer1: TTimer;

    ShowGridButton: TToolButton;

    AutoLengthButton: TToolButton;

    SnapToGridButton: TToolButton;

    PaintBox1: TPaintBox;

    procedure FormMouseDown(Sender: TObject; Button: TMouseButton;

      Shift: TShiftState; X, Y: Integer);

    procedure FormCreate(Sender: TObject);

    procedure FormMouseMove(Sender: TObject; Shift: TShiftState; X,

      Y: Integer);

    procedure FormPaint(Sender: TObject);

    procedure FormKeyDown(Sender: TObject; var Key: Word;

      Shift: TShiftState);

    procedure ClearButtonClick(Sender: TObject);

    procedure KommiToolButtonClick(Sender: TObject);

    procedure PaintingToolButtonClick(Sender: TObject);

    procedure SnapToGridButtonClick(Sender: TObject);

    procedure HelpButtonClick(Sender: TObject);

    procedure AutoLengthButtonClick(Sender: TObject);

    procedure SettingButtonClick(Sender: TObject);

    procedure NotFarButtonClick(Sender: TObject);

    procedure MinLengthButtonClick(Sender: TObject);

    procedure MovePointButtonClick(Sender: TObject);

    procedure RemovePointButtonClick(Sender: TObject);

    procedure Timer1Timer(Sender: TObject);

    procedure ALoadExecute(Sender: TObject);

    procedure AShowGrigExecute(Sender: TObject);

    procedure ASaveExecute(Sender: TObject);

    procedure PaintBox1Paint(Sender: TObject);

    procedure UpdateButtonClick(Sender: TObject);

    procedure EilerButtonClick(Sender: TObject);

    procedure ClockClick(Sender: TObject);

 

  private

    procedure MyPopupHandler(Sender: TObject);

    { Private declarations }

  public

    { Public declarations }

  end;

 

var

  Form1: TForm1;

implementation

uses IO,Data,Commercial,DrawingObject,Setting,NotFar,MinLength, Eiler,

  SplashScreen;

{$R *.DFM}

 

procedure TForm1.FormMouseDown(Sender: TObject; Button: TMouseButton;

  Shift: TShiftState; X, Y: Integer);

begin

if Button=mbLeft then  begin

  MyIO.FormMouseDown( X, Y);

  if (MyIO.State=msMove)then

      if MyIO.FirstPointActive then

         Cursor := crMyCursor

      else begin

         Repaint;

         Cursor := crDefault;

      end;  

    end

else

  MyIO.MakeLine(X, Y);

end;

 

procedure TForm1.FormCreate(Sender: TObject);

begin

Screen.Cursors[crMyCursor] := LoadCursor(HInstance, 'Shar');

MyIO:=TIO.Create(PaintBox1.Canvas);

MyData:=TData.Create;

MyDraw:=TDrawingObject.Create(PaintBox1.Canvas);

SaveDialog1.InitialDir:=ExtractFilePath(Application.ExeName)+'Grafs';

OpenDialog1.InitialDir:=ExtractFilePath(Application.ExeName)+'Grafs';

end;

 

procedure TForm1.FormMouseMove(Sender: TObject; Shift: TShiftState; X,

  Y: Integer);

begin

MyIO.DrawLine(x,y);

end;

 

procedure TForm1.FormPaint(Sender: TObject);

begin

PaintBox1Paint(Sender);

end;

 

procedure TForm1.FormKeyDown(Sender: TObject; var Key: Word;

  Shift: TShiftState);

begin

if (Key=vk_Escape) then

  begin

  MyData.Remove(MyData.Dimension);

  MyDraw.Remove(MyData.Dimension);

  Repaint;

  end;

 

end;

 

procedure TForm1.MyPopupHandler(Sender: TObject);

var s:string;

begin

  with Sender as TMenuItem do begin

      s:=Caption;

      MyData.Load(s);

      System.Delete(s,length(s)-4,5);

      MyDraw.Load(s+'.pos');

  end;

Repaint;

end;

 

procedure TForm1.ClearButtonClick(Sender: TObject);

begin

MyData.Clear;

MyDraw.Clear;

Repaint;

end;

 

procedure TForm1.KommiToolButtonClick(Sender: TObject);

begin

If MyData.Dimension<2 then Exit;

MyCommercial:=TCommercial.Create;

MyCommercial.Make;

MyCommercial.Free;

end;

procedure TForm1.EilerButtonClick(Sender: TObject);

begin

If MyData.Dimension<2 then Exit;

EilerC:=TEiler.Create;

EilerC.Make;

EilerC.Free;

MyIO.DrawAll;

RePaint;

end;

 

procedure TForm1.PaintingToolButtonClick(Sender: TObject);

begin

If MyData.Dimension<2 then Exit;

MyPaint:=TPaintingGraphClass.Create;

MyPaint.Make;

RePaint;

MyPaint.Free;

end;

 

procedure TForm1.SnapToGridButtonClick(Sender: TObject);

begin

MyIO.FSnapToGrid:=SnapToGridButton.Down;

end;

 

procedure TForm1.HelpButtonClick(Sender: TObject);

begin

Application.HelpContext(10);

end;

 

procedure TForm1.AutoLengthButtonClick(Sender: TObject);

begin

MyIo.AutoLength:=AutoLengthButton.Down;

end;

 

procedure TForm1.SettingButtonClick(Sender: TObject);

begin

  SettingForm.Show;

end;

 

procedure TForm1.NotFarButtonClick(Sender: TObject);

begin

If MyData.Dimension<2 then Exit;

MyNotFar:=TNotFar.Create;

MyNotFar.Make;

MyNotFar.Free;

end;

 

procedure TForm1.MinLengthButtonClick(Sender: TObject);

begin

If MyData.Dimension<2 then Exit;

MyMinLength:=TMinLength.Create;

MyMinLength.Make;

MyMinLength.Free;

end;

 

procedure TForm1.MovePointButtonClick(Sender: TObject);

begin

if MovePointButton.Down then MyIO.State:=msMove else

  MyIO.State:=msNewPoint;

if MovePointButton.Down=false then

  Cursor := crDefault;

end;

 

procedure TForm1.RemovePointButtonClick(Sender: TObject);

begin

if ReMovePointButton.Down then MyIO.State:=msDelete else

  MyIO.State:=msNewPoint;

  Repaint;

end;

 

procedure TForm1.Timer1Timer(Sender: TObject);

begin

  Clock.Caption:=TimeToStr(Time);

end;

 

procedure TForm1.ALoadExecute(Sender: TObject);

var s:string;

begin

  if OpenDialog1.Execute then

    try

      s:=OpenDialog1.Filename;

      MyData.Load(s);

      Delete(s,length(s)-4,5);

      MyDraw.Load(s+'.pos');

    finally

    end;

Repaint;

end;

 

procedure TForm1.AShowGrigExecute(Sender: TObject);

begin

MyIO.FDrawGrid:=ShowGridButton.Down ;

Repaint;

end;

 

procedure TForm1.ASaveExecute(Sender: TObject);

var s:string;

    m:TMenuItem;

begin

  if SaveDialog1.Execute then

    try

      s:=SaveDialog1.Filename;

      MyData.Save(s);

      Delete(s,length(s)-4,5);

      MyDraw.Save(s+'.Pos')

    finally

    end;