Автор работы: Пользователь скрыл имя, 11 Ноября 2013 в 11:40, лабораторная работа
Пусть для определенности , (рис. 1.1). В качестве начального приближения корня принимается середина этого отрезка, т.е. . Далее исследуем значение функции на концах отрезков и . Тот из них, на концах которого принимает значения разных знаков, содержит искомый корень. Поэтому его принимаем в качестве нового отрезка. Вторую половину отрезка отбрасываем. В качестве первой итерации корня принимаем середину нового отрезка и т. д.
1.1. Метод деления отрезка пополам.
Допустим, что мы нашли отрезок , в котором расположено искомое значение корня , т.е. .
Пусть для определенности , (рис. 1.1). В качестве начального приближения корня принимается середина этого отрезка, т.е. . Далее исследуем значение функции на концах отрезков и . Тот из них, на концах которого принимает значения разных знаков, содержит искомый корень. Поэтому его принимаем в качестве нового отрезка. Вторую половину отрезка отбрасываем. В качестве первой итерации корня принимаем середину нового отрезка и т. д.
Рис. 1.1 Метод деления отрезка пополам. |
Таким образом, после каждой итерации отрезок, на котором расположен корень, уменьшается вдвое, т.е. после итераций он сокращается в раз. Если длина полученного отрезка становится меньше допустимой погрешности, т.е. , счет прекращается.
Пример 1.1. Найти решение уравнения c точностью методом деления отрезка пополам.
Рис. 1.2. Графический метод уравнения
Решение. Уравнение представим в виде. Корнем данного уравнения является -координата точки пересечения графиков функций и (рис.1.2). Искомый корень находится между точками и . Функция на концах отрезка принимает значения разных знаков и .
Начальное приближение:, , (a+b)/2=-0.5.
; ; .
1-е приближение: , , .
Погрешность .
.
Корень находится в интервале
2-е приближение:.
Погрешность .
.
Корень находится в интервале
…
7-е приближение:.
Погрешность .
Приближенным решением данного уравнения является
Ниже приведена программа решения данного уравнения методом деления отрезка пополам на языке VBA в Excel. В качестве исходных данных в ячейки таблицы вводятся границы интервала, содержащего корень, и точность вычисления.
| ||||||||||||||||||||||||
Function F(x)
F = x ^ 3 -3*x^2+9* x =2
End Function
Sub program1()
a = Cells(2, 1)
b = Cells(2, 2)
e = Cells(2, 3)
If F(a) * F(b) > 0 Then
MsgBox "F(a) и F(b) одного знака"
End
End If
1 x = (a + b) / 2
If F(a) * F(x) < 0 Then b = x Else a = x
If (b - a) >= e Then GoTo 1
Cells(2, 4) = x
Cells(2, 5) = F(x)
End Sub
Пример 1.2.Найти решение уравнения c точностью методом деления отрезка пополам с помощью программы Excel.
Найдем интервал, содержащий единственный корень уравнения. Для этого необходимо построить таблицу или график функции .
Границы интервала, содержащего корень, соответствуют значениям шкалы, между которыми линия графика пересекает горизонтальную ось.
Продолжаем решение на новом листе (рис. 1.5).
Приближенное решение данного уравнения содержится в ячейке С9 (погрешность в ячейке D9).
|
A |
B |
C |
D |
E |
F |
G | |||
1 |
a |
b |
x |
b-a |
F(a) |
F(b) |
F(x) | |||
2 |
-1 |
0 |
-0.5 |
1,0000 |
-11 |
2 |
-3.375 | |||
3 |
-0.5 |
0 |
-0.25 |
0,5000 |
-3.375 |
2 |
-0.45313 | |||
4 |
-0.25 |
0 |
-0.125 |
0,2500 |
-0.45313 |
2 |
0.826172 | |||
5 |
-0.25 |
-0.125 |
-0.1875 |
0,1250 |
-0.45313 |
0.82617 |
0.200439 | |||
6 |
-0.25 |
-0.1875 |
-0.21875 |
0,0625 |
-0.45313 |
0.20044 |
-0.12277 | |||
7 |
-0.21875 |
-0.1875 |
-0.21313 |
0,0313 |
-0.12277 |
0.20044 |
0.039715 | |||
8 |
-0.21875 |
-0.21313 |
-0.21094 |
0,0056 |
-0.12277 |
0.03972 |
-0.04131 | |||
9 |
-0.21103 |
-0.21313 |
-0.20703 |
0.0078 |
-0.04131 |
0.03971 |
-0.00074 | |||
1.2. Метод Ньютона (метод Суть метода состоит в том, что на -й итерации в точке строится касательная к кривой и ищется точка пересечения касательной с осью абсцисс (рис. 1.6). Если задан интервал изоляции корня , то за начальное приближение принимается тот конец отрезка, на котором . (1.1) Уравнение касательной, проведенной к кривой в точке с координатами и , имеет вид:
(1.2)
Рис. 1.3. Метод касательных.
За следующее приближение корня примем абсциссу точки пересечения касательной с осью OX. Из (1.2) при , получим (1.3) При этом необходимо, чтобы . Аналогично могут быть найдены и следующие приближения как точки пересечения с осью абсцисс касательных, проведенных в точках , и т.д. Формула для -го приближения имеет вид: (1.4) Для завершения итерационного процесса можно использовать условия или . Объем вычислений в методе Ньютона больше, чем в других методах, поскольку приходится находить значение не только функции , но и ее производной. Однако скорость сходимости здесь значительно выше. Пример 1.2. Решить уравнение на отрезке методом Ньютона c точностью . Решение. Определим производные заданной функции . Проверим выполнение условия сходимости на концах заданного интервала: - не выполняется, - выполняется. За начальное приближение корня можно принять . Находим первое приближение:
Аналогично находится второе приближение: . Третье приближение: Четвертое приближение: |
Так как , итерационный процесс заканчивается. Таким образом, приближенным решением данного уравнения является .
Ниже приведена программа решения данного уравнения методом Ньютона. В качестве исходных данных вводятся начальное приближение и точность вычисления.
Исходные данные |
Результаты | |||
A |
B |
C |
D | |
1 |
x0 |
e |
x |
F(x) |
2 |
-1 |
0,01 |
-0,207 |
6,9E-0,9 |
Function F(x) F = x ^ 3 -3*x^2 + 9*x + 2 End Function Function F1(x) F1 = 3 * x ^ 2 -6*x + 9 End Function Sub program2() x = Cells(2, 1) e = Cells(2, 2) 1 xk = x - F(x) / F1(x) If Abs(xk - x) >= e Then x = xk: GoTo 1 Cells(2, 3) = xk Cells(2, 4) = F(xk) End Sub |
Пример 1.3. Решить уравнение на отрезке методом Ньютона c точностью с помощью программы Excel.
Порядок решения.
Приближенное решение данного уравнения содержится в ячейке A6 (погрешность в ячейке D6)
A |
B |
C |
D | |
1 |
x |
F(x) |
F'(x) |
погрешность |
2 |
-1 |
|||
3 |
-0,38889 |
-11 |
18 |
0,611111 |
4 |
-0,21815 |
-2,01252 |
11,78704 |
0,17074 |
5 |
-0,207 |
-0,11649 |
10,45166 |
0,011146 |
6 |
-0,20696 |
-0,00045 |
10,37057 |
4,36E-05 |
Решение уравнения методом |
1.3. Метод простой итерации.
Для использования этого метода исходное нелинейное уравнение необходимо привести к виду .
В качестве можно принять функцию , где M - неизвестная постоянная величина, которая определяется из условия сходимости метода простой итерации . При этом для определения M условие сходимости записывается в следующем виде:
или . (1.5)
Если известно начальное приближение корня , подставляя это значение в правую часть уравнения , получаем новое приближение .
Далее подставляя каждый раз новое значение корня в уравнение , получаем последовательность значений:
Итерационный процесс прекращается, если результаты двух последовательных итераций близки, т.е. .
Геометрическая интерпретация метода простой итерации. Построим графики функций и . Корнем уравнения является абсцисса пересечения кривой с прямой (рис. 1.9). Взяв в качестве начальной точки , строим ломаную линию. Абсциссы вершин этой ломаной представляют собой последовательные приближения корня . Из рисунка видно, что если на отрезке (рис. 1.4а), то последовательные приближения колеблются около корня. Если же производная (рис. 1.4б), то последовательные приближения сходятся монотонно.
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) |
б) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.4. Геометрическая интерпретация метода простой итерации. Пример 1.4. Решить уравнение на отрезке методом простой итерации c точностью . Решение. Из условия сходимости (1.5) , при определяем . Подставляя каждый раз новое значение корня в уравнение , получаем последовательность значений:
Погрешность: Приближенным решением данного уравнения c точностью является. Ниже приведена программа решения данного уравнения методом простой итерации. В качестве исходных данных вводятся начальное приближение, точность вычисления и значение постоянной М.
Пример 1.4. Решить уравнение на отрезке методом простой итерации c точностью с помощью программы Excel. Порядок решения.
Приближенное решение данного уравнения содержится в ячейке A10 (погрешность в ячейке D10).
|