Исследование ARC-фильтров второго порядка

 

 

Амплитудный спектр сигнала

 

Фазный спектр сигнала

 

Для расчета спектров выходного  воздействия ряд Фурье имеет  вид:

 

или

где    и  

Амплитудный спектр реакции

 

 

Фазный спектр реакции

График АЧХ

График ФЧХ

 

 

 

 

2.Анализ во временной области

2.1. Определить переходную  и импульсную функции.

 

Временные методы определения реакции  цепи на произвольное воздействие основаны на интегралах Дюамеля и наложения, в которых используется переходная и импульсная характеристики цепи. Следует учитывать, что реакция  цепи определяется при нулевых начальных  условиях.

 

 

Переходной характеристикой h(t) называется функция, описывающая переходной процесс в цепи с нулевыми начальными условиями при подключении ее к источнику единичного ступенчатого воздействия.

Расчетная формула для переходной характеристики имеет вид:

Импульсная характеристика – hδ (t ) – функция, описывающая переходной процесс в цепи с нулевыми начальными условиями при подключении ее к источнику единичного импульсного воздействия.

Расчетная формула для импульсная характеристики имеет вид:

 

 

 

 

2.2. Рассчитать и построить график  реакции цепи на ступенчатое  воздействие амплитудой U. (Здесь U – амплитуда импульсов, данная в варианте задания).

 

Исходя из полученной переходной характеристики, график реакции цепи на ступенчатое  воздействие имеет вид:

График реакции цепи на ступенчатое воздействие амплитудой U

2.3. Определить и построить  график реакции цепи на импульсное  воздействие площадью Utu. (Здесь tu – длительность импульса, данная в варианте задания).

Исходя из полученной импульсной характеристики, график реакции цепи на заданный импульс  площадью τ 0 U имеет вид:

График реакции цепи на импульсное воздействие площадью Utu

2.4. Найти реакцию цепи  на непериодический прямоугольный  импульс амплитудой U и длительностью tu с помощью переходной функции фильтра. Построить график реакции.

Для расчета реакции на непериодический  импульс с помощью переходной характеристики фильтра воспользуемся  интегралом

Дюамеля (или наложения), который  имеет следующий общий вид:

 

 

где          - заданное воздействие произвольной формы

- реакция цепи на данное воздействие

Интегралом Дюамеля можно рассчитать реакцию цепи на произвольное воздействие, поэтому для расчета именно непериодического импульсного воздействия необходимо учесть, что до и после подачи импульса входного воздействия нет.

Для импульсного непериодического воздействия                                     , заданного при предыдущих расчетах, функция реакции цепи примет вид (с учетом того, что подан именно импульс):

Функция реакции на непериодический  прямоугольный импульс амплитудой U и длительностью τ , выраженная с помощью импульсной характеристики фильтра имеет вид:

 

 

где в качестве функции импульса взята уже известная функция

 

 

 

Реакция цепи на непериодический прямоугольный импульс амплитудой U и длительностью импульса tu с помощью переходной функции фильтра:

2.5. Найти реакцию цепи  на непериодический прямоугольный  импульс амплитудой U и длительностью tu с помощью импульсной функции фильтра. Построить график реакции.

Реакция цепи на непериодический прямоугольный импульс амплитудой U и длительностью импульса tu с помощью импульсной функции фильтра:

 

2.6. Сравнить графики  реакций по пп.2.4 и 2.5.

Как видно из графика, результаты расчета  реакции с помощью импульсной и переходной характеристик полностью  совпали.

Однако необходимо заметить, что  импульсная характеристика дала более  точный результат, а результат, полученный интегралом наложения, пришлось умножать на функцию Хевисайда с поправкой на сдвиг, чтобы сгладить неточности, появившиеся из-за универсальности данного способа расчета.

 

 

2.7. Сравнить графики реакций по пп.1.6, 2.4 и 2.5 (аналитически).

Как видно полученные различными методами результаты полностью идентичны. Разница  лишь в том, что анализ в частотной области дал результат с запаздыванием на τ/2. Это связано с тем, что импульс при анализе частотной области импульсное воздействие подается на отрезке [-τ/2, τ/2], а не на [0,τ ], как при анализе во временной области.