Становление современного естествознания

Геометрические свойства пространства

Геометрический анализ пространства опирается прежде всего на исторический опыт землепользования. Первые научные геометрические представления выражены в евклидовой геометрии, по которой пространство характеризуется трехмерностью и изотропностью (независимостью свойств от направления), а прямая есть кратчайшее расстояние между двумя точками. Геометрия Евклида исходит из пяти аксиом, или постулатов. Более всего споров у математиков вызывал пятый постулат, в соответствии с которым из одной точки на плоскости можно провести только одну прямую, которая не будет пересекаться с данной. В начале XIX в. немецкий математик К.Ф. Гаусс при-

знал, что если этот постулат "заменить другими аксиомами, то можно построить  новую геометрию. Такие новые  геометрии были построены Н.И. Лобачевским (Россия), Б. Риманом (Германия) и Я. Больяем (Венгрия). Так, Лобачевский и Больяй допустили, что существует множество прямых, которые не пересекутся с данной. Риман, напротив, заменил пятый постулат на аксиому, согласно которой через точку, лежащую вне данной прямой на плоскости, нельзя провести ни одной параллельной, все они будут пересекаться с данной.

Эти представления наглядно иллюстрируются на двухмерных поверхностях. Евклидова  геометрия реализуется на плоскости, геометрия Римана - на поверхности  сферы, на которой прямая линия выглядит как отрезок дуги большого круга, центр которого совпадает с центром сферы. Геометрия Лобачевского реализуется на так называемой псевдосфере. Поскольку пространство имеет три измерения, то для каждой геометрии вводится понятие кривизны пространства (рис. 5.4). В евклидовой геометрии кривизна нулевая, у Римана - положительная, у Лобачевского и Больяя -отрицательная, поскольку на основании пятой аксиомы доказывается теорема о сумме углов треугольника. В геометрии Евклида, как известно, она равна 180°, у Римана - она больше 180°, а у Лобачевского - меньше.

В трехмерном неевклидовом пространстве кривизна пространства понимается как  отступление его метрики от евклидовой, что точно описывается языком математики, но невозможно представить  как-то наглядно. Впоследствии Риман  показал единство и непротиворечивость всех неевклидовых геометрий, частным случаем которых выступает геометрия Евклида.

Рассматривая физические и геометрические свойства пространства и времени, полезно затронуть вопрос об их соотношении и предпочтении той или иной геометрии для построения конкретных физических моделей явлений. С этой точки зрения интересна позиция А. Пуанкаре, который утверждал, что, если пространство с любой произвольно заданной геометрией дополнено законами физики, оно может быть принято для описания изучаемого явления. Аналогичной точки зрения придерживался А. Эйнштейн. Но если Пуанкаре предлагал выбирать относительно простую геометрию пространства и дополнять ее сравнительно сложными описаниями физических законов, то Эйнштейн, наоборот, предлагал более сложную геометрию дополнять сравнительно простыми физическими законами [14]. Так, в теории относительности Эйнштейна используется геометрия Римана. Эту возможность наглядно иллюстрирует следующий мысленный эксперимент [22, 23]. Пусть лифт покоится в отсутствие гравитационного поля (рис. 5.5, а). В стенке лифта сделано отверстие А, через которое луч света падает на его противоположную сторону; линия АВ - прямая. Лифт начинает движение вверх с ускорением g. За время, пока свет проходит расстояние между стенками, лифт смещается вверх, и луч света попадает не в точку В, а в точку С (рис. 5.5, б). Линия АС сохраняет свойство быть кратчайшим расстоянием между двумя точками, но это будет не прямая, а так называемая геодезическая.

5.3. Методы оценки пространства

Размеры микрообъектов

Нас окружают объекты, размеры которых  несопоставимы друг с другом: молекулы и Солнечная система, атомы и  галактики и т.д. Все они расположены в пространстве, и, следовательно, можно оце-

нить расстояния, связанные с  этими объектами. Приведем некоторые  приблизительные оценки, позволяющие  более уверенно ориентироваться  в окружающем пространстве [3, 7, 15].

Минимально видимая глазом длина сопоставима с толщиной волоса - около 0,1 мм. Если быть более точным, то невооруженным глазом с расстояния наилучшего видения (около 25 см) наблюдатель со средней остротой зрения может отличить одну мелкую частицу (или деталь объекта) от другой, лишь если они отстоят друг от друга на расстоянии около 0,08 мм. Усилить наше зрение может лупа - собирающая линза - или система линз с небольшим фокусным расстоянием (10-100 мм). С ее помощью можно добиться увеличения от 2 до 50 раз, т.е. объект можно рассмотреть в среднем в 10 раз детальнее.

Свойство линзы или системы  линз давать увеличенные изображения  предметов известно с XVI в. Оптический микроскоп впервые успешно применил в научных исследованиях англичанин Р. Гук, установивший в 1670-х гг. клеточное строение животных и растительных тканей. Примерно в это же время голландский ученый А. Левенгук открыл с помощью оптического микроскопа микроорганизмы. Развитию методов микро--скопических исследований существенно способствовала разработка теории образования изображений несамосветящихся объектов в микроскопах немецким физиком Э. Аббе (вторая половина XIX в.).

Современный оптический микроскоп  дает увеличение примерно в 100-1000 раз. Следовательно, размеры объектов, которые можно  увидеть в такой микроскоп, составляют 0,0001 мм (10"*⁷м). Различные типы оптических микроскопов предназначены для обнаружения и изучения микроорганизмов (бактерий, микроскопических грибов, водорослей и вирусов), органических клеток, мелких кристаллов, определения и детального изучения минералов, минерального состава и структуры горных пород и т.д.

Возможности оптических микроскопов  ограничены разрешающей способностью, т.е. способностью давать раздельные изображения  двух близких друг к другу точек  объекта. Дело в том, что из-за дифракции света изображение точки представляет собой светлое пятно, окруженное кольцами, и после некоторого увеличения изображения двух точек начинают сливаться. В видимом свете ничего нельзя рассмотреть при увеличении

объекта более чем в 1500-2000 раз, поскольку длина волны видимого света становится больше изучаемого объекта.

Для того чтобы рассмотреть более  мелкие объекты, используют электронный  микроскоп - прибор, в котором для  получения увеличенного изображения  используется электронный пучок. Разрешающая  способность электронного микроскопа в сотни раз выше, чем у оптического микроскопа. Электронные микроскопы позволяют получить с помощью наблюдения и фотографирования многократно увеличенные объекты (вплоть до 10 раз) и увидеть объекты размером 10~⁹ м. Эти приборы дают возможность при определенных условиях рассмотреть микроструктуру тел (вплоть до атомно-молекулярного уровня) и т.п. Физические основы электронно-оптических приборов были заложены ирландским математиком У.Р. Гамильтоном почти за 100 лет до появления электронных микроскопов, которые стали создаваться в первой половине XX в., а широкое применение в естествознании получили уже во второй половине XX в. Высокие разрешения этих микроскопов достигаются благодаря чрезвычайно малой длине волны электронов. Несколько большие подробности объектов можно рассмотреть лишь косвенными методами. Например, в настоящее время применяется метод изучения объектов с помощью рассеяния электронов.

Размеры макрообъектов

Обратимся к макрообъектам. Если допустить, что рост человека составляет в среднем 1,5-2 м, то эта величина превышает диаметр волоса на четыре порядка. Размеры большей части предметов, окружающих нас, сопоставимы с размерами человеческого тела, иначе было бы трудно иметь с ними дело. Расстояния до объектов, находящиеся на больших расстояниях (холм, лес, поле и т.д.), можно оценить шагами, т.е. по существу сопоставить их с размером своего тела. В таких случаях расстояние составляет от нескольких километров до нескольких десятков километров. Таким образом, непосредственное восприятие человеком расстояний возможно в диапазоне от 0,1 мм до приблизительно 100 км. Оценка размеров континентов, а тем более окружности Земли вряд ли возможна с помощью шагов. В этом случае це-

лесообразно поступить так. Если известны средняя скорость движения некоторого вида транспорта (поезда, машины, самолета и пр.) и время в пути, можно получить представление о преодоленном расстоянии: если ехать из одного пункта в другой со скоростью 100 км/ч в течение 7 ч, то ясно, что. было преодолено расстояние 700 км; если самолет за 9 ч долетает из Москвы до Петропавлов-ска-Камчатского при средней скорости 800-850 км/ч, то эти населенные пункты разделены расстоянием приблизительно 7500 км. Чтобы облететь вокруг Земли, самолету потребовалось бы примерно в 5 раз больше времени, поскольку ее окружность составляет около 40 000 км. Весьма точно окружность Земли и ее радиус удалось оценить еще в античное время Эратосфену. Он заметил, что в день четнего солнцестояния 21-22 июня в районе г. Сиены (Асуан, Египет) лучи Солнца падают отвесно, а в Александрии, отстоящей на 800 км севернее, угол падения 7,5° (рис. 5.6). Из простейших тригонометрических расчетов следует, что окружность Земли составляет 40 000 км, а ее диаметр - около 12 000 км. Оценить расстояние до небесных тел можно также с помощью очень простых способов. Ближайшим небесным телом для нас является Луна. Еще во II в. до н.э. Гиппарх измерил угол, под которым видна тень, отбрасываемая Землей на Луну во время лунного затмения, а зная диаметр Земли, он довольно точно определил расстояние от Земли до Луны. В настоящее время для таких целей используют радиолокацию. Сигнал радара направляют на объект и измеряют время, протекшее от посылки сигнала до возвращения отраженной волны. Для Луны это время составит 2,6 с; следовательно, в одну сторону сигнал летел 1,3 с. Поскольку волна радара имеет ту же природу, что и световая, и распространяется со скоростью 300 000 км/с, можно заключить, что расстояние Земля -Луна приблизительно 400 000 км.

Наблюдения за движением планет позволяют определить относительные  размеры их орбит. Так, Меркурий всегда наблюдается близко от Солнца, никогда  не далее 23°, т.е. радиус орбиты Меркурия равен 0,38 радиуса земной орбиты (немногим более 1/3 ее радиуса). Аналогичным способом находим радиус орбиты Венеры - 0,7 радиуса земной орбиты (немногим более 2/3 от него). Таким образом, можно построить картину Солнечной системы, соблюдая найденные пропорции (рис. 5.7).

Для того чтобы узнать истинный радиус орбит планет, следует определить расстояние только до одной из них, а остальные рассчитать по уже  известной пропорции. Здесь также  пользуются радарным методом. Например, до Венеры время между испусканием и возвращением сигнала составляет 5-15 мин в зависимости от того, где находятся Земля и Венера на своих орбитах. Следовательно, расстояние до Венеры порядка миллионов километров. После того как было определено расстояние Венера - Земля, оказалось нетрудно найти и другие расстояния в Солнечной системе, зная пропорции и относительные размеры орбит. Так, свету требуется чуть больше 8 мин, чтобы дойти от Солнца до Земли, т.е. расстояние Земля - Солнце составляет 150 млн км. Размеры всей Солнечной системы таковы, что свету для того, чтобы пройти ее, нужно 11ч. Несложно оценить и размеры самого Солнца. Оно кажется нам таким же, как Луна, но оно в 375 раз дальше, и диаметр его должен быть в 375 раз больше лунного: он равен 1,4 млн км.

Межзвездные пространства

Оценить расстояния до звезд можно  несколькими методами. Один из них  связан с измерением светимости звезд. Предположим, что звезды имеют размеры, сопоставимые с размерами Солнца. Однако одни из них светят ярче, а другие - слабее, поскольку одни звезды ближе к нам, другие - дальше. Это позволяет вычислить расстояния до звезд. Для этого надо учесть, что если одно из двух одинаково ярких тел находится на расстоянии, в п раз большем, чем другое, то более близкое тело кажется в п раз ярче. Так, интенсивность света Солнца в (миллион) раз ярче Сириуса, т.е. Сириус находится в миллион раз дальше от Земли, чем Солнце. Яркость других звезд, например семи звезд ковша Большой Медведицы, в 9 раз меньше яркости Сириуса; следовательно, они должны находиться еще в 3 раза дальше.

Используя этот метод, можно было бы найти расстояния до всех звезд. Однако мы не обязаны верить <на слово>, что звезды - такие же тела, как и Солнце. Поэтому полезно использовать какой-либо иной метод. В 1830-х гг. для этой цели был предложен метод параллаксов. Этот метод основан на простейшем способе измерения расстояния до какого-либо недоступного предмета: его визируют из двух разных точек и затем определяют, как изменяется направление, в котором он виден. Например, отдаленное дерево будет видно немного в ином направлении, если пройдем несколько шагов перпендикулярно линии, соединяющей дерево и наблюдателя, и, чем дальше дерево, тем меньше изменится направление, в котором оно видно. Исходя из этого изменения, вычисляют расстояние до дерева. При измерении расстояний до звезд используют эффект вращения Земли вокруг Солнца (рис. 5.8). Так, зимой мы смотрим на звезду из точки, которая на 300 млн км удалена от летней точки наблюдения. При этом для наблюдателя звезда переместится по небесному своду на расстояние, равное диаметру земной орбиты. Иначе говоря, он увидит звезду, сместившуюся на угол, под которым виден диаметр земной орбиты со звезды. Эти смещения крайне малы, но уже более 150 лет назад были созданы инструменты, способные измерять столь малые смещения. Оказалось, что таким методом можно измерить рассто-

яние звезд, отстоящих не более  чем на 50 световых лет. (Световой год - единица измерения межзвездных расстояний; путь, который свет проходит за год, т.е. 9,46 10¹² км.) На этом расстоянии находится около 300 звезд. Ближайшие от нас звезды (Проксима, Альфа в созвездии Центавра) находятся на расстоянии приблизительно 4 световых лет.

Смещение множества звезд слишком  мало, чтобы его можно было измерить. При этом оценку межзвездных расстояний по светимости выполняют путем сравнения  звезд одного цвета, которые не слишком  различаются по размеру.

Оценив межзвездные расстояния, можно оценить протяженность пустого пространства между нашей Солнечной системой и одной из ближайших звезд - Сириусом: оно в 1 млн раз больше расстояния от Земли до Солнца, т.е. порядка 10¹⁴ км. Свету требуется примерно 10 лет, чтобы пройти это расстояние. Если учесть те несколько часов, за которые свет проходит Солнечную систему, то можно получить представление о расстояниях до ближайших звезд.

Оценим распределение звезд  в пространстве. Наблюдая за звездным небом, можно увидеть, что слабых звезд гораздо больше, чем ярких, и они распределены по небу неравномерно.

В самом Млечном пути или около  него слабых звезд значительно больше, чем в отдаленных участках неба. Если смотреть в направлении, сильно удаленном от Млечного пути, можно заметить некоторое количество ярких звезд и почти не увидеть очень слабых. Таким образом, звезды не распределены в пространстве равномерно, а сосредоточены на участке, имеющем вид плоского диска. Наша Солнечная система находится где-то в этом диске.

Можно оценить размеры диска, внутри которого находятся все звезды, видимые  нами на небе. Известно, что яркость  звезд, еще видимых в направлении  плоскости Млечного пути, в 100 раз слабее, чем звезд, видимых в перпендикулярном направлении; следовательно, радиус диска должен примерно в 10 раз превышать его толщину. Яркость наиболее слабых звезд Млечного пути приблизительно в 100 млн раз меньше яркости Сириуса, т.е. они должны находиться в 10 000 раз дальше от Земли, чем Сириус, - на расстоянии 100 000 световых лет. Таким образом, из распределения слабых и ярких звезд по небу следует, что звезды образуют круговой диск диаметром 10^s световых лет и толщиной 10 световых лет. Причем Солнечная система находится примерно на середине радиуса. Это скопление звезд называется галактической системой или нашей Галактикой. Среднее расстояние между звездами в ней - около 10 световых лет. Это позволяет оценить количество звезд в Галактике - около 50 млрд. Другие оценки дают цифру 100 млрд звезд.

В настоящее время известно, что  в состав Галактики входят не только звезды, но также газы и пыль, которые  затрудняют применение рассмотренного метода измерения расстояний. Звезда, видимая через слой газа и пыли, кажется слабее, и мы можем ошибочно заключить, что она дальше от нас, чем на самом деле. Эту трудность позволяют преодолеть другие методы. С их помощью установлено, что звезды сосредоточены в больших спиральных рукавах, выходящих из центра диска и закрученных в его плоскости.