Шпаргалка по "Математическая логика"

Нетрудно  видеть, что класс формул, выводимых  из совокупности Н, совпадает с классом  доказуемых формул  в случае, когда  совокупность Н содержит только доказуемые формулы, и в случае, когда Н  пуста.

Если же совокупность формул Н содержит хотя бы одну не доказуемую формулу, то класс формул, выводимых  из Н, шире класса доказуемых формул.

 

Правила выводимости:

Основные правила выводимости:

     1. H ├ A              Это правило следует непосредственно из определения вывода

          H,W├A          из совокупности формул : “Если А выводима из Н, то она вы-    

                                               водима из  ”.

    2. H,C ├ A,H├C 

              H├A          .

    3. H,C ├ A, W├C 

             H,W├A       .

    4. H ├ C→A 

         H,C├A    .

    5. Теорема дедукции:                  H, C├ A  .

                                                               H├C→A

   5а. Обобщенная теорема дедукции:                                    {C₁, C₁, …, C_k}├ A 

                                                                                       ├C₁ →(C₂→(C₃→…(C_k→A)…))

 

   6. Правило введения конъюнкции:                 H├A,H├B   (показано в примере §4).

                                                                                     H├

   7. Правило  введения дизъюнкции:                  H,A├C;Н,B├C   .

                                                                                        H, ├C

Теорема Дедукции:

Пусть Г – множество формул исчисления L; А и В – формулы, и пусть

Г, А   _L В. Тогда Г   _L (А В). В частности, при пустом Г, из выводимости А   _L В вытекает теорема:   _L А В.

17. Связь алгебры  высказываний с исчислением высказываний.

 

Формулы исчисления высказываний можно интерпретировать как формулы алгебры высказываний. Для этого будем трактовать переменные исчисления высказываний как переменные алгебры высказываний, т. е. переменные в содержательном смысле, принимающие  два значения: истина и ложь (1 и 0).

 

Операции  определим так же, как в алгебре высказываний.

При этом всякая формула исчисления высказываний при  любых входящих в нее переменных будет принимать одно из значений 1 или 0, вычисляемое по правилам алгебры  высказываний.

Введем понятие  значения формулы исчисления высказываний. Пусть А- формула исчисления высказываний, х₁,х₂,…,х_n- попарно различные переменные, среди которых находятся все переменные, входящие в формулу А. Обозначим через а₁, а₂,…,а_n набор значений этих переменных, состоящих из 1 и 0, длины n. Очевидно, что вектор (а₁, а₂,…,а_n) имеет 2ⁿ значений.

 

Имеют место  три теоремы, которые устанавливают  связь между основными фактами  алгебры высказываний и исчисления высказываний.

Теорема 1.

Каждая формула, доказуемая в исчислении высказываний, является тождественно истинной в алгебре  высказываний.

Формулировка  этой теоремы содержит в себе три  положения:

1)Каждая аксиома  исчисления высказываний – тождественно  истинная формула в алгебре  высказываний.

2)Правило  подстановки, примененное к тождественно  истинным формулам, приводит к  тождественно истинным формулам.

3)Правило  заключения, примененное к тождественно  истинным формулам, приводит к  тождественно истинным формулам.

Теорема 2.( о выводимости).

Пусть А –некоторая формула исчисления высказываний; х₁,х₂,…,х_{n –} набор переменных, содержащих все переменные, входящие в формулу А; а₁, а₂,…,а_n – произвольный фиксированный набор значений этих переменных. Обозначим через Н конечную совокупность формул

, где 

 

Тогда:

1. Если R_a1,a2,..,an(A)=1, то H├A .
2. Если R_a1,a2,..,an(A)=0, то H├ , где R_a1,a2,..,an(A)–значение формулы А на наборе а₁, а₂,…,а_n.

 

Теорема 3.

  Каждая тождественно истинная формула алгебры высказываний доказуема в исчислении высказываний.

18. Разрешимость  и непротиворечивость исчисления высказываний.

1.Проблема разрешимости исчисления высказываний.

Проблема  разрешимости исчисления высказываний заключается в доказательстве существования  алгоритма, который позволил бы для  любой заданной формулы исчисления высказываний определить, является ли она доказуемой или не является.

Имеет место  теорема: проблема разрешимости для  исчисления высказываний разрешима.

Действительно, любая формула исчисления высказываний может рассматриваться как формула  алгебры высказываний, и, следовательно, можно рассматривать ее логические значения на различных наборах значений входящих в нее переменных.

Пусть А –  любая формула исчисления высказываний, а х₁,х₂,…,х_n – перечень входящих в нее переменных. Вычислим R_a1,a2,..,an(A) на всех наборах значений а₁, а₂,…,а_n входящих в нее переменных. Если при этом R_a1,a2,..,an(A)=1, на всех наборах а₁, а₂,…,а_n, то формула А – тождественно истинна, и, значит, по теореме о доказуемости тождественно истинной формулы она доказуема.

Если же существует набор значений переменных такой, что , то формула А – не тождественно истинная, и, значит, по теореме 1 §8 она не доказуема.

 

 

2. Проблема непротиворечивости  исчисления высказываний.

Логическое  исчисление называется непротиворечивым, если в нем не доказуемы никакие  две формулы, из которых одна является отрицанием другой.

Иначе говоря, аксиоматическое исчисление называется непротиворечивым, если в нем не существует такая формула А, что  доказуема как формула А, так  и формула  .

Проблема  непротиворечивости заключается в  выяснении вопроса: является данное исчисление непротиворечивым или нет?

Если в  исчислении обнаруживаются доказуемые формулы вида А и  , то такое исчисление называется противоречивым. В рассмотренном нами исчислении высказываний невозможно вывести одновременно формулы А и , т.е. это исчисление высказываний непротиворечиво.

19. Полнота исчисления высказываний. Независимость системы  аксиом исчисления высказываний.

3.Проблема полноты  исчисление высказываний.

Определение 1.

Аксиоматическое исчисление высказываний называется полным в узком  смысле, если добавление к списку его  аксиом любой недоказуемой в исчислении формулы в качестве новой аксиомы  приводит к противоречивому исчислению.

Определение 2.

Исчисление высказываний называется полным в широком смысле, если любая тождественно истинная формула  в нем доказуема.

Из этих определений следует, что проблема полноты исчисления высказываний содержит два вопроса:

1. Можно ли расширить систему аксиом аксиоматического исчисления путем добавления к ней в качестве новой аксиомы какой-нибудь недоказуемой в этом исчислении формулы?
2. Является ли всякая тождественно истинная формула алгебры высказываний доказуемой  в исчислении высказываний?

Рассмотренное нами исчисление высказываний полно как в узком  смысле, так и в широком.  

4.Проблема независимости  аксиом исчисления высказываний.

Для всякого аксиоматического исчисления возникает вопрос о независимости  его аксиом. Вопрос этот ставится так : можно ли какую-нибудь аксиому вывести  из остальных аксиом, применяя правила  вывода данной системы?

Если для некоторой  аксиомы системы это возможно, то эту аксиому можно исключить  из списка аксиом системы, и логическое исчисление при этом не изменится, т. е. класс доказуемых формул останется  без изменений.

Определение 3.

Аксиома А называется независимой от всех остальных аксиом исчисления, если она не может быть выведена из остальных аксиом. Система аксиом исчисления называется независимой, если каждая аксиома системы независима.

Рассмотренная нами система  аксиом исчисления высказываний независима.

20. Другие формализации исчисления высказываний.