Исследование свойств нелинейного разностного уравнения с квадратичной нелинейностью

МИНОБРНАУКИ РФ

ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ  УНИВЕРСИТЕТ

 

Кафедра ИТММБС

 

 

 

 

 

 

Курсовая  работа

по дисциплине «Моделирование биологических процессов  и систем»

по теме: «Исследование свойств нелинейного  разностного уравнения с квадратичной нелинейностью»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил: студент группы 10БМ

Колесов Н.Н.

 Приняла: к.т.н., доцент

 Сидорова  М.А.

 

 

 

 

 

 

Пенза, 2013

РЕФЕРАТ

Пояснительная записка к курсовой работе на тему: «Исследование свойств нелинейного разностного уравнения с квадратичной нелинейностью», объемом 22  стр. содержит  19 рисунков,  использованных источников 5.

 

Разбработка,БИФУРКАЦИЯ, данные.

Цель  работы – исследование свойств нелинейных разностных уравнений с квадратичной нелинейностью, описывающих процессы, происходящие в динамических системах.

Объект  разработки: бифуркационная диаграмма.

Назначение  и область применения разработки: повышение качества обработки данных; учебный процесс кафедры ИТММБС.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

                                                                                                                          с

ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………….......4

1 ОБЩИЕ  СВЕДЕНИЯ……………………………………………………5

    1.1.Особенности хаотической динамики……………………………5

    1.2 Бифуркационная диаграмма……………………………………..10

2 ПРАКТИЧЕСКАЯ  ЧАСТЬ……………………………………………...12

    2.1 Исследование свойств нелинейного разностного

      уравнения с квадратичной нелинейностью ……………………………12

    2.2 Нахождение погрешности………………………………………...18

ЗАКЛЮЧЕНИЕ……………………………………………………….......21

Список  использованных источников .............................................................22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

Моделирование является одним из универсальных  методов познания, применяемых во всех современных науках, как естественных, так и общественных, как теоретических, так и экспериментальных, технических. Можно привести большое количество примеров моделей, при помощи которых  описываются или изучаются те или иные явления. Так, например, разработаны  модели производства автомобилей, функционирования отдельных органов человека; на моделях изучают течение водяных потоков, различные гидродинамические явления, происходящие при мощных взрывах, землетрясениях.

В практической деятельности моделирование играет немаловажную роль. Особенно эффективно применение моделирования в проектировании автоматизированных систем, когда цена ошибочных решений наиболее значительна, а само моделирование является средством, позволяющим без капитальных  затрат решить проблемы построения больших  систем.

В настоящее время нельзя назвать область человеческой деятельности, в которой в той или иной степени не использовались бы методы моделирования. Особенно это относится к сфере управления различными системами, где основными являются процессы принятия решений на основе получаемой информации.

Кроме того рассматривается моделирование биологических процессов и систем на базе законов хаотической динамики, которые основываются на математической теории детерминированного хаоса.

 

 

 

 

 

 

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Физиологические ритмы составляют основу жизни. Одни ритмы поддерживаются в течении  всей жизни, другие появляются в определенный периоды жизни, часть из них находится  под контролем сознания , а часть  протекает независимо от него.

Особый  интерес представляют вопросы моделирования  динамических болезней, т.е. болезней, которые вызываются не инфекцией, а  нарушением временной организации  биологических подсистем. Особенностью таких болезней является то, что  для их эффективного лечения необходимо иметь математические модели и знать  их качественные свойства.

 

1.1.Особенности хаотической динамики.

 

Исследование  хаотической динамики должно основываться на математической теории детерминированного хаоса, основные понятия и определения  которой необходимо рассмотреть  для пояснения теоретических  положений и практических результатов.

Обычно  принято измерять физиологические  величины как функции времени. Для  характеристики таких временных  последовательностей разработаны  четыре основные математические понятия: стационарные состояния, колебания, хаос и шум.

Под хаосом (с математической точки зрения) подразумевается случайность или нерегулярность, возникающая в детерминированной системе. Другими словами, хаос наблюдается даже при полном отсутствии шума в окружающей среде. Важным аспектом хаоса является существование заметной зависимости динамики от начальных условий. Это означает, что хотя в принципе возможно предсказать развитие процесса во времени, в действительности это оказывается невозможным, поскольку любая погрешность в определении начальных условий, какой бы малой она ни была, приводит к ошибочному предсказанию некоторого достаточно отдаленного будущего. Дословно термин «хаос» означает состояние беспорядка и нерегулярности

Под детерминированным  хаосом подразумевается нерегулярное, или хаотическое, движение, порожденное  нелинейными системами, для которых  динамические законы однозначно определяют эволюцию во времени состояния системы.

Стационарное  состояние (называемое также точкой равновесия или 'неподвижной точкой) характеризуется множеством значений переменных, при которых состояние, системы не изменяется с течением времени. С понятием устойчивых стационарных состояний тесно связано понятие гомеостаза.

Гомеостаз — свойство системы поддерживать оросительное постоянство внутренней среды при изменяющихся внешних  условиях. Физиологическое понятие  гомеостаза может быть связано с  понятием стационарных состояний в  математике.

Стационарное  состояние устойчиво, если после  небольшого возмущения, выводящего систему  из стационарного состояния, решение  возвращается к этому состоянию при t  стремящемуся к бесконечности.

Биологические системы не всегда стремятся приблизиться к стационарным состояниям — иногда они могут находиться в колебательном  состоянии. Однако колебания в биологических  системах существенно отличаются от колебаний в физических системах. Так, колебания маятника зависят  от первоначального возмущения, тогда  как под действием внешнего стимула  в биологической системе происходит лишь кратковременное изменение  колебательных процессов с постепенным  возвращением к исходному состоянию. Для описания такого рода "стационарности" Пуанкаре ввел понятие устойчивых предельных циклов. Системы с устойчивыми предельными циклами характеризуются наличием колебаний, восстанавливающийся после малого возмущения, приложенного в любой фазе колебаний.

График, построенный для некоторых начальных  условий, называется траекторией. Для  отображения динамики подобных систем строится график в системе координат x(t), (t). Такая зависимость представляет собой фазовый портрет. Если предельный цикл способен к восстановлению, то Он устойчив, если Малое возмущение вызывает такое изменение динамики, что исходное состояние не восстанавливается, то предельный цикл неустойчив.

Уравнения, моделирующие биологическую систему, обычно содержат один или более параметров для описания системы, окружающей среды  и взаимодействия между ними. При  изменении параметров предельные циклы  могут изменяться. Любое значение параметра, при котором изменяется число устойчивых состояний или  предельных циклов, называется бифуркационной точкой, а о системе говорят, что  она претерпевает бифуркацию.

Для дальнейшего  изложения необходимо ввести понятие  разностного уравнения, связывающего текущее значение переменной x(t) с ее предыдущим, задержанным на время т, значением x(t - τ), и имеет следующий вид:

x(t) = F(x(t- τ))

Задав начальные  условия t = 0, х(0) = 0, можно определить значение х₁. Затем получим последовательность х(τ), х(2 τ), ..., х(i τ), или х₁, х₂ .... x_i. Вычислительный процесс нахождения величины х(i +1) по величине х _i , называется итерацией. Разностное уравнение для дискретных моментов времени t = 0, t = τ, ... , t = I ... τ запишется в виде:

х_i+1 = F(х_i)

Допустим, что  функция  F является квадратичной, например:

х_i+1 = а х_i (1 - х_i),   0 ≤ а ≤ 4.

Стационарное  состояние  определяется как величина

_i = х_i+1  =      или       = F( ).

У квадратичного  отображения  два стационарных состояния

_i  = 0    и   _i = (а - 1 )/а.

На рисунке 1 значения х приближаются к стационарному  значению

_i  = ½ для а = 2.

Цикл периода  п определяется соотношениями 

х_i+n = х_i   и   x_i+j ≠ х_i   где j = 1, ..., n - 1.

 

На рисунке 2 и 3 показаны циклы периодов 2 и 4. Устойчивость стационарных состояний и циклов означает их восстановление после малого возмущения.

Рисунок 1 – Временная последовательность(стационарное состояние)

 

 

Рисунок 2 – Временная последовательность (цикл периода 2)

 

Рисунок 3 – Временная последовательность (цикл периода 4)

 

 

Рисунок 4 – Временная последовательность (хаос)

 

При изменении  параметров разностных уравнений возникают  бифуркации (т. е. изменения качественного  поведения). Один из типов бифуркации — это бифуркационная вилка, или  бифуркация удвоения и преобразование удвоения периода, при которой с  изменением параметра устойчивый цикл периода п становится неустойчивым и рождается новый устойчивый цикл периода 2n.

При увеличении а в разностном уравнении (3) происходит последовательное удвоение периода. В  интервале 3 ≤ а ≤ 3,57 ... генерируются устойчивые циклы периода 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 ... (рисунок 4). 

Пример  фазового портрета, построенный в  координатах х_{i ,} х_i+1 представлен на рисунке 5.

 

 

Рисунок 5 - Пример фазового портрета

 

Широко  используемым способом исследования предхаотических или постхаотических изменений динамической системы при вариации ее параметров является построение бифуркационных диаграмм. На рисунке 6 приведен пример бифуркационной диаграммы (где x — задаваемый параметр, а  r - установившееся значение), которая получена с помощью численного решения уравнения (3). Бифуркационная диаграмма содержит несколько сотен последовательных установившихся значений х_i. Диапазон значений а, при котором для каждого из этих значений находится последовательная орбита удвоенного периода, уменьшается по мере увеличения периода. По мере дальнейшего увеличения обнаруживаются устойчивые периодические орбиты с другими периодами. Эти периоды возникают в строго определенной последовательности. Помимо устойчивых периодических орбит, наблюдается также «хаотическая динамика». Диаграмма содержит по оси ординат значения параметра с некоторым шагом, а по оси абсцисс — установившиеся значения х_i.

 

Рисунок 6 - Пример бифуркационной диаграммы

 

Бифуркационная  диаграмма позволяет исследовать  динамические свойства динамической системы, наблюдать каскады удвоения периода, а также области хаоса. Помимо устойчивых периодических орбит имеют место хаотические, т. е. неповторяющиеся, последовательности состояний. Хаос характеризуется тем, что для некоторых значений параметров почти все начальные условия приводят к апериодической динамике: при сколь угодно близких начальных условиях движение системы будет различно. Это означает, что существует сильная зависимость протекания динамических процессов от начальных условий. Поскольку начальные условия известны с некоторой погрешностью и не могут быть заданы абсолютно точно, то по прошествии конечного числа шагов итераций или интервала времени поведение системы становится непредсказуемым.

ПРАКТИЧЕСКАЯ  ЧАСТЬ

Вариант 7

Дано  разностное уравнение вида:

,

      где y-параметр определяющий динамику в пределах (от 0 до 8);

      X0-начальные условия;

      N- номер итерации.