Применение классической модели Вольтерра «хищник-жертва»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО  ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное  учреждение высшего профессионального  образования

«Санкт-Петербургский  государственный электротехнический

университет “ЛЭТИ” имени В.И. Ульянова (Ленина)»

(СПбГЭТУ)

 

 

 

 

Курсовой проект по дисциплине

МОДЕЛИРОВАНИЕ БИОЛОГИЧЕСКИХ  ПРОЦЕССОВ И СИСТЕМ

тема: Применение классической модели Вольтерра «хищник-жертва»

 

Выполнила студентка

группы 8503 ………….

 

 

 

Руководитель:

д.т.н.  Сенкевич Ю.И.

 

 

 

Санкт-Петербург

2011

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………………..3

1.АНАЛИЗ И ОБЗОР ТЕОРИТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА ОБЪЕКТА ИССЛЕДОВАНИЯ………………………..……………………………………...5

1.1 Общие сведения о  «хищнике» (ягуар)…………………………………….5

1.2 Общие сведения о  «жертве» ( капибара)………………….…..…………..7

2. РАЗРАБОТКА МОДЕЛИ «ХИЩНИК-ЖЕРТВА»………………..………..10

2.1 Теоретическое обоснование  выбора модели……………………………10

2.2 Структурная схема,  отражающая взаимодействие популяций…………………………………………………………………….….11

2.3 Создание собственной математической модели…………………………………………………………………………….12

3. ЭКСПЕРИМЕНТ НА БАЗЕ  РАЗРАБОТАННОЙ МОДЕЛИ………………15

ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………………….17

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ……………………………..18

ПРИЛОЖЕНИЕ А

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Актуальность  проблемы: ягуары- крупнейшие хищники Южной Америки. В ряде стран они занесены в Красную книгу из-за  массового отстрела ( мех ягуара дорогой и пользуется большим спросом несмотря на то, что торговля их мехом запрещена во многих странах). Численность ягуаров также заметно снижается из-за сокращения их привычной среды обитания (крупномасштабная вырубка лесов).

Целью работы: поиск факторов, влияющих на численность популяций в определенный промежуток времени ( 10 лет с периодом в 1 год)

Задачи:

• Обзор общих сведений об объекте исследования( ягуар)
• Разработка модели «хищник-жертва»
• Вычислительный эксперимент на базе разработанной модели
• обработка данных на основании представлений о  выбранной модели
• оценка результатов эксперимента

Объект исследования: популяция ягуаров

Предмет: влияние факторов окружающей среды на численность популяций

Проблема: отсутствие структурированного знания о факторах, влияющих на изменение численности популяций ягуаров

Структура работы:

• определение области моделирования
• изучение уже разработанных моделей
• создание и математическое описание собственной модели
• вычислительный эксперимент
• оценка результатов эксперимента

 

Гипотеза:

основной идеей данной работы является выявление и использование факторов(методами структурной и функциональной модели, а также математической модели), влияющих на изменение численности  популяций ягуаров (а именно, уменьшение численности популяций),  а также  разработка модели, отражающей  данную динамику.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.АНАЛИЗ И ОБЗОР ТЕОРЕТИЧЕСКОГО  МАТЕРИАЛА  ОБЪЕКТА ИССЛЕДОВАНИЯ

 

Популяция - совокупность особей одного вида, более или менее длительно занимающая определённое пространство и воспроизводящая себя в течение большого числа поколений

Хищник- собирательное название плотоядных животных или растений, основной частью рациона представителей которого являются животные.

Численность популяции - это общее количество особей энного вида, присутствующее на той или иной территории.

 

1. Общие сведения  о «хищнике» (ягуар)

 

Ягуар(Pantheraonca) — вид хищных млекопитающих семейства кошачьих, один из четырёх представителей рода пантера(лат. Panthera), который относится к подсемейству больших кошек. Единственный представитель рода на территории Северной и Южной Америки. Третий по размеру в мире, и самый крупный в Новом свете представитель семейства кошачьих. Ареал вида простирается от Мексики на юг до Парагвая и севера Аргентины.

 

 Таблица 1-Научная  классификация 

 

Домен	Эукариоты
Царство	Животные
Тип	Хордовые
Класс	Млекопитающие
Отряд	Хищные
Семейство	Кошачьи
Род	Пантеры
Вид	Ягуар

 

Ареал ягуара простирается от Центральной Америки до болот и сельвы Мату Гросу, а также севера Аргентины. Самые крупные ягуары обитают в бразильском штате Мату-Гросу. Ягуары полностью истреблены в Сальвадоре и Уругвае.

Основные местообитания ягуара — тропические дождевые леса и злаковники, но зверь встречается и в семиаридных районах, заросших ксерофитными кустарниками. Его встречали в горных лесах, на высоте до 2,000 м, и на океанском побережье, где хищник отыскивает и выкапывает черепашьи яйца.

Древнейшие останки ягуара датируются поздним плиоценом (примерно 2 млн лет). В те времена ягуар населял весь юг нынешних США (последние ягуары были здесь убиты около 1900 года). Сейчас ареал ягуара сократился до трети от первоначального.

Образ жизни ягуаров одиночный. Как и все хищные кошки, ягуары — территориальные звери; площадь территории одного ягуара занимает от 25 (у самок) до 100 квадратных километров, в зависимости от ландшафта и количества дичи, а также половой принадлежности зверя. Как правило, охотничий участок самца по форме представляет собой треугольник. На своей территории самец охотится 3-4 дня в определенном районе, а затем переходит на другой участок. Кроме того, зверь наведывается к определенным «пограничным точкам» через каждые пять или пятнадцать дней. По этой причине ягуар является настоящим бродягой, постоянно «шатающимся» по сельве.

Определённого сезона размножения у ягуара нет. Самка готова к спариванию на третий год жизни. Хотя ягуар — одиночное животное, в период свадеб они могут собираться небольшими группами. Характерно, что поединков между самцами почти не бывает, а выбор партнёра полностью зависит от самки. После такого выбора невеста переходит на территорию избранника. Самец остаётся с самкой только на период спаривания.

 

1.2 Общие сведения о  «жертве» ( капибара)

 

Капибара, водосвинка(лат. Hydrochoerushydrochaeris) полуводное травоядное млекопитающее из семейства водосвинковых (Hydrochoeridae),единственный представитель в семействе. Капибара — самый крупный среди современныхгрызунов.

 

Таблица 2- Научная классификация

 

Царство	Животные
Тип	Хордовые
Подтип	Позвоночные
Класс	Млекопитающие
Инфракласс	Плацентарные
Отряд	Грызуны
Подотряд	Дикобразообразные
Семейство	Водосвинковые
Род	Водосвинки
Вид	Капибара

 

Капибара встречается по берегам разнообразных водоёмов в тропических и умеренных частях Центральной и Южной Америки, восточнее Анд — от Панамы до Уругвая и северо-востока Аргентины.

Область распространения включает бассейны рек Ориноко, Амазонки и Ла-Платы. Основными факторами, ограничивающими распространение, являются температура воздуха и воды. В горах капибары встречаются до высоты 1300 м над уровнем моря.

Ведёт полуводный образ жизни; от воды редко удаляется более чем на 500—1000 м. Её распространение связано с сезонными колебаниями уровня воды — во время сезона дождей капибары рассеиваются по территории, в сухой сезон скапливаются по берегам крупных рек и других постоянных водоёмов и зачастую проходят в поисках воды и пищи значительные расстояния.

Капибара прекрасно плавает  и ныряет; высокое расположение на голове глаз, ушей и ноздрей позволяет  ей при плавании держать их над  водой.

Естественные враги животного  это дикие собаки, крокодиловые кайманы  и аллигаторы, ягуары, оцелоты, анаконды. От наземных хищников они скрываются под водой, дыша через ноздри, которые  остаются на поверхности.

Питание у капибары на воле включает в себя плоды и клубни, сено и траву, водные растения. В неволе питаются кормами в гранулах и рыбой.

Капибары могут размножаться круглый  год, хотя спаривание обычно происходит в начале дождливого сезона (апрель-май  в Венесуэле; октябрь-ноябрь в Мату-Гросу,Бразилия). Спаривание происходит в воде. Беременность длится около 150 дней, большинство родов приходится на сентябрь-ноябрь (Венесуэла).

Концепция:

Для достижения целей, поставленных  в данном курсовом проекте, будем  использовать  в первую очередь  математический аппарат, а также  структурное представление модели, а также функциональное представление  модели ( методом построения схем формата  IDEF0)

 

Выводы:

1. Выявили задачи исследования, а также объект и предмет исследования
2. Сделали краткий обзор основополагающих терминов, относящихся к данному курсовому проекту
3. Вкратце  изучили общие сведения о  «жертве» и «хищнике»

 

 

2. РАЗАБОТКА МОДЕЛИ  «ХИЩНИК-ЖЕРТВА»

 

2.1 Теоретическое  обоснование выбора модели

Уравнение Вольтерра описывает  динамику средних величин - численности  популяции. В настоящее время  на их основе построены более общие  модели взаимодействия популяций, описываемые  интегро-дифференциальными уравнениями, исследуются управляемые модели «хищник – жертва». Далее представлены гипотезы, которые Вольтерр выдвинул в качестве  общего обоснования своей модели:

• есть закрытый ареал, существа которого не иммигрируют, и не эмигрируют;
• жертвы - травоядные, причём пища для травоядных животных имеется в неограниченном количестве, либо ее поступление с течением времени жестко регламентировано;
• хищные виды поедают жертв, причем в единицу времени количество съеденных жертв всегда пропорционально вероятности встречи особей этих двух видов, т.е. произведению количества хищников на количество жертв;
• особи каждого вида отмирают так, что в единицу времени погибает постоянная доля существующих особей;
• если вид питается пищей, имеющейся в неограниченном количестве, прирост численности вида в единицу времени пропорционален численности вида;
• если вид питается пищей, имеющейся в ограниченном количестве, то его размножение регулируется скоростью потребления пищи, т.е. за единицу времени прирост пропорционален количеству съеденной пищи;

Таким образом, хищник при  отсутствии жертв вымирает по закону:

 

 

где а - коэффициент рождаемости  жертв (a>0)

 x - величина популяции жертв

- скорость прироста популяции жертв.

 

Так как хищники стабильным питанием не обеспечены, то они вымирают. Следовательно, уравнение для хищников примет вид:

 

где b -  коэффициент убыли хищников (b>0)

 y -  величина популяции хищников

- скорость прироста  популяции хищников.

Встречи хищников и жертв (которые пропорциональны численности  жертв и хищников, т.е произведению xy), убивают жертв с коэффициентом c (с>0) и рождают новых хищников с коэффициентом d (d>0). С учётом этого, получаем систему уравнений:

 

 

 

 

 

2.2 Структурная  схема, отражающая  взаимодействие  популяций

 

 

 

-----------------------------------------------------------------------------------------------

 Ареал обитания( общий)

 растительность(∞) растительность( ∞) 

(питание lim)

 

(питание)

                          растительность(∞)

 

--------------------------------------------------------------------------------------------------

 

Рисунок 1- структурная  схема

 

 

 

 

 

 

 

 

2.3 Создание собственной  математической модели

Пусть два биологических  вида совместно обитают в изолированной  среде. Среда стационарна и обеспечивает в неограниченном количестве всем необходимым  для жизни один из видов, который  будем называть жертвой. Другой вид - хищник также находится в стационарных условиях, но питается лишь особями  первого вида. В нашем случае это  капибары и ягуары.