Численное исследование движения системы "Газовая струя - жидкость"

ДИПЛОМНАЯ РАБОТА

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ

"ГАЗОВАЯ СТРУЯ - ЖИДКОСТЬ"

Содержание

Введение

1. Общая постановка  задачи и ее математические  модели

1.1 Обзор экспериментальных  и теоретических работ по физико-математическому  моделированию взаимодействия газовых струй с жидкостями

1.2 Общая постановка  задачи и схема взаимодействия  газовой струи с жидкостью

1.3 Модели турбулентных  струйных течений газа

1.4 Уравнения Навье  - Стокса установившегося изотермического  осесимметричного движения вязкой  несжимаемой жидкости

2. Газовая струя и  межфазная поверхность

2.1 Течения газа в  сопле Лаваля

2.2 Параметры струи  на уровне свободной поверхности  жидкости

2.3 Геометрические характеристики  межфазной поверхности

2.4 2Оптимальная высота  поднятия фурмы

2.5 Аппроксимация зависимости оптимальной высоты поднятия фурмы от давления

3. Численное исследование  движения жидкости

3.1 Некоторые особенности  уравнений Навье - Стокса и  их решений

3.2 Уравнения Навье  - Стокса в переменных функция  тока, вихрь скорости

3.3 Приближенное решение уравнений Навье – Стокса

3.4 Анализ результатов  исследования

Заключение

Литература

 
Введение

Необходимость решения  задачи о взаимодействии газовых  струй с жидкими преградами возникла в конце 50-х годов прошлого столетия, в связи с интенсивным внедрением в металлургическую практику кислородно-конвертерного способа производства стали.

Технологически кислородно-конвертерный процесс представляет собой продувку железоуглеродистого расплава (чугуна) технически чистым кислородом, в результате которой происходит выгорание углевода и других примесей (сера, марганец, кремний, фосфор). В настоящее время отсутствуют фундаментальные работы по физико-математическому моделированию кислородно-конвертерного процесса в целом, что объясняется чрезвычайной сложностью гидродинамических и тепломассообменных процессов, протекающих в конвертерах. Очевидно, что создание физико-математических моделей кислородно-конвертерного процесса является очень трудной, хотя и важной задачей. Это обусловлено тем, что модель должна включать в себя три фундаментальные проблемы физической термодинамики - турбулентность, многофазность и воздействие физико-химических переходов.

В этой связи возникла проблема создания упрощенных физико-математических моделей  кислородно-конвертерного процесса, и в первую очередь его гидродинамики, как основной части управляющего звена.

Настоящая дипломная работа посвящена  численному исследованию силового взаимодействия газовой струи и несжимаемой  жидкости через контактную поверхность, образующуюся при проникании струи в жидкость. Целью исследования является изучение влияния управляющих параметров процесса, а именно давления и температуры в газопроводе, а также высоты поднятия фурмы над уровнем невозмущенной жидкости на движение газа и жидкости как составляющих частей системы. Кроме того, исследовалось влияние управляющих параметров на величину площади межфазной поверхности.

В представленной математической модели отсутствуют эмпирические постоянные, а лишь используются известные закономерности механики жидкостей и газа. Расчет течения газа в фурме проведен по известным газодинамическим формулам для трубы переменного сечения (сопло Лаваля) [1, 2], параметры газовой струи рассчитывались с использованием [3], межфазная поверхность определялась на основании модифицированной теории проникания М.А. Лаврентьева [4, 5], а циркуляция жидкости исследовалась с помощью уравнений Навье - Стокса [6].

 
1. Общая постановка задачи и  ее математические модели

Дается аналитический  обзор основных работ по моделированию  процессов, протекающих при взаимодействии газовых струй с жидкими преградами, показана общая схема силового взаимодействия и математические модели, описывающие его гидродинамику.

1.1 Обзор экспериментальных  и теоретических работ по физико-математическому  моделированию взаимодействия газовых струй с жидкостями

Основными работами, в  которых обобщены и систематизированы  экспериментальные данные по гидродинамическим  и тепломассообменным процессам, протекающим  при взаимодействии газовых струй  с жидкими преградами, являются монографии В.И. Явойского [7] и В.И. Баптизманского [8].

Среди работ по исследованию гидродинамического взаимодействия газовых струй с  жидкостями, обращает на себя внимание работа [9], в которой предложена модель взаимодействия струи с жидкостью, описываемая довольно простыми дифференциальными уравнениями. Однако эта модель требует знания большого количества экспериментальных данных, а замыкается основная система уравнений экспериментальной функцией уноса вещества, что затрудняет ее практическую реализацию. Кроме того, авторы не привели результаты, подтверждающие адекватность модели исследуемому процессу.

Определенный интерес представляет работа [10], в которой в рамках модели Рейнольдса для турбулентных течений жидкости получено поле скоростей  в ванне конвертера. Оказалось, что при внедрении газовой струи в ограниченный объем жидкости в нем образуется тороидальный вихрь, причем вектор скорости на оси симметрии направлен вверх к свободной поверхности. К недостаткам модели следует отнести искусственность граничных условий и линейную зависимость скорости газовой фазы от координаты.

В работе [11] численно решена задача о  движении жидкой стали в сталеразливочном ковше при ее продувке инертным газом. Слабым местом рассмотренной модели является отсутствие межфазной поверхности и пренебрежение влиянием сил тяжести.

Аналитически решена задача о силовом  взаимодействии дозвуковой газовой  струи с жидкостью в работе [12], в результате чего получена формула  для площади контактной поверхности, расчеты по которой удовлетворительно совпадают с экспериментальными данными из [13]. Кроме того в работе получена формула, позволяющая находить предельно низкую высоту поднятия фурмы для достижения дозвуковой скорости струи на уровне поверхности спокойной жидкости.  

1.2 Общая постановка задачи и схема взаимодействия газовой струи с жидкостью

Из резервуара, содержащего  газ при давлении p_н и температуре T_н, через фурму, снабженную соплом Лаваля, истекает в расчетном режиме вертикально вниз сверхзвуковая газовая струя, взаимодействуя с неподвижной жидкостью, заполняющей некоторый объем. Срез сопла фурмы отстоит от поверхности жидкости на расстоянии H таком, что скорость газа у поверхности становится дозвуковой.

В монографиях [7, 8] рассмотрены различные  схемы взаимодействия газовых струй с жидкими средами. Отдадим предпочтение следующей комбинированной схеме. Струя газа, внедрившись в жидкость и достигнув максимальной глубины проникания, отражается и, изменяя направление движения на противоположное, увлекает за собой жидкость в пределах пограничного слоя, образующегося у поверхности раздела сред. На периферии наблюдаются нисходящие потоки жидкости, как показано на рисунке 1.1 В расплав 1 через фурму 2 вдувается струя кислорода 3, под действием которой образуется лунка 4. Распространяясь вдоль поверхности лунки, струя взаимодействует с расплавом, создавая его движение в ванне.

При таких условиях тепломассообмен  струи с жидкостью происходит на межфазной поверхности. В этой связи возникает проблема нахождения при заданных давлении p_н и температуре T_н газа оптимальной высоты поднятия фурмы H^*, которая обеспечила бы максимальную площадь контактной поверхности.

Практический интерес представляет также расчет поля скоростей основного  объема жидкости.

Рисунок 1.1 - Схема взаимодействия газовой струи с жидкостью  

1.3 Модели турбулентных  струйных течений газа

Основной вклад в  развитие теории турбулентных струйных течений принадлежит Г.Н. Абрамовичу [14] и Л.А. Вулису [3, 15, 16] и их сотрудникам. Ими поставлено и решено большое количество задач, а также приведены принципиально важные экспериментальные исследования. Определенный интерес представляют работы и других авторов (А.С. Гиневский [17], Горбунов К.С. [18]).

Схематизация струйных течений по Г.Н. Абрамовичу заключается  в том, что вместо рассмотрения непрерывных  деформаций профилей скорости и температуры  вдоль по течению, струя условно  разбивается на три участка (начальный, переходный и основной), для каждого из которых приведены полуэмпирические формулы для расчета скорости и температуры, как вдоль оси симметрии, так и в поперечных сечениях струи. Схема показана на рис.1.2 Слабым местом предложенной модели является определение точных размеров начального и переходного участков.

Рисунок 1.2 - Схема затопленной  газовой струи

Предпочтительной схемой для решения задач, поставленных в настоящей дипломной работе, является модель, представленная Л.А. Вулисом. В этой модели струйные течения газа описываются следующими уравнениями:

, i=1,2. (1.1)

Здесь x, y - продольная и поперечная координаты; 

F₁ = u²; F₂ = u (H ^- H_e); 

 - плотность;

u - продольная скорость; 

H = c_pT + u² /2 - полное теплосодержание; 

с_p - удельная теплоемкость;

T - температура;

a_{i (}x) - некоторые функции зависящие от турбулентных свойств потока и определяемые экспериментально;

индекс “e” относится к внешней среде.

В работе [3] уравнения (1.1), содержащие линейные функции a_{i (}x), решены аналитически и при y = 0 получены следующие формулы, которые используются в дипломной работе:

 (1.2)

 (1.3)

Здесь безразмерная физическая координата; d_{0 -} диаметр среза сопла; ; с = 0,04; H расстояние от среза сопла до данного сечения струи;  - плотность, скорость и температура газа на срезе сопла;  - то же на оси струи; T_{e -} температура внешней среды.

газовая струя жидкость газопровод

 
1.4 Уравнения Навье - Стокса установившегося  изотермического осесимметричного  движения вязкой несжимаемой  жидкости

Решение задачи о движении жидкости при воздействии на нее струи газа целесообразно проводить в цилиндрической системе координат. Уравнения, описывающие установившееся изотермическое осесимметричное движение вязкой несжимаемой жидкости в этой системе, имеют следующий вид [5]:

 (1.4)

 (1.5)

 (1.6)

Здесь r, z - радиальная и вертикальная координаты;  - плотность жидкости;  - коэффициент кинематической вязкости; p - давление; u, v - радиальная и вертикальная составляющие скорости; Fr, F_{z -} проекции вектора плотности распределения объемных сил F.

Совокупность уравнений (1.4) - (1.6) представляет замкнутую нелинейную систему трех уравнений в частных  производных второго порядка  с тремя неизвестными функциями u, v, p. Величины и являются заданными постоянными. Для получения конкретных решений при интегрировании приведенной системы уравнений должны быть использованы соответствующие граничные условия.

 
2. Газовая струя и межфазная  поверхность

Определяются скорость и плотность газа на срезе сопла  в зависимости от давления и температуры  газа в газопроводе, также параметры  струи на уровне свободной поверхности неподвижной жидкости. Исследуются геометрические характеристики межфазной поверхности. 

2.1 Течения газа в  сопле Лаваля

Для расчета параметров газовой струи в любом поперечном сечении необходимо знать скорость u₀, плотность  и температуру T₀ газа на срезе сопла. В данной работе расчет указанных величин произведен на основании известных газодинамических формул [1]:

, (2.1)

. (2.2)

Здесь P - давление газа;

 - плотность газа;

Rg - универсальная газовая постоянная;

T - температура газа;

u - скорость потока газа;

S - площадь сечения трубы.

На рисунках 2.1 - 2.4 показаны зависимости  числа Маха М₀ и плотности  кислорода от от давления p_н и температуры Т_н на срезе сопла, при критическом диаметре сопла d_кр=0,054 м, которому соответствует диаметр среза сопла d₀=0,1 м.

Рисунок 2.1 - Зависимость числа Маха кислорода на срезе сопла от давления рн

Рисунок 2.2 - Зависимость числа Маха кислорода на срезе сопла от температуры Тн

Рисунок 2.3 - Зависимость плотности  кислорода на срезе сопла от давления рн

Рисунок 2.4 - Зависимость плотности  кислорода на срезе сопла от температуры Тн

2.2 Параметры струи  на уровне свободной поверхности  жидкости

Обозначая , и , из выражений (1.2) и (1.3) находим:

, (2.1)

, (2.2)

где

Осреднение параметров по сечению струи удобно проводить, используя следующие формулы [19]:

, ,

, (2.3)

где _- средние по сечению струи скорость, плотность и температура газа соответственно.

На рис.2.5 - 2.8 показано изменение  осевой скорости газа, плотности на оcи, а также средней по сечению  струи скорости газа и его плотности.

Рисунок 2.5 - Изменение скорости кислорода  вдоль оси струи при рн = 10ат

Рисунок 2.6 - Изменение плотности  кислорода вдоль оси струи  при рн = 10 ат

Рисунок 2.7 - Изменение средней скорости кислорода при рн = 10 ат

Рисунок 2.8 - Изменение средней плотности  кислорода при рн = 10 ат

2.3 Геометрические характеристики  межфазной поверхности

Следуя [12], скорость проникания газовой струи в жидкость определяем по формуле:

, (2.4)

где k - показатель адиабаты;

 - плотность жидкости.

Глубина проникания струи в жидкость h определяется из выражения:

. (2.5)

В этой формуле n - коэффициент проникания, определяемый следующим образом [7]:

, если  ; (2.6)

, если   (2.7)

, (2.8)

где Ar - критерий Архимеда, а d_{1 -} диаметр струи на уровне поверхности жидкости, определяемый по формуле

. (2.9)

На рисунках 2.9 - 2.12 представлены графики изменения скорости проникания и глубины проникания струи в  жидкость в зависимости от давления и температуры в газопроводе.

Рисунок 2.9 - Зависимость  скорости проникания от давления в  газопроводе

Рисунок 2.10 - Зависимость скорости проникания от температуры в газопроводе

Рисунок 2.11 - Зависимость глубины  проникания от давления в газопроводе

Рисунок 2.12 - Зависимость глубины  проникания от температуры в газопроводе

Для приближенного определения  размеров контактной поверхности ее аппроксимируют однопараметрической поверхностью тела вращения (рисунок 2.13), уравнение которой имеет следующий вид [20]: 

R = a cosec  (2.10)

где a = const, определяется по формуле [12]:

. (2.11)

Уравнение контактной поверхности  можно представить в следующем  виде:

. (2.12)

Рисунок 2.13 - Схема контактной поверхности

Важными характеристиками являются диаметр D впадины, внутренняя поверхность которой является контактной поверхностью, и площадь S межфазной поверхности, величина которой играет существенную роль при тепломассообмене газа с жидкостью.

Указанные характеристики определяются по следующим формулам [13]:

, (2.13)

, (2.14)

где . (2.15)

На рисунках 2.14 - 2.17редставлены  зависимости D и S от p_н и Т_н при высоте поднятия фурмы H/d₀ = 20.

Рисунок 2.14 - Зависимость диаметра впадины от давления в газопроводе

Рисунок 2.15 - Зависимость диаметра впадины от температуры в газопроводе

Рисунок 2.16 - Зависимость  площади контактной поверхности  от давления в газопроводе

Рисунок 2.17 - Зависимость площади  контактной поверхности от температуры  в газопроводе

2.4 2Оптимальная высота  поднятия фурмы

При исследовании теплообменных  процессов в кислородных конвертерах  особое значение имеет площадь межфазной  поверхности, где протекают первичные химические реакции [13]. В этой связи возникает проблема определения оптимальной высоты поднятия фурмы над уровнем жидкости H^*, которая обеспечивает наибольшую площадь контактной поверхности газа с жидкостью. Ограничительным условием при этом является то, что высота поднятия фурмы не должна быть не ниже значения H_*, при которой скорость газа равна местной скорости звука.

Величина Н_* определяется по следующей формуле [11]:

 (2.16)

На рисунках 2.18 - 2.23представлены зависимости H_* и H^* от давления и температуры в газопроводе.

Рисунок 2.18 - Зависимость H_* от давления рн

Рисунок 2.19 - Зависимость H_* кислорода от температуры Тн

Рисунок 2.20 - Зависимость оптимальной  высоты поднятия фурмы для системы  “конвертерный факел - чугун" от давления в газопроводе

Рисунок 2.21 - Зависимость оптимальной  высоты поднятия фурмы для системы  “конвертерный факел - чугун" от температуры в газопроводе

Рисунок 2.22 - Зависимость отношения H^* /H_* для системы “конвертерный факел - чугун" от давления в газопроводе

Рисунок 2.23 - Зависимость отношения H^* /H_* для системы “конветный факел - чугун" от температуры в газопроводе  

2.5 Аппроксимация зависимости  оптимальной высоты поднятия  фурмы от давления

Для получения функций  аппроксимирующих оптимальную высоты поднятия фурмы от давления при различных  критических диаметрах был использован метод наименьших квадратов, суть которого заключается в минимизации отклонения эмпирического значения от теоретического. Функция аппроксимирующая зависимость оптимальной высоты поднятия фурмы от давления искалась в следующем виде:

, (2.17)

где H= , Р= .

В таблицах 2.1-2.3 представлены результаты нахождения коэффициентов  для уравнения (2.16).

Таблица 2.1 - Нахождение коэффициентов  для Dкр=0,044м

Здесь Р - начальное давление,

НТ - теоретическое значение ,

НЕ - эмпирическое значение ,

Е - погрешность.

Таблица 3.2 - Нахождение коэффициентов  для Dкр=0,054м

Здесь Р - начальное давление,

НТ - теоретическое значение ,

НЕ - эмпирическое значение ,

Е - погрешность.

Таблица 3.3 - Нахождение коэффициентов  для Dкр=0,064м

Здесь Р - начальное давление,

НТ - теоретическое значение ,

НЕ - эмпирическое значение , Е - погрешность.

Полученные зависимости оптимальной высоты поднятия фурмы от давления при разных диаметрах критического сечения представлены на рисунке 2.24

Рисунок 2.24 - Зависимость  оптимальной высоты поднятия фурмы от давления при различных диаметрах критического сечения сопла Лаваля

 
3. Численное исследование движения  жидкости

Приведены уравнения  Навье - Стокса установившегося осесимметричного движения несжимаемой вязкой жидкости в переменных функция тока - вихрь. Проведено исследование решений уравнения Пуассона применительно к описанию течения жидкости. 

3.1 Некоторые особенности  уравнений Навье - Стокса и  их решений

Уравнения Навье - Стокса обладают целым рядом специфических  особенностей, которые проявляются в численной реализации независимо от формы их записи. Одной из существенных особенностей является пространно-эллиптический характер уравнений, обусловленный влиянием вязкости во всем поле течения. В связи с этим для решения уравнений Навье - Стокса необходимо использовать типичные для эллиптических уравнений методы решения. В отличии от уравнений пограничного слоя, при этом требуется постановка граничных условий на всех границах рассматриваемой области, которая в реальных условиях часто бывает бесконечна, но при численной реализации должна быть конечной. Это приводит в ряде задач внешнего обтекания к так называемой "проблеме замыкания", что требует разработки приближенных асимптотических решений.

В системе уравнений  Навье - Стокса имеется малый параметр при старшей производной Е=1/Re, изменению которого соответствует существенное изменение гладкости решения. Это связано с появлением у стенок при росте числа Re пограничного слоя, толщина которого обычно пропорциональна величине (Re) ^-0,5. Хорошую иллюстрацию этих эффектов (и соответственно вычислительных трудностей) дает линейное одномерное модельное уравнение переноса с диссипацией.

Наконец, система уравнений  Навье - Стокса нелинейна. Эта нелинейность, типичная для систем гидродинамического типа, обусловлена в случае несжимаемой жидкости инерционными составляющими в уравнениях количества движения. В сочетании с двумя упоминавшимися выше особенностями нелинейность уравнений Навье - Стокса приводит при достаточно больших числах Рейнольдса к образованию весьма сложных пространственно временных структур.

В большинстве случаев  для каждого типа сечения и  некотором диапазоне чисел Рейнольдса существует единственное устойчивое стационарное решение уравнений Навье - Стокса, для получения которого можно использовать либо стационарные уравнения, либо нестационарные, рассматривая искомое решение как предел при времени стремящимся к бесконечности (метод установления). При увеличении числа Рейнольдса стационарное решение перестает быть единственным и начинает зависеть от начальных данных. При дальнейшем увеличении числа Рейнольдса реализуются только нестационарные решения. Решение при этом имеет не только нерегулярный характер во времени, но и существенно усложняется его пространственная структура, в частности, теряет устойчивость и дробится пограничный слой, в ядре появляются вторичные решения и т.д. Для описания режимов такого типа стационарные уравнения Навье - Стокса недостаточны.

В экспериментах при  больших числах Рейнольдса наблюдается  неупорядоченное, хаотическое движение жидкости, называемое турбулентным движением, для которого представляет интерес описание средних пространственно-временных характеристик. Переход из ламинарного режима течения в турбулентный в круглой трубе происходит при числе Рейнольдса приблизительно равным 2*10^3. В технических приложениях и явлениях природы значения чисел Рейнольдса достигают значительно больших величин 10^6 - 10^9, поэтому турбулентные режимы имеют широкое распространение. Информация об этих режимах, по-видимому, содержится в нестационарных уравнениях Навье - Стокса. До недавнего времени численные исследования при больших числах Рейнольдса были связаны лишь с изучением поведения бесконечно малых возмущений на основе линеаризированных гидродинамических уравнений. В последнее время для отдельных классов течений делаются попытки прямого численного моделирования переходных и турбулентных режимов на основе нестационарных уравнений Навье - Стокса.

Из сказанного следует, что требования к вычислительным методам для решения уравнений Навье - Стокса должны различаться в зависимости от рассматриваемого диапазона чисел Рейнольдса и тех целей, которые ставятся при численном моделировании.

Общие требования к вычислительным методам можно сформулировать следующим  образом:

1)  Вычислительная устойчивость;

2)  Точность расчета основных характеристик, приемлемая для соответствующих приложений;

3)  Экономичность, минимальный объем оперативной памяти, простота реализации.

Первое требование заключается  в том, чтобы весь вычислительный процесс был устойчив. Оно относится как к самой разностной схеме, так и к методу решения соответствующих алгебраических уравнений. Для разностных схем, аппроксимирующих уравнения Навье - Стокса, причин неустойчивости больше, чем для простых модельных уравнений, причем в ряде случаев явления вычислительной неустойчивости трудно отличить от возможного сложного поведения решений.

Второе требование означает необходимость высокой пространственно-временной  разрешимости, которой можно в  принципе достигнуть, либо применяя схемы не слишком высокого порядка точности, реализуемые на подробных пространственно-временных сетках, либо существенно повышая порядок точности схем. Для уравнений Навье - Стокса особенно важным является посторенние разностных схем, аппроксимирующих общие нестационарные уравнения (и позволяющих в частном случае определить стационарные решения, если такие существуют). При этом практика показывает, что для расчета весьма широкого класса течений достаточного использования схем первого порядка точности по времени. В отличие от течений невязкой жидкости, при этом характерны более высокие требования к пространственной аппроксимации решения (пограничные слои, основные и вторичные течения и т.д.). Наиболее удобными являются разностные схемы второго порядка точности по пространственной координате на неравномерной сетке, сгущающейся в зоне больших градиентов.

Третье требование на самом деле может состоять из двух или даже трех требований: минимального числа операций на временном слое, минимального объема оперативной памяти ЭВМ и минимальных затрат труда программиста на реализацию программы.

Перечисленные требования в известной мере условны, так  как значение каждого из них зависит  от ряда дополнительных факторов, таких, например, как режим течения по числу Рейнольдса, тип ЭВМ, квалификация исполнителя, ограничения на время для получения результата, серийность расчетов и т.д. Эти требования, кроме того, противоречивы, так как одновременное их выполнение практически невозможно, что требует компромиссных решений.

С помощью метода конечных разностей исследования ведутся широким фронтом, и накопленный опыт позволяет увидеть их достоинства и недостатки. Достоинствами являются универсальность, экономичность, сравнительная простота реализации. Недостатками являются не слишком высокая точность (а также трудности построения и реализации схем высокой точности и оценки точности), трудности при аппроксимации областей с границами сложной формы. Поэтому ведутся поиски других методов. В этой подглаве будут упомянуты некоторые основные подходы, разделенные на три группы.

К первой группе относятся  попытки применения прямых методов. Наиболее разработаны к настоящему времени для уравнений Навье - Стокса методы Галеркина и некоторые  их модификации. Эти методы обладают многими преимуществами, к числу которых относятся точность, возможность сокращения объема информации и экономичность. Однако сходимость этих методов в значительной степени зависит от выбора пробных функций, поэтому успешная реализация их достигнута лишь в ряде специальных случаев, например в задачах конвекции при наличии свободных и периодических границ, где известно аналитическое решение линейной задачи.

Ко второй группе следует  отнести методы более общего характера, связанные с представлением решения  в виде рядов или интерполяционных многочленов. Применительно к численному моделированию задач гидродинамической устойчивости важное значение имеют так называемые алгоритмы "без насыщения".

К третей группе относится  метод конечных элементов, имеющий  много общих свойств с методом  сеток, но отличающийся специальным выбором аппроксимации с учетом тех или иных вариационных принципов. Современные варианты метода конечных элементов в применении к уравнениям Навье - Стокса позволяют расширить класс геометрических объектов, но в настоящее время существенно проигрывают в экономичности расчета. Стремление к использованию лучших свойств из конечно-разностных и упоминавшихся здесь методов, приспособленных к проведению параллельных вычислений на многопроцессорных ЭВМ, приводит в последние время к появления новых методов решения уравнений Навье - Стокса, детальная практическая проверка которых, однако, является делом будущего. Более подробное обсуждение различных направлений развития численных методов для уравнений Навье - Стокса выходит за рамки данного обзора.

 
3.2 Уравнения Навье - Стокса в  переменных функция тока, вихрь  скорости

Следуя [10], преобразуем  систему уравнений 1.4 - 1.6 к виду, удобному для численного решения. Для этого  введем переменные величины функцию  тока  и вихрь :

, (3.1)

а также безразмерные величины:

, (3.2)

где  - характерная скорость и характерная длина.

После несложных преобразований [10] получаем следующую безразмерную систему уравнений (штрихи у безразмерных величин опущены для удобства записи):

 (3.3)

. (3.4)

В эти уравнения как  неизвестные величины входят функция  тока  и вихрь , зависящие от координат r и z. Турбулентное число Рейнольдса Re находится по полуэмпирическому соотношению, приведенному в [10]. 

3.3 Приближенное решение  уравнений Навье – Стокса

Численные методы решения  системы уравнений (3.3) - (3.4) приведены  в [21]. Однако их практическая реализация вызывает определенные трудности по причине отсутствия граничных условий для функции  на твердых поверхностях. В данной работе приведено приближенное решение задачи, в котором использован метод, обычно называемый методом последовательных приближений.

Выбирая “нулевое” приближение  , находим из (3.4)

 (3.5)

из (3.3) получаем уравнение  для нахождения более точного  приближения:

 (3.6)

Интегрирование производим в области, заимствованной из работы [10] и показанной на рисунке 3.1

Решение, приведенное  в этой работе, условно принимаем  за точное решение.

Рисунок 3.1 - Область интегрирования

В качестве “нулевого" приближения выбираем функцию

, (3.7)

где С - безразмерный коэффициент. Приводя ее к безразмерному виду, получаем

. (3.8)

На рисунке 3.2 показаны линии уровня для начального приближения  функции тока.

Рисунок 3.2 - Линии уровня

В этой формуле штрихи у безразмерных величин и индекс “ж” для удобства записи опущены. Легко видеть, что  , если , т.е. на большей части границы области.Подставляя (3.8) в (3.5), находим

, (3.9)

причем  , если , т.е. на оси симметрии и на свободной поверхности жидкости, что соответствует [10].

На рисунке 3.3показаны линии уровня для начального приближения  вихря скорости.

Рисунок 3.3 - Линии уровня

Подставляя (3.9) в (3.6) находим:  

 (3.10)

Для удобства записи перепишем  уравнение (3.10) в форме:

, (3.11)

где A (r,z), B (r,z), C (r,z) - известные  функции;

Re турбулентный аналог  числа Рейнольдса.

Заменим исходную функцию   сеточной функцией [22, 23]:

,

i=0. N-1;

J=0. M-1;

;

.

Заменим производные  разностными отношениями:

; (3.12)

. (3.13)

Подставляя (3.12), (3.13) в (3.11) получаем:

. (3.14)

Выражая  из (3.14) получим:

. (3.15)

Учитывая, что на границе  области функция тока  равна нулю получаем начальные условия, которые необходимы для решения (3.15):

; (3.16)

. (3.17)

Данная схема имеет  первый порядок аппроксимаций по координатам r,z и устойчива при  1. 

3.4 Анализ результатов  исследования

В работе [10] в качестве примера были выполнены расчеты  поля скоростей в ванне 130-тонного  конвертера с радиусом ванны равным 2м, высотой ванны 1,6м, при радиусе лунки равным 0,4м, глубине лунки 1,05м. На рисунке 3.4 показано распределение функции тока в меридиональной плоскости которое получили авторы работы [10]. В качестве турбулентного аналога числа Рейнольдса была взята единица.

Рисунок 3.4 - Распределение  функции тока в меридиональной плоскости

Взяв такие же геометрические характеристики конвертера и межфазной  поверхности, а так же число Рейнольдса за единицу, решая уравнение (3.15) с начальными условиями (3.16) - (3.17) были получено распределение функции тока в меридиональной плоскости представленные на рисунке 3.5.

Рисунок 3.5 - Распределение  функции тока в меридиональной плоскости

Из рисунка 3.5 видно, что  под действием вдуваемой струи  в расплаве образуется тороидальный вихрь с движением вблизи стенок ко дну ванны, а в приосевой  зоне - к свободной поверхности. Максимальные значения осевой скорости - на уровне центра вихря, а радиальной - у свободной поверхности. Вблизи стенок и на дне ванной составляющие скорости малы, с интенсивным затуханием от свободной поверхности ко дну.

 
Заключение

В заключение приведем основные результаты, полученные в работе, и сделаем некоторые выводы.

В дипломной работе:

1) представлена математическая  модель, описывающая силовое взаимодействие  турбулентной газовой струи с  ограниченным объемом несжимаемой  вязкой жидкости;

2) составлена программа,  позволяющая рассчитывать:

течение газа в сопле  Лаваля с применением газодинамических формул для трубы переменного  сечения;

основные характеристики турбулентной газовой струи по методу Л.А. Вулиса;

геометрические характеристики межфазной поверхности на основе теории проникания М.А. Лаврентьева;

поле течения жидкости путем решения уравнений Навье-Стокса в переменных функция тока - вихрь  скорости;

3) установлено, что  температура газа в трубопроводе  не влияет на гидродинамику  процесса и не является управляющим параметром;

4) установлено, что  площадь межфазной поверхности  изменяется немонотонным образом,  и получена функция, аппроксимирующей  зависимость оптимальной высоты  поднятия фурмы от давления  в газопроводе;

5) впервые уравнения Навье-Стокса решены численно методом последовательного приближения.

В заключение можно сделать  следующие выводы:

1) полученные результаты  могут быть использованы при  создании общей физико-математической  модели кислородно-конвертерного  процесса;

2) в связи с использованием в модели турбулентности по Рейнольдсу возникает проблема нахождения зависимости турбулентного числа Рейнольдса от управляющих параметров (давление в газопроводе, критический диаметр сопла, высота поднятия фурмы);

3) площадь межфазной  поверхности следует определять, учитывая вытеснение жидкости в резервуаре, так как оно приводит к ее увеличению;

4) так как конвертер  имеет грушевидную форму, а  межфазная поверхность близка  к параболоиду, то возникает  необходимость создания расчетной  схемы на основе криволинейной сетки;

5) следует также разработать  математическую модель, теплообмена  в окрестности межфазной поверхности  с учетом химических реакций,  протекающих на ней.

 
Литература

1. Дейч М.Е. Гидрогазодинамика  [текст] / М.Е. Дейч, А.Е. Зарянкин. - М.: Энергоатомиздат, 1984. - 381с.

2. Дейч М.Е. Техническая  газодинамика [текст] / М.Е. Дейч. - М.: Госэнергостат, 1974. - 437с.

3. Вулис Л.А. Теория  струй вязкой жидкости [текст] / Л.А.  Вулис, В.П. Кошкаров. - М.: Наука, 1965. - 429 c.

4. Лаврентьев М.А. Проблемы гидродинамики и их математические модели [текст] / М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. - М.: Наука, 1973. - 416 с.

5. Горбунов К.С. Аналитическое  решение задачи о динамическом  взаимодействии газовой струи  с несжимаемой жидкостью [текст] / К.С. Горбунов // Математические и экономические модели в оперативном управлении производством. - М.: Электрика. - 1998. - № 8. - С.32-33.

6. Лойцянский Л.Г. Механика  жидкости и газа [текст] / Л.Г. Лойцянский. - М.: Наука, 1970. - 904 с.

7. Явойский В.И. Теория  продувки сталеплавильной ванны [текст] / В.И. Явойский, Г.А. Дрофеев, И.Л. Повх. - М.: Металлургия, 1974. - 495 с.

8. Баптизманский В.И.  Теория кислородно-конвертерного  процесса [текст] / В.И. Баптизманский. - М.: Металлургия, 1975. - 376 с.

9. Алдошин Г.Т. Исследование гидродинамического и теплового взаимодействия газовых струй с жидкостями и дисперсными средами [текст] / Г.Т. Алдошин // Тепло-и массоперенос. - т.1. - 1972. - С.287-296.

10. Коваль В.П. Математическое  моделирование движения жидкости  в осесимметричной ванне под действием вдуваемой струи [текст] / В.П. Коваль,, А.В. Потапов // Инженерно-физический журнал. - 1977. - т.32. - С.443-448.

11. Калашников С.Н. Численно - аналитические методики определения  управляющих воздействий применительно  к металлургическим объектам с самоорганизацией [текст] / С.Н. Калашников Дис. … канд. техн. наук. - Новокузнецк. - 1997. - 135 с.

12. Горбунов К.С. Аналитическое  решение задачи о динамическом  взаимодействии газовой струи  с несжимаемой жидкостью [текст] / К.С. Горбунов // Математические и экономические модели в оперативном управлении производством. - М.: Электрика. - 1998. - № 8. - С.32-33.

13. Марков Б.Л. О внедрении  газовой струи в жидкость [текст] / Б.Л. Марков, А.А. Кирсанов // Черная  металлургия. - 1970. - № 8. - С.42-47.

14. Абрамович Г.Н. Теория  турбулентных струй [текст] / Г.Н.  Абрамович. - М.: Гос. изд - во физ. - мат. литературы, 1960. - 715 с.

15. Вулис Л.А. Основы  теории газового факела [текст] / Л.А. Вулис, Ш.А. Ершин, Л.П.  Ярин. - Л.: Энергия, 1978. - 216с.

16. Вулис Л.А. Аэродинамика  факела [текст] / Л.А. Вулис, Л.П.  Ярин. - Л.: Энергия, 1978. - 216с.

17. Абрамович Г.Н. Прикладная  газовая динамика [текст] / Г.Н. Абромович. - М.: Наука, 1976. - 888 с.

18. Гиневский А.С. Теория  турбулентных струй и следов [текст] / А.С. Гиневский. - М.: Машиностроение, 1969. - 400с.

19. Горбунов К.С. Математическое  моделирование процессов тепло  - и массопереноса в турбулентных  газовых струях [текст] / К.С. Горбунов // Математические и экономические  модели в оперативном управлении производством. - 1997. - № 6. - С.28-29.

20. Сагомонян Н.Я. Проникание [текст] / Н.Я. Сагомонян. - М.: Изд-во  МГУ, 1974. - 299 с.

21. Пасконов В.М. Численное  моделирование процессов тепло  - и массообмена [текст] / В.М. Пасконов, В.И. Полежаев, Л.А. Чудов. - М.: Наука, 1984. - 288 с.

22. Госмен А.Д. Численные  методы исследования течения  вязкой жидкости [текст] / А.Д. Госмен. - М.: Мир, 1972. - 363с.

23. Роуч П. Вычислительная гидродинамика  [текст] / П. Роуч. - М.: Мир, 1980. - 411с.