Геометрический материал на уроках математики

 

В соответствии с программой начальных классов дети знакомятся с прямой линией, отрезком, измерением и вычерчиванием отрезков, с их разностным и кратким сравнением, с углами (прямой, тупой, острый), с прямоугольником, квадратом и их свойствами, с вычислениями их периметров и площадей, с геометрическими телами: кубом и прямоугольным параллелепипедом; с их некоторыми свойствами, с вычислением их объемов. Программой предусмотрено провешивание и измерение прямой линии, проведение измерительных работ на местности.

 

Хотя такое содержание геометрического материала не вполне соответствует целям и задачам геометрического материала в начальных классах, тем не менее, как свидетельствует опыт передовых учителей, программа дает возможности для осуществления в известной мере указанных выше геометрических идей и для повышения уровня геометрических знаний учащихся.

 

Общее направление, в котором должно проходить изучение геометрического материала формулировано в объяснительной записке к программе: «процесс изучения геометрического материала» должен быть от начала до конца активным, конкретным, наглядным. Все обучение следует сопровождать практическими упражнениями при этом учащиеся будут воспринимать не только готовые геометрические фигуры и тела, они сами будут создавать и воспроизводить изучаемые геометрические формы, используя для этого вырезание и наклеивание, моделирование, вырезание разверток и склеивание, черчение, образование фигур на подвижных моделях, а так же путем перегибания листа бумаги. Полученные знания сейчас же используются детьми на практики не только на уроках арифметики, когда находят периметр, площадь и др., но и на уроках труда, рисование, в работе на школьном учебно-опытным участке, на уроках природоведения.

 

В этих указаниях большое значение придается наглядности, практическим работам. И это правильно; вторая сигнальная система развивается на основе первой, по этому при первоначальном знакомстве учащихся с геометрией не обходимо обращаться к наглядности, конкретным геометрическим образам. Наглядности и практические работы учеников должны преследовать не только узко – практические цели, но и развития кругозора детей, способности обобщения и абстрагированию, развитие геометрических представлений и геометрического воображения.

 

Наблюдения и практические лабораторные работы, решение задач – всё это должно приводить к накоплению фактов и к обобщениям, которые получат дальнейшее развитие в систематическом курсе. Так, например, при изучении прямой линии с помощью практических работ дети приобретают опыт подводящих их к пониманию свойств прямой линии. То же самое можно сказать и об изучении других фигур, тел. И здесь нужно применять также формы заданий, которые способствуют накоплению фактов,подготавливающих к изучению систематического курса геометрии.

 

Одним из важных методических принципов изучения геометрического материала, является связь его с другими предметами: с арифметикой, рисованием, трудом, поведением. “Математика есть, наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира”(Энгельс). Обе эти стороны математики должны быть тесно связанны между собой, взаимно дополнять и обеспечивать друг друга.

 

Вопрос об использовании геометрических объектов при изучении арифметики разработал П.А. Компанийцем в книге “Особенности преподавании геометрии в тесной с арифметикой в 1 – 4 классах”. Предлагаемая им система упражнений по арифметики с использованием геометрических образов построена так, что изучение арифметики в некоторой степени способствует геометрическому образованию. Уже в пределах первого и второго десятков при изучении нумерации используется отрезки, квадраты, кубы в различном расположении. На первых порах обучения автор рекомендует знакомить детей не только с линейным, но и с квадратными и кубическими единицами, не связывая их пока с понятием о площади или объёме. Квадратические и кубические единицы используется и дальше, при изучении нумерации, но попутно с этим идёт подготовка к изучении площади; учащиеся вычёркивают в тетради квадратный сантиметр, затем полоску из 10 кв.см.и квадрат из 10 полосок, то есть квадрат с площадью 100 кв.см, и узнают, что из 100 кв.см, можно составить 1 квадратный дециметр. Здесь имеется и развитие идеи десятичной системы счисления, и подготовка к изучению квадратных мер, и подготовка к изучению способа вычисления площади квадрата. Даются упражнения по подчёту числа квадратных единиц, на которые разбиваются прямоугольник. Таблица умножения Пифагора дана в геометрической форме, даётся геометрическое истолкование умножения двузначного числа на двузначное. В геометрической форме излагается порядок выполнения арифметических действий и многие другие вопросы арифметики. Опыт П.А.Компанийца интересен как одна из возможностей установления органической связи арифметики с геометрией.

 

Широкое использование находят геометрические образы при решении арифметических задач; сюда относится графическое изображение условия задачи, применение масштаба, связь количественных и пространственных представлений, изображение в виде отрезка расстояния между двумя пунктами в задачах на движение и др. Существует задачи, в которых геометрические образы выступают на первый план. Возьмём, например, задачу 1: Велосипедист выехал из пункта А в пункт В. Проехав 500 м, он обнаружил, что потерял ключ. Вернувшись на 100 м. назад, он увидел ключ на дороге. Подобрав его, он снова двинулся к пункту В и, проехав ещё 800 м., достиг его.

 

Каково расстояние между пунктами А и В

 

1. 500 м. – 100 м. = 400 м.    2. 400 м. + 800 м. = 1200 м. 

 

      500 м           800м  

 

А                    В

 

На уроках рисования непосредственно используются элементы геометрии. Эти уроки носят в ряде случаев подготовительный характер. Они помогают накоплению факторов и наблюдений, которые должны быть использованы в геометрии.

 

На уроках рисования в 1 и 2 классах, моделями для рисунков является предметы, близкие по своей форме к простейшим геометрическим фигурам. В процессе рисования дети не только познают форму предметов, но и примерные количественные соотношения частей предметов, их взаимное расположение, направление линии. В 3 и 4 классах существенно новым является изображение тел, на плоскости, причём здесь играет роль расположение предметов, и, следственно, геометрических. Образ раскрывается с различных точек зрения. При этом дети рисуют предметы, близкие по форме к простейшим геометрическим телам: стакан, коробка, яблоко, пирамида. Учитывая это, следует устанавливать предметные связи, между значениями, полученными на уроках рисования, со знаниями, полученными при изучении начальной геометрии.

 

Уроки труда также тесно связаны с геометрией. Здесь это связь носит действительный характер. В процессе работы над материалам (бумагой, картоном, глиной) дети моделируют геометрические фигуры и тела, познают их свойства. Если на уроках рисования главную роль играли зрительные восприятия, то на уроках труда они дополняются осязанием и ощущениями при движении рук. Изготовляя изделия или детали, составляя узоры или украшения дети сталкиваются с большим разнообразием форм. Кроме того, учащиеся должны научиться выполнять чертежи и технические рисунки, что имеет исключительно важное значение в геометрическом образовании. Надо заметить, что работы по труду связаны с целым рядом фигур, линий в этих фигурах, в то время как в курсе наглядной геометрии изучают только прямоугольник и квадрат.

 

Уроки физкультуры также содержат моменты, с геометрическим образованием. Так, например, на этих уроках ученики получают ориентировку в направлении: на право, на лево, вверх, вниз, в горизонтальном и вертикальном направлении, в построение по прямой линии, в круг, по границе участков в форме прямоугольника, квадрата, в поворотов на прямой; развернутый, полный угол.

 

На уроках русского языка при чтении статей учащейся встречаются с выражениями о направлении, форме предметов, и их взаимном расположении,

 

Итак, при изучении всех учебных предметов идет накопление геометрических представлений о формах предметах, о их взаимном расположении. Задача состоит в том, чтобы координировать все эти виды работ, которые служат одной цели.

 

Общие вопросы методики изучения элементов наглядной геометрии.

 

Особое содержание геометрического материала, включенного в программу и реализованного в системе тщательно отобранных задач, направлено на формирование достаточно полной системы геометрических представлений (включающей образы геометрических фигур, их элементов, отношений между фигурами, их элементами0.

 

На этой основе формируются пространственные представления и воображение, развивается речь и мышление учащихся, организуется целенаправленная работа по формированию важных практических навыков.

 

Важнейшей задачей учителя является определение методики, раскрывающей содержание геометрического материала на том уровне, который должен быть достигнут учащимся к моменту их перехода в 4 класс, а также ведущих направлений изучение этого материала.

 

Для формирования геометрических представлений работа должна проводится следующим образом: свойство фигур учащиеся выявляют экспериментально, одновременно усваивают необходимую терминологию и навыки; основное место в обучении должны занимать практические работы учеников, наблюдения и работы с геометрическими объектами.

 

Оперируя разнообразными предметами, моделями геометрических фигур, выполняя большое число наблюдений и опытов, учащиеся подмечают наиболее общие их признаки (не зависящие от материала, цвета, положения, массы и т.п.)

 

В методики формировании геометрических представлений важно идти от «вещей» к фигуре (к её образу), а также, наоборот – от образа фигуры к реальной вещи.

 

Это достигается систематическим использованием приёма материализации геометрических образов. Например, прямая линия не только вычерчивается с помощью линейки, представление о ней даёт и край – ребро линейки, натянутая нить, линии сгиба листа бумаги, линия пересечения двух плоскостей (например, плоскости стены и плоскости потолка). Отвлекаясь от конкретных свойств материальных вещей, учащиеся овладевают геометрическими представлениями. Так, например, можно видоизменять способ деления многоугольника отрезком на части. В начале этого может быть перегибание бумажного многоугольника.

 

В этом случае отрезок (линия сгиба) реально делит многоугольник на две части. Этот опыт полезно продолжать, разрезав многоугольник по линии сгиба на два многоугольника. Несколько позже эту же задачу полезно решить на чертеже, в начале путем непосредственного проведения (вычерчивания) отрезка (рис.8), затем прикладывание указки (рис.9).

 

В первом классе в основном завершается первоначальное ознакомление с фигурами и их названиями. Это делается на основе рассмотрения окружающих вещей, готовых моделей и изображений фигур. У детей постепенно вырабатывается схема изучения фигур, схема анализа и синтеза, облегчающая усвоение свойств каждой фигуры.

 

Значительное место в методике должно отводится применению приема сопоставления и противопоставления геометрических фигур. В 1 классе это позволит из множества фигур наглядно (без помощи определений) выделят множество кругов, множество многоугольников, множество линий и т.д.); во 2 и 3 классах – уточнять свойства фигур, классифицировать их. Большое внимание следует уделять противопоставлению и сопоставлению плоских фигур (круг – многоугольник, окружность – круг и т.д.), плоских и пространственных фигур (квадрат – куб, круг – шар и пр.)

 

Причем эта работа должна проходить не только на уроках математики, но и на уроках труда и особенно на уроках рисования, когда воспроизведение формы предмета зависит от качества и глубины анализа, его геометрической формы. Например, при наблюдении и куба (или предмета, имеющего форму куба) следует найти в нем характерные тоски, отрезки, многоугольники; при наблюдении шара можно обратить внимание на его круглые сечения.

 

Уже при первоначальном ознакомлении детей с геометрическими фигурами в 1 классе дети выполняют умственные операции анализа и синтеза. Важной задачей учителя, определяющей методику обучения в этот момент, является анализ фигуры, на основе которого выделяются ее существенные свойства (признаки) и несущественные. Так, например, существенным для треугольника будет не его положение на плоскости (листе бумаги), не относительные размеры сторон, а наличие трех сторон (углов, вершин); для прямоугольника существенно то, что он четырехугольник (четыре угла) и все его углы прямые. Все остальное не существенно.

 

В процессе обучения возникает потребность применения геометрической и логической терминологии, символики, чертежей. Так, уже во 2 классе введение буквенной символики помогает не только различать фигуры и их элементы, но и является одним из средств формирования обобщений. Например, запись ОК< 5 см говорит о том, что отрезок ОК – любой отрезок, имеющий длину меньшую, чем 5 см.

 

Как показывает опыт обучения математики в 1-3 классах, под влиянием той легкости и интереса, с которыми учащиеся 1-3 классов воспринимают не только очевидные простые, но иногда трудные геометрические факты, учитель начинает недооценивать наглядный и практический подход к изучению геометрического материала, не выполняет минимума упражнений, помещенных в учебнике, обращает мало внимания на формирование практических навыков. Такой учитель встает на неверный и опасный путь формального ознакомления младших школьников с геометрическими фигурами. Он начинает знакомить детей с фигурами не путем их наблюдения, изготовления из бумаги и вычерчивания, а сообщая формальное определение, только словесным способом.