Арифметические и логические компьютерные операции

[Введите текст]

СОДЕРЖАНИЕ

Введение ……………………………………………………………………… 2

1. Теоретическая часть ………………………………………………….. 3
1. Арифметические операции …………………………………… 3
2. Логика и компьютер …………………………………………... 5
3. Логические операции …………………………………………...6
2. Практическая часть…………………………………...………………. 11
1. Постановка задачи……………………………............................11
2. Компьютерная модель решения задачи………….……............ 13
3. Результаты компьютерного эксперимента …………..………. 22

Заключение ……………………………………...………………………….. 23

Список использованной литературы………………………………………. 24

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

    Основной операцией, которая используется в цифровых устройствах при различных вычислениях, является операция алгебраического сложения чисел. Сложения, в котором могут участвовать как положительные, так и отрицательные числа. Вычитание легко сводится к сложению путем изменения на обратный знак вычитаемого. Операции умножения и деления также выполняются с помощью операции сложения и некоторых логических действий.

    Алгебра логики изучает методы установления истинности или ложности сложных логических высказываний с помощью алгебраических методов. Булева алгебра делает это таким образом, что сложное логическое высказывание описывается функцией, результатом вычисления которой может быть либо истина, либо ложь (1, либо 0). При этом аргументы функции (простые высказывания) также могут иметь только два значения: 0, либо 1.

    Целью данной работы является выяснение сути арифметических и логических компьютерных операций, роли логики в вычислительной технике и информатике.

 

 

 

 

 

 

 

 

1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1.1 Арифметические операции

    Рассмотрим арифметику двоичной системы счисления, так как именно она используется в современных компьютерах по следующим причинам:

• существуют простейшие физические элементы, которые имеют только два состояния и которые можно интерпретировать как 0 им 1;
• арифметическая обработка очень проста.¹

    Рассмотрим операцию сложения.

    Сложение двоичных чисел сводится к сложению цифр соответствующих разрядов с учетом переносов.

    При сложении двух двоичных чисел используются следующие четыре правила:

    0 + 0 = 0

    1 + 0 = 1

    0 + 1 = 1

    1 + 1 = 10, происходит перенос единицы в соседний (старший) разряд.

    Сложение – важнейшая операция в двоичной арифметике. Три другие арифметические операции над двоичными числами в компьютерах – вычитание, умножение, деление – осуществляются обычно с помощью сложения.

    Вычитание. При вычитании двоичных чисел нужно помнить, что

    0 – 0 = 0

    1 – 0 = 1

    0 – 1 = 1, занимаем единицу в соседнем (старшем) разряде

    1 – 1 = 0

    Умножение.

    При умножении двоичных чисел нужно помнить, что

    0 х 0 = 0

    1 х 0 = 0

    0 х 1 = 0

    1 х 1 = 1

    Ввиду чрезвычайной простоты таблицы умножения в двоичной системе, умножение сводится лишь к сдвигам множимого и сложениям.

    Деление. Деление в двоичной системе счисления производится по тем же правилам, что и деление углом в десятичной системе. В двоичной системе деление выполняется особенно просто, ведь очередная цифра частного может быть только нулем или единицей.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.2 Логика и компьютер

    В быту мы часто используем слова «логика», «логично». Логика (от древне - греческого λογικος — «наука о рассуждении») – это наука о том, как правильно рассуждать, делать выводы, доказывать утверждения.

    Какая же связь между логикой и компьютерами? В классической формальной логике высказывание может быть истинно или ложно, третий вариант исключается. Если обозначить истинное значение единицей, а ложное – нулем, то получится, что формальная логика представляет собой правила выполнения операций с нулями и единицами, то есть с двоичными кодами. Именно такой способ используется в компьютерах для кодирования всех видов информации. Поэтому обработку информации оказалось возможным свести к выполнению логических операций. Важный шаг в этом направлении сделал английский математик Джордж Буль. Он предложил применить для исследования логических высказываний математические методы. Позже этот раздел математики получил название алгебра логики или булева алгебра.

    Алгебра логики — это математический аппарат, с помощью которого записывают, вычисляют, упрощают и преобразовывают логические высказывания.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.3 Логические операции

    Высказывания бывают простые и сложные. Простые высказывания нельзя разделить на более мелкие высказывания, например: «Сейчас идет дождь» или «Форточка открыта». Сложные (составные) высказывания строятся из простых с помощью логических связок (операций) «И», «ИЛИ», «НЕ», «если…, то», «тогда и только тогда».

    В булевой алгебре высказывания обычно обозначаются латинскими буквами. Таким образом, мы уходим от конкретного содержания высказываний, нас интересует только их истинность или ложность.

Операция «НЕ»

    Операция «НЕ» часто называется отрицанием или инверсией. В алгебре логики всего два знака, 0 и 1, поэтому логические отрицание – это переход от одного значения к другому, от 1 к 0 или наоборот. Если высказывание A истинно, то «не А» ложно, и наоборот.

    Для обозначения операции «НЕ» используется несколько способов. Выражение «не А» в алгебре логики записывается как Ā или ¬А, в языках программирования Паскаль и Бейсик – как not A, в языке Си – как !A.

    Операцию «НЕ» можно задать в виде таблицы:

А	Ā
0	1
1	0

 

    Эта таблица состоит из двух частей: слева перечисляются все возможные значения исходного сигнала (их всего два – 0 и 1), а в последнем столбце записывают результат выполнения логической операции для каждого из этих вариантов. Такая таблица называется таблицей истинности логической операции.

 

Операция «И»

    Операция «И» (в отличие от «НЕ») выполняется с двумя логическими значениями, которые мы обозначим как A и B. Результат этой операции в алгебре логики записывают как А·B, А B.

    В таблице истинности будет уже не один столбец с исходными данными, а два.

А	В	А В
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

 

 

 

 

 

 

Число строк также выросло  с 2 до 4, поскольку для 2 бит мы получаем 4 разных комбинации: 00, 01, 10 и 11. Эти строчки  расположены в определенном порядке: двоичные числа, полученные соединением  битов A и B, идут в порядке возрастания (слева от таблицы они переведены в десятичную систему). Как следует  из определения, в последнем столбце  будет всего одна единица, для  варианта A = B = 1.

    Легко проверить, что этот результат можно получить «обычным» умножением A на B, поэтому операцию «И» называют логическим умножением. Существует и другое название этой операции – конъюнкция (от латинского conjunctio – союз, связь).

Операция «ИЛИ»

    Операцию «ИЛИ» называют логическим сложением, потому что она похожа на обычное математическое сложение. Единственное отличие – в последней строке таблицы истинности: в математике 1+1 равно 2, а в алгебре логики – 1.

 

А	В	А+В
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

 

 

 

   

Другое название операции «ИЛИ» – дизъюнкция (от латинского disjunctio – разделение).

    В учебнике для обозначения операций «И» и «ИЛИ» мы будем использовать знаки умножения и сложения (например, А·B и А+B). Это очень удобно потому, что они привычны для нас и позволяют легко увидеть аналогию с обычной математикой.

Импликация

    Импликация — бинарная логическая связка, по своему применению приближенная к союзам «если… то…».

    Суждение, выражаемое импликацией, выражается также следующими способами:

     •  Посылка является условием, достаточным для выполнения следствия;

     •  Следствие является условием, необходимым для истинности посылки.

    Обозначается A → B («если A, то B», «из A следует B»).

А	В	A → B
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

 

 

 

 

Другие  логические операции

    Существуют и другие логические операции. Таблицы истинности операций с двумя переменными содержат 4 строки и отличаются только значением последнего столбца. Поэтому любая новая комбинация нулей и единиц в этом столбце дает новую логическую операцию (логическую функцию). Всего их, очевидно, столько, сколько существует четырех‐разрядных двоичных чисел, то есть 16 = 24. Наиболее интересны две – штрих Шеффера («И‐НЕ», англ. nand = «not and»)A|B = A ⋅B и стрелка Пирса («ИЛИ‐НЕ», англ.nor = «not or»).A ↓ B = A + B .

    Особенность этих операций состоит в том, что с помощью любой одной их них можно записать произвольную логическую операцию. Например, операции «НЕ»,«И» и «ИЛИ» (базовый набор) выражаются через штрих Шеффера так:

    A = A|A , A ⋅B = A|B = (A|B)|(A|B),  A + B = A|B = (A|A)|(B|B).

    Эти формулы можно доказать через таблицы истинности:

А	В	A|B
0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0

 

 

Логические выражения

    Обозначив простые высказывания буквами (переменными) и используя логические операции, можно записать любое высказывание в виде логического выражения. Например, пусть система сигнализации должна дать аварийный сигнал, если вышли из строя два из трех двигателей самолета.         

    Обозначим высказывания:

    А — «Первый двигатель вышел из строя».

    B — «Второй двигатель вышел из строя».

    C — «Третий двигатель вышел из строя».

    X — «Аварийная ситуация».

    Тогда логическое высказывание X можно записать в виде формулы

    X =(A·B) + (A·C) + (B·C). (*)

    Таким образом, мы выполнили формализацию - переход от конкретного содержания к формальной записи с помощью некоторого языка.²

 

    Формализация — это переход от конкретного содержания к формальной записи с помощью некоторого языка.³

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

2.1 Постановка  задачи

Цель решения задачи