Министерство образования и науки, молодежи
и спорта Украины
Государственное высшее учебное заведение
Приазовский государственный технический
университет
Факультет информационных технологий
Кафедра автоматизации и компьютерных
технологий
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
по курсовой работе
по дисциплине
“Идентификация и моделирование
объектов автоматизации”
Выполнил:
Принял:
Мариуполь 2013 г.
РЕФЕРАТ
Пояснительная записка содержит 42 страницы,
12 рисунков, 3 таблицы.
Целью работы является получение численного
решения для конкретной задачи. Это решение
должно быть получено в результате выполнения
соответствующей программы на ЭВМ, написанной
на языке высокого уровня, составленной
самим обучающимся.
При выполнении работы необходимо предварительно
ознакомиться с соответствующим методом
и его алгоритмом. Выполнение программы
на ЭВМ и анализ получения результатов
составляют заключительную стадию работы.
Реализация программы должна быть показана
на контрольном примере с выдачей выходных
документов на принтер.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение …………………………………………………………………………5
Постановка задачи ………………………………………………………………6
Входные и выходные данные ……………………………………………………7
1. Идентификация объектов методом
наименьших квадратов ………………8
2. Исследование разомкнутой линейной
системы ……………………………19
3. Построение модели с распределенными
параметрами ……………………28
4. Численные процедуры оценивания параметров
нелинейных регрессионных моделей ………………………………………………36
Заключение …………………………………………………………………….41
Перечень ссылок ………………………………………………………………42
ВВЕДЕНИЕ
Цель работы − получение практических
навыков в построении математических
моделей технических объектов, написании
программ для решении задач моделирования
с использованием языка программирования
С/С++ и математических пакетов MathCad или
MatLab, изучение теоретических основ и особенностей
выполнения параметрической идентификации
различных моделей, реализации алгоритмов
линейного и нелинейного регрессионного
анализа, планирования эксперимента.
Задачи курсовой работы включают:
− получение студентами навыков самостоятельной
работы;
− освоение технологии разработки и
отладки программ, реализующих модели
технических объектов;
− более качественное изучение нормативных
материалов – государственных стандартов
и технических условий;
− более полное изучение базовых средств
языков программирования и получение
навыков постановки и решения различных
задач с помощью ПЭВМ;
− изучение и использование сред численного
моделирования и статистического анализа
(MatLab, StatGraph и т.п.).
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
В ходе выполнения курсовой работы необходимо
разработать программы на Scilab, Matlab, C++,
которая позволит:
− оценить построенную математическую
модель;
− найти выходные параметры, описывающие
математическую модель, и построить зависимости
между входными и выходными характеристиками
объекта;
− установить математическое соотношение
между измеряемыми входами и выходами
при заданных их измерениях во времени.
ВХОДНЫЕ И ВЫХОДНЫЕ ДАННЫЕ
В данной работе входными данными являются
начальные параметры (граничные условия),
вводимые пользователем во время работы
программы. Собственно, сама математическая
модель, построенная согласно заданию
на курсовой проект и являющаяся неизменной,
представлена (описана) в качестве дифференциального
уравнения либо матрицы и (начальных, граничных)
параметров, которые даны для наблюдения
за процессом на определенном промежутке
времени либо участке (сечении).
Выходными данными являются реализованные
графики (зависимости) меняющиеся во времени
либо в пространстве координат, а также
расчетное представление корреляционного
анализа модели с использованием эксперимента.
Задание 1. Идентификация объектов методом
наименьших квадратов.
Вариант задания – 1
Матрица X
x1 |
x2 |
x3 |
8 |
5 |
1 |
2 |
4 |
3 |
4 |
9 |
7 |
2 |
2 |
4 |
2 |
3 |
1 |
Матрица Y
y |
20,8 |
14,2 |
32,3 |
11,5 |
8,2 |
Для линейных уравнений вида:
строится следующая система нормальных
уравнений, решение которой позволяет
получить оценки параметров регрессии:
Постановка задачи:
1. Построить линейную модель множественной
регрессии. Записать стандартизированное
уравнение множественной регрессии. На
основе стандартизированных коэффициентов
регрессии и средних коэффициентов эластичности
ранжировать факторы по степени их влияния
на результат.
2. Найти коэффициенты парной, частной
и множественной корреляции. Проанализировать
их.
3. Найти скорректированный коэффициент
множественной детерминации. Сравнить
его с нескорректированным (общим) коэффициентом
детерминации.
4. С помощью F-критерия Фишера оценить
статистическую надежность уравнения
регрессии и коэффициента детерминации
5. С помощью t-критерия Стьюдента оценить
статистическую значимость коэффициентов
чистой регрессии.
6. Составить уравнение линейной парной
регрессии, оставив лишь один значащий
фактор.
Для наших данных система нормальных
уравнений имеет вид:
Расчет коэффициентов множественной
линейной регрессии методом определителей
(по формуле Крамера):
Уравнение множественной регрессии:
Оценка значимости уравнения регрессии
в целом производится не основе
F-критерия Фишера, которому предшествует
дисперсионный анализ. Согласно основной
идее дисперсионного анализа, общая сумма
квадратов отклонений переменной от среднего значения раскладывается на две
части – объясненную и необъясненную:
– общая сумма квадратов отклонений;
– сумма
квадратов отклонений, объясненная
регрессией (факторная сумма квадратов
отклонений);
– остаточная
сумма квадратов отклонений, характеризующая
влияние неучтенных в модели факторов.
Сопоставляя факторную и остаточную
дисперсии в расчете на одну степень свободы,
получим величину F-критерия Фишера:
Фактическое значение F-критерия Фишера
сравнивается с табличным значением при уровне значимости и степенях свободы
и При этом, если
фактическое значение F-критерия Фишера
больше табличного, то уравнение признается
статистически значимым:
Качество модели, исходя из относительных
отклонений по каждому наблюдению, признается
хорошим, т.к. средняя ошибка аппроксимации
не превышает 10 %.
Средние коэффициенты эластичности для
линейной регрессии:
Средние коэффициенты эластичности показывают,
на сколько процентов в среднем изменится
результат при изменении соответствующего
фактора на 1 %. Таким образом, подтверждается
большее влияние на результат фактора чем факторов
Показателем интенсивности связи служит
значение коэффициента корреляции. Считается,
если он равен 1, то взаимозависимость
признаков является строгой (полной); если
его значение находится в интервале от
1 до 0,8, то это свидетельствует о сильной
их взаимозависимости; если в интервале
от 0,7 до 0,3 – об умеренной (не ярко выраженной)
взаимозависимости, а если же оно лежит
в интервале от 0,2 до 0,0, то мы имеем дело
со слабой или нулевой взаимозависимостью.
Коэффициенты парной корреляции:
Коэффициент парной корреляции указывает на сильную
взаимозависимость фактора и результата При такой зависимости рекомендуется
исключить из рассмотрения факторы с не
ярко выраженной взаимозависимостью.
Коэффициент множественной корреляции
определим через матрицы парных коэффициентов
корреляции:
− определитель матрицы парных коэффициентов
корреляции
− определитель матрицы межфакторной
корреляции
Нескорректированный коэффициент множественной
детерминации оценивает долю дисперсии
результата за счет представленных в уравнении
факторов в общей вариации результата
и рассчитывается как квадрат коэффициента
множественной корреляции:
Эта доля составляет 99,9 % и указывает на
высокую степень обусловленности вариации
результата вариацией факторов (тесную
связь факторов с результатом).
Скорректированный коэффициент множественной
детерминации определяет тесноту связи
с учетом степеней свободы общей и остаточной
дисперсий:
Оба коэффициента указывают на высокую
детерминированность результата в
модели факторами
Оценка статистической значимости параметров
регрессии проводится по
t-критерию Стьюдента:
Для уравнения множественной регрессии
средняя квадратическая ошибка коэффициента
регрессии может быть определена по формуле:
Задание 2. Исследование разомкнутой
линейной системы.
Вариант задания – 1
Значения
коэффициентов дифференциального уравнения
объекта |
| |
|
|
|
|
|
|
|
-4 |
2 |
3 |
1 |
5 |
6 |
12 |
0 |
Объект описан дифференциальным уравнением:
Постановка задачи:
1. Записать модель объекта в форме передаточной
функции.
2. Записать модель объекта в пространстве
состояний.
3. Определить нули и полюса передаточной
функции.
4. Определить коэффициент усиления системы
в установившемся режиме и полосу пропускания
системы.
5. Построить карту расположения нулей
и полюсов, импульсную и переходную характеристики,
частотные характеристики.
6. Построить процесс на выходе системы
при произвольном входном сигнале.
7. Использовать модуль LTI-Viewer для построения
различных характеристик.
Для описания линейных систем могут применяться
несколько способов:
− дифференциальные уравнения;
− модели в пространстве состояний;
− передаточные функции;
− модели вида «нули-полюса».
Первые два способа называются временными,
поскольку описывают поведение системы
во временной области и отражают внутренние
связи между сигналами. Передаточные функции
и модели вида «нули-полюса» относятся
к частотным способам описания, т.к. непосредственно
связаны с частотными характеристиками
системы и отражают свойства объекта «вход-выход».
Модель объекта в форме передаточной
функции:
Текст программы
clear all;
clc;
% Ввод передаточной
функции %
num=[0 12 6 5]
den=[1 3 2 -4]
w=tf(num,den)
% Построение модели
объекта в пространстве состояний
%
w_ss=ss(w)
% Нахождение нулей
и полюсов передаточной функции
%
z=zero(w)
p=pole(w)
% Нахождение коэффициента
усиления системы %
% в установившемся
режиме %
k=dcgain(w)
% Определение полосы
пропускания системы %
b=bandwidth(w)
% Построение модели
системы в форме "нули-полюса"
%
w_zpk=zpk(w)
% Расположение нулей
и полюсов системы на графике
%
pzmap(w);grid;
print -dmeta;
% Построение переходной
функции %
step(w);grid;
print -dmeta;
% Построение импульсной
переходной функции %
impulse(w);grid;
print -dmeta;
% Создание массива
частот для построения %
% амплитудно-частотной
характеристики %
freq=logspace(-4,4,500);
r=freqresp(w,freq);
r=r(:);
semilogx(freq,abs(r));grid;
print -dmeta;
% Создание массива
частот для построения %
% фазо-частотной характеристики
%
freq=logspace(-4,4,500);
r=freqresp(w,freq);
r=r(:);
phi=angle(r)*180/pi;
semilogx(freq,phi);grid;
print -dmeta;
% Диаграмма Боде %
bode(w);grid;
print -dmeta;
% Частотный годограф
Найквиста %
nyquist(w);grid;
print -dmeta;
% Сигнал, имитирующий
прямоугольные импульсы %
% единичной амплитуды
%
% (период - 4 секунды,
количество - 5 импульсов) %
[u,t]=gensig('square',4);
lsim(w,u,t);grid;