Метод половинного деления

Метод половинного  деления.

Вычислить корни уравнения 

с точностью e=10^-4

1. Ручной счет

Определим интервалы  изоляции корней.

 

x	0	1	2	3	4
f(x)	-	-	-	+	+

 

Найден отрезок, на концах которого функция имеет разные знаки: [2,3]. a и b границы этого интервала. a=2, b=3, c-середина интервала. c=(a+b)/2. Дальнейшие вычисления оформляем в виде таблицы:

a	b	c	f(a)	f(b)	f(с)	|b-a|<2E
2	3	2,5	-8	13	0,625	ЛОЖЬ
2	2,5	2,25	-8	0,625	-4,109375	ЛОЖЬ
2,25	2,5	2,375	-4,109375	0,625	-1,85351563	ЛОЖЬ
2,375	2,5	2,4375	-1,8535156	0,625	-0,64282227	ЛОЖЬ
2,4375	2,5	2,46875	-0,6428222	0,625	-0,0161438	ЛОЖЬ
2,46875	2,5	2,484375	-0,0161438	0,625	0,30260849	ЛОЖЬ
2,46875	2,484375	2,4765625	-0,0161438	0,30260849	0,14277887	ЛОЖЬ
2,46875	2,4765625	2,47265625	-0,0161438	0,14277887	0,06320434	ЛОЖЬ
2,46875	2,47265625	2,47070312	-0,0161438	0,06320434	0,023502	ЛОЖЬ
2,46875	2,47070312	2,46972656	-0,0161438	0,023502	0,00367203	ЛОЖЬ
2,46875	2,46972656	2,46923828	-0,0161438	0,00367203	-0,00623765	ЛОЖЬ
2,46923828	2,46972656	2,46948242	-0,0062376	0,00367203	-0,00128325	ЛОЖЬ
2,46948242	2,46972656	2,46960449	-0,0012832	0,00367203	0,00119428	ЛОЖЬ
2,469482422	2,469604492	2,469543457	-0,0012832	0,00119428	-4,4511E-05	ЛОЖЬ
2,469543457	2,469604492	2,469573975	-4,4511E-0	0,00119428	0,00057487	ИСТИНА

 

Ответ: x 2,469573975

 

2. Блок- схема.

Алгоритм: 1)  Найдем середину отрезка [a; b]: c=(a+b)/2;        

2)    Вычислим  значения функции в точках a и  c и найдем произведение полученных  значений: d=f(c)ּf(a);

3)    Если d>0, то теперь точкой a станет c: a=c;

Если d<0, то точкой b станет c: b=c;

4)    Вычислим  разность a и b, сравним ее с  точностью ε: если |a-b|> ε, то  идем в пункт 1), если нет,  то корень с нужной нам точностью  найден, и он равен: x=(a+b)/2;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

      да         нет

 

 

 

 

            да         нет

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Расчет  в среде программирования Delphi.

Программа

unit Unit1;

interface

uses

       Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,

       Dialogs, ExtCtrls, TeeProcs, TeEngine, Chart, Menus, StdCtrls, Math,

       Series;

type

  TForm1 = class(TForm)

    GroupBox1: TGroupBox;

    GroupBox2: TGroupBox;

    Label1: TLabel;

    Label2: TLabel;

    Label3: TLabel;

    Label4: TLabel;

    Label5: TLabel;

    Edit1: TEdit;

    Edit2: TEdit;

    Edit3: TEdit;

    Edit4: TEdit;

    Edit5: TEdit;

    MainMenu1: TMainMenu;

    Chart1: TChart;

    N1: TMenuItem;

    N2: TMenuItem;

    Series1: TLineSeries;

    procedure N1Click(Sender: TObject);

    procedure N2Click(Sender: TObject);

  private

    { Private declarations }

            a,b:real;

            eps:real;

            hx:real;

            k:integer;

    function F(x:real):real;

  public

    { Public declarations }

  end;

 

var

  Form1: TForm1;

 

implementation

 

{$R *.dfm}

 

procedure TForm1.N1Click(Sender: TObject);

const

        NT=100;

var

        x,y:double;

        i:integer;

begin

      a:=StrToFloat(Edit1.Text);

      b:=StrToFloat(Edit2.Text);

      hx:=(a-b)/NT;

      for i:=0 to NT do begin

           x:=a+i*hx;

           y:=F(x);

           Series1.AddXY(x,y,'',clTeeColor);

       end;

end;

 

procedure TForm1.N2Click(Sender: TObject);

var

    c:real;

begin

  eps:=StrToFloat(Edit3.Text);

  k:=0;

  while(abs(b-a)>eps)do begin

    inc(k);

    c:=(b+a)/2;

    if(F(a)*F(c)>=0)then

      a:=c

    else

      b:=c;

  end;

  Edit4.Text:=FloatToStr((b+a)/2);

  Edit5.Text:=IntToStr(k);

end;

function TForm1.F(x:real):real;

begin

    F:=power(x,3)+2*x-20;

end;

end.

 

4. Листинг. Результат расчета

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сравнивая ответы в  ручном счете и в среде программирования Delphi, получили результат: х=2,46957