Построение графика функции по заданным точкам

Министерство образования и науки Российской Федерации Филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Казанский (Приволжский) федеральный университет»  в г. Набережные Челны Факультет прикладной математики   и информационных технологий Кафедра прикладной математики и информатики Специальность: 010501.65 – Прикладная математика и информатика Курсовая работа IV семестр
ТЕМА: «Построение графика функции по заданным точкам»
Дисциплина: «Языки и методы программирования»
Выполнил
студент Фамилия Имя Отчество
группа 41107 курс 2
Научный руководитель
Доцент, кандидат технических наук
Ахметзянов И.З.
	подпись
Оценка
Дата
Набережные Челны – 2014

Содержание

 Введение

Тема данной курсовой работы – построение графика функции по заданным точкам.

График – один из наиболее наглядных способов отображения зависимости между величинами. Но для построения графика часто требуется проводить очень много расчетов, при выполнение которых вручную – очень трудоемкий процесс.

Цель данной курсовой работы –разработка приложения, позволяющего построить график функции по заданным точкам.

В данном приложение реализуется программное построение графика данной функции. Очень удобным на практике является тот факт, что график строится по заданным точкам. Это актуально в случаях, когда график в силу каких-либо причин невозможно задать уравнением.

При выполнении данной курсовой работы были поставлены следующие задачи:

• Изучение методов построения графиков и их анализ;
• Выбор среды разработки;
• Изучение методов реализации приложения в выбранной среде;
• Разработать приложение, позволяющее строить график по заданным точкам.

 

 

1. краткие теоретические сведения

1. История возникновения графиков

Понятие функции уходит своими корнями в ту далекую эпоху, когда люди впервые поняли, что окружающие их явления взаимосвязаны. Они еще не умели считать, но уже знали, что, чем больше оленей удастся убить на охоте, тем дольше племя будет избавлено от голода, чем дольше горит костер, тем теплее будет в пещере.

С развитием скотоводства и земледелия, ремесла и обмена увеличилось количество известных людям зависимостей между величинами. Многие из них выражались с помощью чисел. Это позволило формулировать их словами "больше на", "меньше на", "больше во столько-то раз". Если за одного быка давали 6 овец, то двух быков обменивали на 12 овец, а трех быков на 18 овец. Такие расчеты привели к возникновению понятия о пропорциональности величин.

Но когда возникли первые цивилизации, образовались большие (по тогдашним масштабам), армии, началось строительство гигантских пирамид, то понадобились писцы, которые учитывали поступающие налоги, определяли количество кирпичей, потребное для возведения дворцов, подсчитывали, сколько продовольствия надо заготовить для дальних походов. От одного поколения писцов к другому переходили правила решения задач, чтобы решить такие задачи, надо было знать, как зависят объемы геометрических фигур от их размеров, уметь учитывать наклон насыпи. Некоторые египетские задачи показывают, что в то время умели даже вычислить объем пирамиды

Высокого уровня достигла математика в Древнем Вавилоне. Чтобы облегчить вычисления, вавилоняне составили таблицы обратных значений чисел, таблицы квадратов и кубов чисел и даже таблицы для суммы квадратов чисел их кубов. Говоря современным языком, это было табличное задание функций.

Пользуясь такими таблицами, вавилоняне могли решать и обратные задачи - по заданному объему куба находить длину его стороны, т.е. Извлекать кубические корни. Они умели даже решать уравнения вида x2 + x3 = a. Были у вавилонян и таблицы функций двух переменных, например таблицы сложения и умножения. Пользуясь различными таблицами, они могли вычислить и длину гипотенузы по длинам катетов, т.е. Находить значение функции

Разумеется, путь от появления таблиц до создания общего понятия функциональной зависимости был еще очень долог, но первые шаги по этому пути уже были сделаны.

В Древней Греции наука приняла иной характер, чем в Египте и в Вавилоне. Появились профессиональные ученые, которые изучали саму математическую науку, занимались строгими логическими выводами одних утверждений из других. Многое из того, что делали древнегреческие математики, тоже могло привести к возникновению понятия о функции. Они решали задачи на построение и смотрели, при каких значениях задача имеет решение, изучали, сколько решений может иметь эта задача, и т.д. Древние греки нашли много различных кривых, неизвестных писцам Египта и Вавилона, изучали зависимости между отрезками диаметров и хорд в круге, эллипсе и других линиях. Но все же древнегреческие математики не создали общего понятия функции.

Исследование общих зависимостей началось в 14 веке. Средневековая наука была схоластической. Для доказательства своей правоты ученые прибегли не к опыту, а к цитатам из Аристотеля и Платона или к ссылкам на библейские сказания. При таком характере "научных дискуссий" не оставалось места изучению количественных зависимостей, речь шла лишь о качествах предметов и их связях друг с другом. Но среди схоластов возникла школа, утверждавшая, что качества могут быть более или менее интенсивными (платье человека, свалившегося в реку, мокрее, чем у того, кто лишь попал под дождь)

Французский ученый Николай Оресм стал изображать интенсивность длинами отрезков. Когда он располагал эти отрезки перпендикулярно некоторой прямой, их концы образовывали линию, названную им "линией интенсивностей" или "линией верхнего края". Современный читатель сразу узнает в ней график соответствующей функциональной зависимости. Оресм изучал даже "плоскостные" и "телесные" качества, т.е. функции, зависящие от двух или трех переменных.

Важным достижением Оресма была попытка классифицировать получившиеся графики. Он выделил три типа качеств: Равномерные (с постоянной интенсивностью), равномерно-неравномерные (с постоянной скоростью изменения интенсивности) и неравномерно-неравномерные (все остальные), а также характерные свойства графиков таких качеств.

Идеи Оресма на много обогнали тогдашний уровень науки. Чтобы развивать их дальше, нужно было уметь выражать зависимости между величинами не только графически, но и с помощью формул, а буквенной, алгебры в то время не существовало. Лишь после того, как в течение 16 века была постепенно создана буквенная алгебра, удалось сделать следующий шаг в развитии понятия функции.

1.6 Вклад в развитие  графиков функций Рене Декартом

Чтобы создать математический аппарат для изучения графиков функций, понадобилось понятие переменной величины. Это понятие было введено в науку французским философом и математиком Рене Декартом (1596-1650). Именно Декарт пришел к идеям о единстве алгебры и геометрии и о роли переменных величин, он разрушил пропасть, лежавшую со времен древнегреческой математики, между геометрией и арифметикой.

Чтобы освободить алгебру от несвойственного ей геометрического языка, Декарт ввел фиксированный единичный отрезок и стал рассматривать отношения других отрезков к нему.

При записи зависимостей между величинами Декарт стал применять буквы. При этом операциями над величинами соответствовали операции над буквами. Теперь уже для преобразования одной зависимости в другую не надо было писать громоздких пропорций, изучать подобные треугольники и преобразовывать геометрические фигуры. Достаточно было по твердо, установленным правилам делать алгебраические преобразования, причем все эти преобразования производились в общем, виде.

Таким образом, графики функций за все время своего существования прошли через ряд фундаментальных преобразований, приведших их к тому виду, к которому мы привыкли. Каждый этап или ступень развития графиков функций - неотъемлемая часть истории современной алгебры и геометрии.

2. Основные понятия

Величины, участвующие в одном и том же явлении, могут быть взаимосвязаны, так что изменение одних из них влечёт за собой соответствующее изменение других. Например, увеличение (или уменьшение) радиуса круга ведёт к обязательному увеличению (или уменьшению) его площади. В таких случаях говорят, что между переменными величинами существует функциональная зависимость, причём одну величину называют функцией, или зависимой переменной (её часто обозначают буквой у), а другую - аргументом, или независимой переменной (её обозначают буквой х). Функциональную зависимость между х и у принято обозначать символом y=f(x). Если значению х соответствует больше, чем одно значение у. то такая функция называется многозначной. Исследование многозначных функций обычно сводится к исследованию однозначных.

Переменная величина у есть функция аргумента х, т.е. y=f(x), если каждому возможному значению х соответствует одно определённое значение у.

Графиком функции называется совокупность всех точек на плоскости, прямоугольные координаты которых х и у удовлетворяют уравнению y=f(x). Горизонтальную ось Ох называют осью абсцисс, вертикальную ось Оу - осью ординат. Графическое изображение функции имеет важное значение для её изучения. На графике функции часто непосредственно видны такие её особенности, которые можно было бы установить лишь путём длительных вычислений. Если между величинами х и у существует функциональная связь, то безразлично, какую из этих величин считать аргументом, а какую - функцией.

Функциональная зависимость, устанавливающая соответствие между значениями аргумента х и функции у, может быть различными способами:

1). Табличный способ. При  этом способе ряд отдельных  значений аргумента х1, х2, …, хk и  соответствующий ему ряд отдельных  значений функции у1, у2, …, уk задаются  в виде таблицы. Несмотря на  простоту, такой способ задания  функции обладает существенным недостатком, так как не дает полного представления о характере функциональной зависимости между х и у и не является наглядным.

2). Словесный способ. Обычно  этот способ задания иллюстрируют  примером функции Дирихле у = D (х): если х - рациональное число, то  значение функции D (х) равно 1, а если  число х - иррациональное, то значение  функции D (х) равно нулю. Таким образом, чтобы найти значение D (x0) при  заданном значении х = х0, необходимо  каким - либо способом установить, рационально или иррационально  число х0.

3). Графический способ. Функциональная  зависимость может быть задана  с помощью графика функции  у = f (x). Преимуществом такого способа  задания является наглядность, позволяющая  установить важные черты поведения  функции. Недостаток графического  способа заключается в невозможности  применения математического аппарата  для более детального исследования  функции.

4). Аналитический способ. При аналитическом способе задания  известна формула, по которой  по заданному значению аргумента  х можно найти соответствующее  значение функции у. В математике  чаще всего используется именно  аналитический способ задания  функций. Преимуществами такого  способа задания являются компактность, возможность подсчета значения  у при любом значении х и  возможность применения математического  аппарата для более детального  исследования поведения функции. Однако аналитическому способу  задания функции присуща недостаточная  наглядность и возможная трудность  вычисления значений функции.

Краткое рассмотрение различных способов задания функции показывает, что для подробного изучения ее поведения лучше всего сочетать исследование аналитического выражения функции с построением ее графика.

Наконец, еще раз подчеркнем следующее: из определения функции вытекает, что для ее задания необходимо лишь указать закон соответствия между величинами х и у. Способ же задания этого закона не имеет значения.

3. Среда разработки

В качестве среды разработки приложения был выбран Qt Creator.

Qt — кроссплатформенный инструментарий разработки ПО на языке программирования C++. Есть также «привязки» ко многим другим языкам программирования: Python — PyQt, PySide; Ruby — QtRuby; Java — Qt Jambi; PHP — PHP-Qt и другие.

Позволяет запускать написанное с его помощью ПО в большинстве современных операционных систем путём простой компиляции программы для каждой ОС без изменения исходного кода. Включает в себя все основные классы, которые могут потребоваться при разработке прикладного программного обеспечения, начиная от элементов графического интерфейса и заканчивая классами для работы с сетью, базами данных и XML. Qt является полностью объектно-ориентированным, легко расширяемым и поддерживающим технику компонентного программирования.

Существуют версии библиотеки для Microsoft Windows, систем класса UNIX с графической подсистемой X11, Android, iOS, Mac OS X, Microsoft Windows CE, QNX, встраиваемых Linux-систем и платформы S60. Идет портирование на Windows Phone и Windows RT . Также идёт портирование на Haiku и Tizen.

До недавнего времени библиотека Qt также распространялась ещё в одной версии: Qt/Embedded. Теперь эта платформа переименована в Qtopia Core и распространяется как отдельный продукт. Qtopia Core обеспечивает базовую функциональность для всей линейки платформ, предназначенных для разработки приложений для встраиваемых и мобильных устройств (КПК, смартфонов и т. п.).

Начиная с версии 4.5 Qt распространяется по 3 лицензиям (независимо от лицензии, исходный код Qt один и тот же):

Qt Commercial — для разработки ПО с собственнической лицензией, допускающая модификацию самой Qt без раскрытия изменений;

GNU GPL — для разработки ПО с открытыми исходниками, распространяемыми на условиях GNU GPL;

GNU LGPL — для разработки ПО с собственнической лицензией, но без внесения изменений в Qt.

До версии 4.0.0 под свободной лицензией распространялись лишь Qt/Mac, Qt/X11, Qt/Embedded, но, начиная с 4.0.0 (выпущенной в конце июня 2005), Qt Software «освободили» и Qt/Windows. Следует отметить, что существовали сторонние свободные версии Qt/Windows < 4.0.0, сделанные на основе Qt/X11.

Со времени своего появления в 1996 году библиотека Qt легла в основу тысяч успешных проектовво всём мире. Кроме того, Qt является фундаментом популярной рабочей среды KDE, входящей в состав многих дистрибутивов Linux.