Сущность линейного программирования и его использования в социальной сфере

Так как в индексной  строке все элементы неотрицательны, то полученный план является оптимальным. Таким образом, при 560 < у < 1085 оптимален план х₁* = (100–у/28), х₂*=(у/8–70), х₃*=0, х₄*=(620–4у/7), х₅*=0, а значение целевой функции равно Z* = (37у/28+220).

Объединяя случаи 1, 2.1, 2.2, 2.3 решение можно записать в виде:

 (13)

 (14)

 (15)

Представим эти  результаты на графиках с использованием офисной программы MS Excel (Рис.1,2).

В частности, для построения графика функции Z(у) используем следующую таблицу:

где в ячейку В2 введена формула:

=ЕСЛИ(А2<560;(12/7)*А2;ЕСЛИ(А2<1085;(37/28)*А2+220;ЕСЛИ(А2<(3500/3);6615/4; 6615/4))),

и распространена на ячейки ВЗ–В6.

 

Значения в  столбце А для краткости и  наглядности выбраны соответственно рубежным значениям формул (12)–(15). Последнее значение (1300) может быть выбрано любым большим 3500/3.

Очевидно, что сумма кредита  не должна превышать 3500/3 млн., так как все средства, большие 3500/3 млн. руб. при оптимальном плане не используются.

 

ЭТАП 2

 

Задачу нелинейного  программирования предварительно решим  графически с использованием офисной программы MS Excel.

Построим сначала графики  функции Р(у) и f(y). Последнее значение берется тем же, что и для первого этапа.

Фрагмент таблицы  выглядит так:

где в столбце В, в строках 2 и 3 введено число 18,56, а в 4-й строке записана формула:

=20-0,03*А4+0,000025*СТЕПЕНЬ(А4;2),

и распространена на ячейки В5–В28. В ячейку С2 введена  формула:

=А2*(1+В2/100), и распространена на ячейки СЗ–С28.

Полученные графики приведены  на рис. 3,4.

 

Объединим полученные результаты. Для этого добавим  во вторую таблицу столбец с вычислением функции Z(у) из первой Excel-таблицы. После этого составим разность значений Z'(y) и f(y).

Фрагмент итоговой таблицы выглядит так:

График разности функций  Z*(y) и f(y) приведен на рис. 5.

Как видно из графика и по таблице, оптимальное  значение прибыли достигается при сумме кредита, лежащей между 900 и 1050 млн. руб. Для получения точного значения, проведем аналитическое исследование прибыли на этом интервале.

Согласно формуле (15), сумма  оптимального дохода на интервале 560 ≤ у < 1085, в который попадает и наш исследуемый интервал, задается формулой:

 (16)

Тогда из формул (4) и (16) получаем, что на интересующем нас интервале прибыль равна

Раскрывая скобки, получаем

Исследуем эту функцию  на максимум на интервале 560 ≤ у < 1085. Первая и вторая производные исследуемой функции равны:

 (17)

 (18)

Приравнивая первую производную  нулю, из (18) получаем квадратное уравнение:

Для удобства умножим все  уравнение на –10⁸. Получим:

Корни этого уравнения  определяем по формуле:

Второй корень лежит вне  исследуемого промежутка, и его рассматривать не будем.

Найдем из (19) значение второй производной при у = у_х = 967:

Так как вторая производная  отрицательна, то точка у = 967 является точкой максимума (что было видно и по графику). Таким образом, оптимальная сумма кредита равна 967 млн. руб.

Из формул (13), (14), (17) определяем оптимальный план строительства и значение прибыли при найденной оптимальной сумме кредита:

(млн. руб.).

ВЫВОД: Для оптимизации  прибыли строительной фирме нужно взять кредит в размере 967 млн. рублей и построить 65,5 тыс. кв. метров торговых площадей и 50,9 тыс. кв. метров жилых площадей. При этом фирма получит прибыль около 391,9 млн. руб.

 

Заключение.

 

Линейное программирование - это наука о методах исследования и отыскания наибольших и наименьших значений линейной функции, на неизвестные которой наложены линейные ограничения. Таким образом, задачи линейного программирования относятся к задачам на условный экстремум функции. Казалось бы, что для исследования линейной функции многих переменных на условный экстремум достаточно применить хорошо разработанные методы математического анализа, однако их невозможно использования.

Таким образом, мы видим, что  линейное программирование можно использовать не только для решения задач максимизации прибыли в предприятии, но и для  решения задач минимизации всяческих убытков, которые могут понести социальные службы.

Кроме того, в данной работе не только исследована, на и доказана выгодность проведения расчётов задач линейного программирования с использованием компьютерной техники и, в частности, электронных таблиц Excel.

В результате проведенного исследования, было получено подтверждение  о выгодности использования математико-экономического проектирования и методов системного анализа для анализа и планирования экономических систем.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список  используемых источников.

 

1. Акулич И.Л. Глава 1. Задачи линейного программирования, Глава 2. Специальные задачи линейного программирования // Математическое программирование в примерах и задачах. — М.: Высшая школа, 1986. — 319 с.
2. Гасс С. Линейное программирование. — М.: Физико-математическая литература, 1961. — 300 с.
3. Юдин Д.Б., Гольштейн Е.Г. Линейное программирование. — М.: Наука, 1969. — 424 с.