М. Монтессори: Дом ребёнка

Сложение и вычитание от одного до двадцати. — Умножение и деление. Для обучения первым арифметическим действиям мы пользуемся тем же дидактическим материалом, как и при нумерации, т.е. брусками, разделенными на дециметры и дающими первое представление о десятичной системе.

Как я уже говорила, эти бруски мы обозначаем числами, которым они соответствуют: один, два, три и т.д. Они расположены в порядке их длины, т.е. в порядке нумерации.

В первом упражнении мы начинаем складывать палочки так, чтобы получался десяток. Проще всего брать короткую палочку, начиная с первой, и прикладывать ее к концу соответствующей длиной, начиная от девяти и ниже. Например, так: "Возьми один и прибавь к девяти; возьми два и прибавь к восьми; возьми три и прибавь к семи; возьми четыре и прибавь к шести". Так мы получаем четыре палочки, равные десяти. Остается палочка пять; но, повернув ее другим концом, мы видим, что она укладывается от одного конца десятка до другого, с очевидностью доказывая, что дважды пять равно десяти.

По мере того, как упражнения повторяются, ребенок обучается техническому языку: девять; плюс один равно десяти; восемь плюс два равно десяти; семь плюс три равно десяти; шесть плюс четыре равно десяти; что касается пяти, то дважды пять равно десяти. Наконец, если ребенок умеет писать, мы знакомим его со значками: + плюс, х умножить и = равно.

Дети изображают это все в своих тетрадях.

 

Когда дети все это хорошенько заучат и с большим удовольствием изложат на бумаге, мы обращаем их внимание на то, что получается, если разнимать палочки, составляющие десяток, и класть каждую на место. От последнего из составленных десятков мы отнимаем четыре, и остается шесть, от следующего отнимем три, и останется семь, от следующего — 2, и останется восемь, от последнего отнимем один, и остается девять. Точнее говоря, десять без четырех равно шести, десять без трех равно семи, десять без двух равно восьми, десять без одного равно девяти.

Что касается оставшихся пяти, то это — половина десяти, и разрезав длинную палочку пополам, т.е. разделив десять на два, мы получим пять. Десять, деленное на два, равно пяти. Записывается это так:

 

Овладев этим упражнением, дети самостоятельно продолжают его. Можно ли получить три двумя способами? Мы кладем один после двух и затем, чтобы запомнить сделанное, пишем: 2+1=3. Можно ли сделать, чтобы две палочки равнялись четырем? 3 + 1=4, а 4 – 3=1. 4 – 1=3.

Палочка "два" в отношении к палочке "четыре" тоже находится в таком же отношении к палочке “четыре”, как пять к десяти; 4 : 2=2; 2 х 2 =4. Задача: узнаем, с каким числом палочек можно играть в эту игру? Можно взять 3 и 6; или 4 и 8;например:

 

В этом пункте нам приходят на помощь кубики из игры на запоминание чисел

Из этой схемы сразу видно, какие числа делятся на два, — все те, у которых внизу не имеется одинокого кубика. Все эти четные или парные числа, ибо их можно разложить парами по два; делить их на два легко: необходимо только отделить два ряда кубиков, стоящих один под другим. Сосчитав кубики каждого ряда, мы получим частное, а чтобы вновь составить первоначальное число, надо только снова собрать два ряда: 2 х 3=6.

Для детей пяти лет все это не представляет затруднений.

Повторения вскоре надоедают; но упражнение можно видоизменить, взяв опять серию длинных палочек, и вместо того, чтобы прикладывать палочку к девяти, приложить ее к десяти. Равным образом мы можем приложить два к девяти, а три к восьми; мы получим палочки длиннее десяти; получим длины в одиннадцать, двенадцать, тринадцать и т.д. до двадцати. Для заучивания этих более высоких чисел можно пользоваться и кубиками.

Проделав действия с десятком, мы без труда переходим к двадцати. Единственное затруднение — десятичные числа, знакомство с которыми требует особых уроков.

Уроки на десятичные числа. Арифметические действия с числами свыше десяти. Необходимый для этого дидактический материал состоит из картонных квадратов, на которых число 10 изображено крупными цифрами, и из картонных прямоугольников, размерами в половину квадрата, на которых отпечатаны цифры от 1 до 9. Цифры мы располагаем в ряд: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Не имея больше цифр, мы должны начать сначала и берем цифру 1. Эта 1 подобна отрезку палочки 10, выдавшемуся за палочку 9. Просчитав по длине лестницы до девяти, мы видим, что осталась длина, которую, за неимением других цифр, мы опять обозначим цифрой 1. Но эта более высокая 1; и для отличия первой 1 мы ставим рядом нуль, — знак, означающий "ничего". Вот и 10. Прикрывая нуль прямоугольными карточками с цифрами в порядке из последовательности, мы получаем 5 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Эти цифры составляются путем прибавления к палочке 10 сперва палочки 1, потом 2, затем 3, пока, наконец, мы не прибавим палочки 9 к палочке 10, получив очень длинную палочку, которая после того, как мы сосчитаем красные и синие деления, даст нам девятнадцать.

 

После этого директриса показывает ребенку карточку, напр., 16;он приложит палочку 6 к палочке 10. Потом она снимает карточку б и на нуль кладет карточку 8, а ребенок отнимает палочку 6 и заменяет ее палочкой 8, получая таким образом 18. Каждое из этих действий можно записать таким образом: 10 +6=16; 10 + 8=18и т.д. Таким же путем мы делаем вычитание.

Когда ребенок получит ясное представление о числе, мы производим эти действия только с карточками, располагая прямоугольники с десятью цифрами в два столбца цифр на двух длинных кусках картона (см. фиг. А и В).

На карте А мы кладем на нуль второго десятка прямоугольник с цифрой 1; ниже — карточку с цифрой 2 и т.д. Таким образом 1 десятка остаётся без изменения, а числа справа возрастают от нуля до девяти.

 

С картой В операция сложнее; здесь карточки накладываются в числовой прогрессии десятков. После девяти переходим к следующему десятку, и так до 100.

Почти все наши дети считают до 100, с этим числом мы их знакомим в награду за проявленную ими любознательность.

Не думаю, чтобы эта сторона преподавания нуждалась в дальнейших разъяснениях.

Каждый преподаватель может разнообразить арифметические действия, пользуясь простыми предметами, которые детям нетрудно соединять и делить на группы.

ПОРЯДОК УПРАЖНЕНИЙ

Для практического применения нашего метода полезно знать порядок или последовательность упражнений, даваемых ребенку.

В первом издании моей книги был ясно указан порядок каждого упражнения; но в "Доме ребенка" мы сразу начали самые разнообразные упражнения; и, оказывается, необходимы градации или степени в показании материала во всей его полноте. Градации эти со времени первого издания моей книги вполне определились из опыта "Домов ребенка".

ПОРЯДОК И ГРАДАЦИИ В ПОЛЬЗОВАНИИ МАТЕРИАЛОМ И В УПРАЖНЕНИЯХ

Первая степень

Как только ребенок поступит в школу, ему нужно давать следующие упражнения.

Бесшумное передвигание стульев (упражнение в обыденных занятиях).

Шнуровка, застегивание пуговиц, крючков и т. п.

Цилиндры (упражнение чувств).

Из них самым полезным оказывается упражнение с цилиндрами (стереометрическими вкладками). Здесь ребенок учится сосредоточивать свое внимание. Он делает первые сравнения, первый выбор, упражняя способность суждения, а, стало быть, и ум.

Упражнения со вкладками располагаются в порядке трудности следующим образом:

а) Цилиндры одинаковой высоты, убывающие в диаметре.

b) Цилиндры, убывающие во всех измерениях.

c) Цилиндры, убывающие только в высоте.

Вторая степень

Упражнения в обыденных житейских занятиях. — Вставать и двигаться без шума; ходить шеренгой.

Упражнение чувств. — Материал, относящийся к изучению измерений. Длинная лестница. Призмы или Большая лестница. Кубики. — Ребенок упражняется в распознавании размеров, как и с цилиндрами, но здесь только глаз ребенка улавливает различия и контролирует ошибки. В предыдущих упражнениях ошибки механически открывали ребенку сам дидактический материал. Контроль был дан самой невозможностью разложить предметы по порядку в бруске иначе, как в соответствующих гнездах. Наконец, в прежних упражнениях ребенок делал гораздо более простые движения (сидя, он раскладывал мелкие предметы руками); в этих новых упражнениях он выполняет движения гораздо более сложные и трудные и производит небольшие мускульные усилия, двигаясь от стола к ковру, вставая на ноги, становясь на колени, перенося тяжелые предметы.

Мы видим, что ребенок все еще продолжает смешивать два последние бруска лестницы, долго не замечая своей ошибки, даже когда научится уже располагать другие бруски в соответствующей последовательности. И в самом деле, хотя разница между этими предметами измеряется величиной одинаковой для каждой пары смежных предметов, но относительное различие уменьшается с увеличением размера предметов. Так, например, кубик, ребро которого равно двум сантиметрам, вдвое больше кубика с ребром в один сантиметр, тогда как ребро самого большого кубика в десять сантиметров только на одну десятую разнится от ребра предыдущего кубика в девять сантиметров.

С теоретической стороны представляется очевидным, что упражнения мы должны начинать с самого маленького предмета. Так можно поступить с материалом, знакомящим детей с величиной и длиной. Но этого нельзя делать с кубиками, которые приходится располагать в "башенку", У башни в основании всегда должен лежать самый большой куб.

Дети, которых очень рано привлекает "башня", начинают играть кубиками; часто маленькие дети с большим увлечением играют в башню, воображая, что построили ее правильно, а в действительности, по оплошности, они кладут в основании не самый большой, а второй по величине куб. Но когда ребенок, повторяя упражнение, сам поправляет себя, мы можем быть уверены, что глаз его уже привык улавливать малейшие различия между предметами.

В трех системах размеров изменяющиеся размеры длины брусков разнятся между собою на 10 сантиметров; в других же двух системах лишь на 1 сантиметр. Теоретически кажется, что длинные палочки должны прежде всего обращать на себя внимание и исключать возможность ошибок. В действительности же это не так. Детей привлекает эта серия брусков, но они, пользуясь ею, делают наибольшее число ошибок, и только через много времени после того, как перестали делать ошибки с двумя другими системами, им удается правильно составить Длинную лестницу. Значит, это — самое трудное из серии упражнений на измерения.

Дойдя до этого пункта, ребенок уже с интересом сосредотачивает свое внимание на термических и тактильных стимулах.

Поэтому последовательность развития чувств на практике не соответствует теории, которую психометрия рекомендует при обучении подлежащих ее выделению субъектов. Точно так же эта постепенность не совпадает с той, которой требуют физиология и анатомия при описании соотношений между органами чувств.

Тактильное чувство есть чувство примитивное; орган осязания — самый простой и распространен по всему телу. Нетрудно понять, однако, что на простейшие ощущения и органы менее всего следует обращать стимулами.

Когда началось воспитание внимания, мы можем показывать ребенку шероховатые и гладкие поверхности (вслед за некоторыми термическими упражнениями, описанными уже в этой книге).

Эти упражнения, если показать их в надлежащий момент, сильно заинтересовывают детей. Не надо забывать, что эти игры имеют очень важное значение в методе, ибо на них, как и на упражнениях руки, которые мы вводим позднее, мы строим изучение письма.

Одновременно с двумя упомянутыми сериями упражнений чувств, описанных выше, мы можем приступить к так называемому "спариванию цветов", т.е. к упражнениям в распознавании пары одинаковых цветов. Это — первое упражнение хроматического чувства.

И здесь, как в упражнениях на размеры, только глаз ребенка участвует в оценке. Первое упражнение в цветах не представляет труда, но, чтобы повторять его с интересом, ребенок должен достаточно развить внимание предшествующими упражнениями.

За это время ребенок слушал музыку; ходил в шеренгу под ритмический марш, исполненный директрисой; постепенно научился самопроизвольно сопровождать музыку известными движениями. Это, конечно, требует повторения музыки. (Для приобретения чувства ритма необходимо повторение одного и того же упражнения, как и во всех формах воспитания, имеющих дело со спонтанною деятельностью).

Повторяются и упражнения в соблюдении тишины.

Третья степень

Упражнения в обыденных житейских занятиях. — Дети самостоятельно умываются, одеваются и раздеваются, сметают пыль со столов, учатся держать предметы и т.п.

Упражнения чувств. — Мы учим ребенка распознавать градации стимулов (тактильные градации, хроматические и т.п.), позволяя ему упражняться сколько угодно.

Переходим к стимулам, действующим на чувство слуха (звуки, шумы), а также к барическим стимулам (дощечки, различающиеся весом).

Одновременно мы показываем плоские геометрические вкладки. Ими начинается воспитание движений руки, обводящей контуры вкладки. Эти упражнения, вместе с упражнениями в распознавании градаций тактильных стимулов, подготавливают ребенка к письму.

Карточки с геометрическими формами мы даем после того, как ребенок в совершенстве научится узнавать те же фигуры в деревянных вкладках. Эти карточки дают понятие об абстрактных знаках, из которых состоит письмо. Ребенок учится узнавать плоскую форму, и так как все предыдущие упражнения вырабатывают стройную и разумную личность, то они могут рассматриваться, как мост, по которому он переходит от упражнения чувств к письму и от подготовки ко введению в преподавание.

Четвертая степень

Упражнения в обыденных житейских занятиях. — Дети накрывают стол для завтрака и убирают со стола. Учатся убирать комнату, приучаются к тщательному уходу за своим туалетом (учатся чистить зубы, ногти и т.п.).

Ритмические упражнения шеренгой уже научили их ходить с большой свободой и устойчивостью.