Отношение правдоподобия. Правило решения.

 

      Рассмотрим постановку задачи оптимального обнаружения реальных сигналов, которые являются функциями времени. Напомним, что пространственные и поляризационные характеристики сигналов и помех пока не рассматриваются, всё внимание сосредоточено только на их временных характеристиках.

      Принятый  сигнал f(t) может состоять из сигнала m(t) и помехе n(t)

      f(t) = m(t) + n(t) → условие А1,

      либо  сводиться только к помехе

      f(t) = n(t) → условие А0.

      Задача  заключается в том, чтобы указать правило решения, которое бы "наилучшим" образом позволило на основании принятого сигнала f(t) решить, какое из двух условий (А1 или А0) верно.

      Пусть принятый сигнал f(t) характеризуется плотностью вероятности p1(f) при условии А1 и плотностью вероятности p0(f) при условии A0. Если вместо непрерывной функции f(t) рассматривать L дискретных значений £1, f2, …, fL то функции p1(f) и p0(f) являются 2L - мерными распределениями вероятностей, что более подробно следует записать так:

      

      Выбор правила решения заключается  в разбиении 2L - мерного пространства f1, f1*, …, fL, fL* на такие две области Г1 и Г0, когда при попадании точки в область Г1 выносится решение о верности условия А1, а при попадании в область Г0 - решение о верности условия А0. Подобное разбиение схематически изображено на Рис.6 для случая 2L = 2.  

        

      Рис.6. Схематическое разбиение двумерного пространства решения на области Г1 и Г0.  

        

      Рис.7. Структура оптимального обнаружителя.

      Учитывая  введённые определения и обозначения, получаем соотношения для вероятностей правильного обнаружения и ложной тревоги

      

      а также для среднего риска 

      

      Минимум среднего риска достигается при  минимуме интеграла. Первое слагаемое в подынтегральном выражении положительно, а второе - отрицательно, т. к. С10 – С00 > С01 – С11 > 0. Если выбрать область Г1 так, чтобы выполнялось условие

       или

      то  величина R будет минимальна.

      Отношение называется отношением правдоподобия.

      Величину можно рассматривать как некоторый порог.

      Используя введенные определения, можно сформулировать правило решения в следующем  вице (так называемое, байесово правило выбора решений): для принятия решения о наличии или отсутствии полезного сигнала (объекта наблюдения) надо вычислить отношение правдоподобия принятого сигнала f(t) сравнить его с порогом :

      если > *, то принимается решение А1*,

      если < *, то принимается решение А0*.

      Отношение правдоподобия (или любая монотонная функция его) является отражением структуры оптимальной системы обработки принятого сигнала в структуре оптимального обнаружителя (рис.7).

      Отношение правдоподобия представляет собой  математическое олицетворение физического устройства, применяемого для обработки принятого сигнала. Одной из главных задач синтеза системы обнаружения является определение облика системы оптимальной обработки принятого сигнала, т. в. интерпретация математических операций, содержащихся в выражении отношения правдоподобия (усиление, задержка, умножение, сложение, вычитание, интегрирование, дифференцирование, возведение в степень), при помощи физически реализуемых аналоговых, цифровых или оптических элементов.

      Выработка решения сводится лишь к испытанию  на порог напряжения на выходе системы  обработки принятого сигнала.

Выбор порога решения

 

      Различают различные критерии выбора порога решения. Остановимся на двух из них.

      Критерий  идеального наблюдателя.

      Под "идеальностью" наблюдателя подразумевается  “бескорыстность” выполнения задачи - стоимость правильных решений принимается равной нулю, т.е. наблюдатель не вознаграждается за принятые правильные решения:

      Соо = С11 = 0,

      а также одинаковая "нетерпимость" к ошибочным решениям - стоимость пропуска цели и ложной тревоги одинаково высоки:

      С01 = С10 = 1.

      При этом средний риск равен суммарной вероятности ошибки

      R = Р(А0) F + Р(A1) D^,

      а порог определяется только априорными вероятностями наличия или отсутствия сигнала (объекта наблюдения)

       = P(A1) /P(A1)

      Критерий  Неймана - Пирсона.

      Согласно  этому критерию порог выбирают исходя из требуемой фиксированной вероятности ложной тревоги

        → F = const.

      При этом выбор пространства решения Г1 должен минимизировать вероятность пропуска D^ или максимизировать вероятность правильного обнаружения D. Нейман и Пирсон показали, что в этом случае сохраняется правило решения байесового типа:

      если  то .

      Таким образом, если “идеальный наблюдатель” исходит из минимизаций полной вероятности ошибки, то "наблюдатель Неймана - Пирсона" исходит из минимизации только вероятности пропуска сигнала при фиксированной вероятности ложной тревоги. И система Неймана-Пирсона, и система идеального наблюдателя принадлежат к байесову классу систем, связанных с испытанием на порог отношения правдоподобия и минимизирующих средний риск.

 

ЛИТЕРАТУРА

 
      

1. Охрименко А.Е. Основы извлечения, обработки и передачи информации. (В 6 частях). Минск, МРТИ, 2004.
2. Медицинская техника, М., Медицина 1996-2000 г.
3. Сиверс А.П. Проектирование радиоприемных устройств, М., Радио и связь, 2006.
4. Чердынцев В.В. Радиотехнические системы. – Мн.: Высшая школа, 2005.
5. Радиотехника и электроника. Межведомств. темат. научн. сборник. Вып. 22, Минск, БГУИР, 2004.