Спектральное представление периодических сигналов

  Федеральное агентство связи

ГОУ ВПО «Сибирский государственный университет

телекоммуникаций  и информатики»

Уральский технический  институт связи и информатики (филиал)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                             

 

 

 

 

                               Отчет по лабораторной работе  №1

              «Спектральное представление периодических  сигналов»

 

                                                Вариант №8

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                                        Выполнил:

                                                                                                        

                                                                                                        Проверил:

                                                                                                       

                                        .

 

                                                       

   1 Цель работы:

Изучение спектрального представления  периодических колебаний и свойств преобразований Фурье.

 

 

2 Теоретические основы  СПЕКТРАЛЬНОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ

Как известно [1, 2], детерминированный  сигнал s(t), имеющий конечное значение энергии

     (1.1)

может быть представлен в виде весовой суммы элементарных сигналов

      (1.2)

где – система функций, которые обладают свойством ортогональности

 при       (1.3)

t₁, t₂ – моменты времени начала и окончания сигналов.

Система чисел с_n называется обобщенным спектром сигнала s(t) в ортогональной системе функций φ_n(t). При n = k в равенстве (1.3) интеграл равен квадрату нормы функции φ_n(t):

     (1.4)

Выбирая специальным образом постоянные коэффициенты в функциях φ_n(t), можно добиться условия нормировки, при котором при любом n. Тогда система функций φ_n(t) называется ортонормированной [1, 2]. При этом спектральные коэффициенты c_n могут быть найдены из выражения:

     (1.5)

которое является скалярным произведением функций s(t) и φ_n(t) [1, 2].

Равенство (1.5) может быть доказано подстановкой в него разложения (1.2) с учетом условий ортогональности (1.3) и нормировки (1.4) при .

Частным случаем  представления (1.2) является тригонометрический ряд Фурье:

   (1.6)

где ;

;

;

Т – интервал времени, на котором существует процесс s(t), или период сигнала s(t), если он является периодическим .

Как видно из приведенных выражений, ортогональной системой базисных функций  в данном случае является система  тригонометрических функций:

1, cos Ωt, sin Ωt, cos 2Ωt, sin 2Ωt, …   (1.7)

где Ω  – частота первой гармоники сигнала s(t).

Как указано  выше, представление сигнала s(t) тригонометрическим рядом Фурье справедливо в случае существования сигнала s(t) на конечном отрезке времени длительностью Т (тогда его представление рядом (6) справедливо только для значений времени t, находящихся на этом отрезке) или для периодического сигнала с периодом T. Тогда ряд (6) справедлив для любых моментов времени.

Комплексная форма ряда Фурье является обобщением тригонометрической формы (1.6):

,    (1.8)

где комплексные коэффициенты находятся по формуле, схожей с формулой (1.5):

.  (1.9)

В реальных радиосистемах количество членов ряда Фурье ограничивается некоторым  конечным числом N. При этом возникают ошибки представления периодических колебаний ограниченным числом гармоник, и величину этих ошибок необходимо уметь определять

4.2)

 

 

 

                                      Построение графика импульса

 

 

4.3) Es=0,0373B^2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.4)

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	1.2500	1.0452	0.5589	0.0864	0.1887	0.1841	0.08666	0.0868	0.0796	0.740	0.0723
	–	0	-0.2050	-0.3711	-0.0428	2.1375	2.2310	2.8787	-2.2214	-1.5708	-0.6897

 

 

5.1) Первая гармоника

 

Первая частичная сумма

 

 

 

 

5.2) Вторая гармоника                          Вторая частичная сумма                   

Третья гармоника                                       Третья частичная сумма                           

              Четвертая гармоника                                Четвертая частичная сумма    

                Пятая гармоника                                    Пятая частичная сумма

              

                    Шестая гармоника                                    Шестая частичная сумма

         Седьмая гармоника                                   Седьмая частичная сумма

        

Восьмая гармоника                            Восьмая частичная сумма   

Девятая гармоника                            Девятая частичная сумма

 

 

 

Десятая гармоника                                 Десятая частичная сумма 

 

5.5) Сдвиг графика вправо

5.6) Сдвиг графика влево

Вывод: В данной лабораторной работе изучили спектральное представление колебаний, так же изучили свойства и преобразования Фурье. Построили отдельные гармоники сигнала (для этого мы брали амплитуду и фазу для определенной гармоники и строили ее график),  их частичные суммы (добавляя в сумму ряда Фурье каждый раз новую гармонику (беря последовательно из таблицы модули и фазы гармоник) и наблюдали ,постоянное приближение формы суммарного колебания к форме исходного колебания так же произвели сдвиг колебания влево и вправо по оси времени на 1/10 периода(оставив неизменными все амплитуды гармоник, к фазам прибавили линейно нарастающую дополнительную фазу).