Агрегатная форма индекса

Этот индекс называется среднегармоническим.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 2

Выработка тканей на фабрике  характеризуется следующими показателями:

Таблица 2

Группы рабочих по выработке  тканей за смену одним рабочим, м	Численность рабочих, чел.
До 50	12
50-60	15
60-70	14
70-80	10
80-90	20
90-100	17
Свыше 100	12
Итого:	100

Определить:

1. Среднемесячную выработку  тканей одним рабочим.

2. Показатели вариации.

3. Средние структурные  величины: моду и медиану.

 

Решение.

Расчеты оформим в таблице 3.

Таблица 3

Группы рабочих по выработке  тканей за смену одним рабочим, м	Численность рабочих, чел., f	Середина шкалы, х	Накопленная частота, Sj
До 50	12	45	12
50-60	15	55	27
60-70	14	65	41
70-80	10	75	51
80-90	20	85	71
90-100	17	95	88
Свыше 100	12	105	100
Итого:	100	х	х

 

Средняя арифметическая равна  сумме произведений вариант (х) на их частоты или веса (f), поделенной на сумму частот [3, с.124 ].

Обозначим индивидуальные значения признака (варианты) х₁, х₂, х₃, … х_n, а числа, показывающие, сколько раз повторяется варианта (частоты) – f_1, f_2, f₃, … f_n, то средняя арифметическая взвешенная будет равна:

.

Для этого мы и находили середину интервала.

«Взвешивать» будем по количеству рабочих.

Среднесменная выработка  тканей одним рабочим будет равна - В_ср

В_ср = (45*12 + 55*15 + 65*14 + 75*10 + 85*20 + 95*17 + 105*12)/100 = 76 м за смену в среднем на одного рабочего.

2. Рассчитаем показатели вариации.

Составим таблицу для  расчета показателей вариации.

Таблица 4

Группы рабочих по выработке  тканей за смену одним рабочим, м	Численность рабочих, чел. fj	Середина шкалы,
До 50	12	45	-31	961	11532
50-60	15	55	-21	441	6615
60-70	14	65	-11	121	1694
70-80	10	75	-1	1	10
80-90	20	85	9	81	1620
90-100	17	95	19	361	6137
Свыше 100	12	105	29	841	10092
Итого:	100	х	x	x	37700

Рассчитаем дисперсию:

Рассчитаем среднее квадратическое отклонение:

м.

Для характеристики колеблемости явлений среднее квадратическое отклонение сопоставляют с его средней  величиной и выражают в процентах. Такой показатель называется коэффициентом  вариации. Коэффициент вариации рассчитывается по формуле:

Рассчитаем коэффициент  вариации:

%.

Величина V оценивает интенсивность  колебаний вариантов относительно их средней величины. Принята следующая  оценочная шкала колеблемости признака:

0%<V 40%  -    колеблемость незначительная;

40%< V 60%  -    колеблемость средняя (умеренная);

V>60%  -    колеблемость значительная.

 

Вывод. Анализ полученных значений показателей и σ говорит о том, что величина среднесменной выработки тканей одним рабочим составляет 76 м, отклонение от этой величины в ту или иную сторону составляет в среднем 19,4 м (или 25,55 %), наиболее характерная величина среднесменной выработки находится в пределах от 56,6 до 95,4 м (диапазон ).

Значение V = 25,55% не превышает 40%, следовательно, вариация величины среднесменной выработки рабочих в исследуемой совокупности незначительна и совокупность по данному признаку однородна.

 

3. Определим моду и медиану.

Мода – это наиболее часто встречающееся значение признака у единиц данной совокупности. Она  соответствует определенному значению признака.

Величину моды определяем по формуле:

,

где х_Мо – начало модального интервала;

f_Mo – частота, соответстующая модальному интервалу;

f_(-1) – предмодальная частота;

f_(-1) – послемодальная величина [3, с. 151].

Соответственно, модальный интервал «80 – 90 м», т.к. ему присуща наибольшая численность рабочих (20 человек).

Мо = 80+10*(20-10)/((20-17) + (20-10)) = 87,7 м.

Вывод. Для рассматриваемой совокупности рабочих наиболее распространенная выработка тканей за смену одним рабочим характеризуется средней величиной 87,7 м.

Медиана лежит в середине ранжированного ряда и делит его  пополам.

При нахождении медианы вариационного  ряда вначале определяют медианный  интервал, в пределах которого находится  медиана, а затем – приближенное значение медианы по формуле:

,

где х_Ме – нижняя граница медианного интервала;

i_Ме – величина интервала;

S_Ме-1 – накопленная частота интервала, предшествующего медианному;

f_Ме – частота медианного интервала,

∑f – сумма частот или число членов ряда.

Медианным интервалом является интервал 70-80 м, т.к. именно в этом интервале  накопленная частота S_j=51 впервые превышает полусумму всех частот ( ).

Ме = 70+10*(100/2-41)/10 = 79 м.

Вывод. В рассматриваемой совокупности рабочих половина имеют выработку за смену не более 79 м, а другая половина – не менее 79 м.

 

Задание 3

 

За сентябрь 1999 г. произошли  следующие изменения в списочном  составе работников предприятия (человек):

Состояло по списку на 1 сентября 1999 г. – 1200

Выбыло 5 сентября – 5

Зачислено с 18 сентября – 8

Зачислено с 20 сентября – 2

Выбыло с 28 сентября – 3.

Определить среднесписочную  численность работников предприятия  за сентябрь.

Указать вид средней величины, по которой производили расчет.

 

Решение.

 

Среднесписочная численность  работников за месяц исчисляется путем суммирования списочной численности работников за каждый календарный день месяца, т.е. с 1 по 30 или 31 число (для февраля – по 28 или 29 число), включая праздничные (нерабочие) и выходные дни, и деления полученной суммы на число календарных дней месяца. Среднесписочная численность определяется по формуле средней арифметической:

,

где - сумма списочной численности работников численность за каждый календарный день месяца, чел.;

- число календарных дней месяца.

чел.

Численность работников в  течение сентября была разной, колебалась от 1195 до 1205 чел., а в пересчете  на полных работников (состоящих в  списке с 1 по 30 сентября 1999 г.) на данном предприятии было занято 1200 чел.

 

Задание 4

Имеются следующие данные о продаже продуктов на колхозном  рынке за июль и август месяцы:

Таблица 5

Продукты	Цены за 1 кг, руб.		Продано, тонн
	июль	август	июль	август
Овощи	6,0	5,0	20,5	30,0
Фрукты	9,0	8,0	15,0	22,0

Определите:

1. Общий индексы цен
2. Общий индекс физического объема продажи.
3. Рассчитать индекс товарооборота, используя взаимосвязь индексов.

 

Решение

1. Введем следующие обозначения:

- объем продаж продуктов  в июле - g0, в августе - g1;

- цена на 1 кг в июле - p0, в августе - p1.

Для проведения анализа определим:

– величину товарооборота  в июле – Т₀:

 

Т₀ = 20,5·6,0 + 15,0·9,0 = 123 + 135 = 258 тыс.руб.

– величину товарооборота  в августе – Т₁:

 

Т₁ = 30,0·5,0 + 22,0·8,0 = 150 + 176 = 326 тыс.руб.

– величину товарооборота  в ценах июля – Т₂:

 

Т₂ = 30,0·6,0 + 22,0·9,0 = 180 + 198 = 378 тыс.руб.

Расчеты представим в виде таблицы 6.

Таблица 6

Продукты	Продано, тонн		Цены за 1 кг, руб.		Товарооборот, тыс.руб.
	июль, g0	август, g1	июль, p0	август, p1	g0p0	g1p1	g1p0
Овощи	20,5	30	6	5	123	150	180
Фрукты	15	22	9	8	135	176	198
Итого	35,5	52	х	х	258	326	378

 

Определим общий индекс цен  – I_p:

 

= 326/378 = 0,86.

В августе произошло снижение общего уровня цен на 14 % по сравнению  с июлем.

 

2. Определим общий индекс  физического объема продажи –  I_g:

 

 

= 378/258 = 1,47.

Количество проданного товара в августе по сравнению с июлем  увеличилось на 47 %.