Анализ временных рядов

 

             

 

 

Ha puc. 11.4 rpaфически представлены фактические и прогнозируемые значения  анализируемого ряда.

Рассчитанные сглаженные уровни  не только дают представление  об общей тенденции поведения  изучаемого ряда, но и может быть также использованы для вычисления индексов сезонности I_S , совокупность которых характеризует сезонную кривую исследуемого процесса. Средние индексы сезонности определяются по формуле

где - исходные уровни ряда, - сглаженные уровни ряда, u — число одноименных периодов.

На рис. 11.3 представлены вычисленные значения . Для получения средних индексов сезонности I_X выполняется усреднение вычисленных значений  , по одноименным кварталам.

 

 

 

 

 

Вычисленные показатели являются средними индексами сезонных колебаний объема выпуска продукции  по кварталам.

 

3.2 Метод экспоненциального сглаживания

 

Простая и логически  ясная модель временного ряда имеет  следующий вид:

                                                                           (11.5)

где b — константа, а ε — случайная ошибка. Константа b относительно стабильна на каждом временном интервале, но может также медленно изменяться со временем. Один из интуитивно ясных способов выделения значения b из данных состоит в том, чтобы использовать сглаживание скользящим средним, в котором последним наблюдениям приписываются большие веса, чем предпоследним, предпоследним большие веса, чем пред- предпоследним, и т.д. Простое экспоненциальное сглаживание именно так и построено. Здесь более старым наблюдениям приписываются экспоненциально убывающие веса, при этом, в отличие от скользящего среднего, учитываются все предшествующие наблюдения ряда, а не только те, которые попали в определенное окно. Точная формула простого экспоненциального сглаживания имеет вид:

                                                         (11.6)

Когда эта формула  применяется рекурсивно, каждое новое  сглаженное значение (которое является также прогнозом) вычисляется как  взвешенное среднее текущего наблюдения и сглаженного ряда. Очевидно, результат  сглаживания зависит от параметра α. Если α равен 1, то предыдущие наблюдения полностью игнорируются. Если а равен 0, то игнорируются текущие наблюдения. Значения α между 0 и 1 дают промежуточные результаты. Эмпирические исследования показали, что простое экспоненциальное сглаживание весьма часто дает достаточно точный прогноз.

На практике обычно рекомендуется  брать α меньше 0,30. Однако выбор а больше 0,30 иногда дает более точный прогноз. Это значит, что лучше все же оценивать оптимальное значение α по реальным данным, чем использовать общие рекомендации.

На практике оптимальный  параметр сглаживания часто ищется с использованием процедуры поиска на сетке. Возможный диапазон значений параметра разбивается сеткой с  определенным шагом. Например, рассматривается  сетка значений от α =0,1 до α = 0,9 с шагом 0,1. Затем выбирается такое значение α, для которого сумма квадратов (или средних квадратов) остатков (наблюдаемые значения минус прогнозы на шаг вперед) является минимальной.

Microsoft Excel располагает функцией Экспоненциальное сглаживание (Exponential Smoothing), которая обычно используется для сглаживания уровней эмпирического временного ряда на основе метода простого экспоненциального сглаживания. Для вызова этой функции необходимо на панели меню выбрать команду Tools - Data Analysis. На экране раскроется окно Data Analysis, в котором следует выбрать значение Экспоненциальное сглаживание. В результате появится диалоговое окно Экспоненциальное сглаживание, представленное на рис. 11.5.

В диалоговом окне Exponential Smoothing задаются практически те же параметры, го и в рассмотренном выше диалоговом окне Moving Average.

1. Input Range (Входные данные) — в это поле вводится диапазон ячеек, содержащих значения исследуемого параметра.

2. Labels (Метки)   — данный флажок опции устанавливается в том случае, если первая строка (столбец) во входном диапазоне содержит заголовок. Если заголовок отсутствует, флажок следует сбросить. В этом случае для данных выходного диапазона будут автоматически созданы стандартные названия.

3. Damping factor (Фактор затухания) — в это поле вводится значение выбранного коэффициента экспоненциального сглаживания α. По умолчанию принимается значение α = 0,3.

4. Output options (Параметры вывода) — в этой группе, помимо указания диапазона ячеек для выходных данных в поле Output Range (Выходной диапазон), можно также потребовать автоматически построить график, для чего необходимо установить флажок опции Chart Output (Вывод графика), и рассчитать стандартные погрешности, для чего нужно установить флажок опции Standart Errors (Стандартные погрешности).

Воспользуемся функцией Экспоненциальное сглаживание для повторного решения рассмотренной выше задачи, но уже с помощью метода простого экспоненциального сглаживания. Выбранные значения параметров сглаживания представлены на рис. 11.5. На рис. 11.6 показаны рассчитанные показатели, а на рис. 11.7 — построенные графики.

 

               

 

3.3 Метод аналитического  выравнивания

 

Основным содержанием  метода аналитического выравнивания временных  рядов является расчет общей тенденции  развития (тренда) как функции времени:

                                                             (11.7)

где — теоретические значения временного ряда, вычисленные по соответствующему аналитическому уравнению на момент времени t.

Определение теоретических (расчетных) значений производится на основе так называемой адекватной математической модели, которая наилучшим образом отображает основную тенденцию развития временного ряда.

Простейшими моделями (формулами), выражающими тенденцию развития, являются следующие:

• линейная функция, график которой является прямой линией'- ;

• показательная функция:

• степенная функция  второго порядка (парабола):

• логарифмическая функция:

Расчет параметров функции  обычно производится методом наименьших квадратов (МНК), в котором в качестве решения принимается точка минимума суммы квадратов отклонений между теоретическим и эмпирическим уровнями:

                                                          (11.8)

где -,  — выровненные (расчетные) уровни, a y_t — фактические уровни.

Параметры уравнения α_i  удовлетворяющие этому условию, могут быть найдены решением системы нормальных уравнений. На основе найденного уравнения тренда вычисляются выровненные уровни.

Выравнивание по прямой используется в тех случаях, когда  абсолютные приросты практически постоянны, т.е. когда уровни изменяются в арифметической профессии (или близко к ней).

Выравнивание по показательной  функции применяется, когда ряд  отражает развитие в геометрической профессии, т.е. цепные коэффициенты роста  практически постоянны.

Выравнивание по степенной  функции (параболе второго порядка) используется, когда ряды динамики изменяются с постоянными цепными  темпами прироста.

Выравнивание по логарифмической  функции применяется, когда ряд  отражает развитие с замедлением роста в конце периода, т.е. когда прирост в конечных уровнях временного ряда стремится к нулю.

По вычисленным параметрам выполняется синтез трендовой модели функции, т.е. получение значений α₀, α₁, α₂ и их подстановка в искомое уравнение.

Правильность расчетов аналитических уровней можно проверить по следующему условию: сумма значений эмпирического ряда должна совпадать с суммой вычисленных уровней выровненного ряда. При этом может возникнуть небольшая погрешность в расчетах из-за округления вычисляемых величин:

Для оценки точности трендовой  модели используется коэффициент детерминации:

где — дисперсия теоретических данных, полученных по трендовой модели, а ст; -дисперсия эмпирических данных.

Трендовая модель адекватна  изучаемому процессу и отражает тенденцию его развития при значениях , близких к 1.

После выбора наиболее адекватной модели можно сделать прогноз  на любой из периодов. При составлении  прогнозов оперируют не точечной, а интервальной оценкой, определяя  так называемые доверительные интервалы прогноза. Величина доверительного интервала определяется в общем виде следующим образом:

где - среднее квадратическое отклонение от тренда; - табличное значение t-критерия Стьюдента при уровне значимости α, которое зависит от уровня значимости α (%) и числа степеней свободы

Величина S; определяется по формуле:

                                                              (11.12)

где - фактические и расчетные значения уровней динамического ряда; п —число уровней ряда; m — количество параметров в уравнении тренда (для уравнения прямой m = 2, для уравнения параболы 2-го порядка m = 3).

После необходимых расчетов определяется интервал, в котором  с определенной вероятностью будет  находиться прогнозируемая величина.

С помощью Microsoft Excel строить трендовые модели достаточно просто. Сначала эмпирический временной ряд следует представить в виде диаграммы одного из следующих типов: гистограмма, линейчатая диаграмма, график, точечная диаграмма, диаграмма с областями, а затем щелкнуть на диаграмме правой кнопкой мыши на одном из маркеров данных. В результате на диаграмме будет выделен сам временной ряд, а на экране раскроется контекстное меню, как показано на рис. 11.8. В этом меню следует выбрать команду Add Trendline (Добавить линию тренда). На экран будет выведено диалоговое окно Add Trendline, как показано на рис. 11.9.

На вкладке Туре (Тип) этого диалогового окна выбирается требуемый тип тренда:

• линейный (Linear);

• логарифмический (Logarithmic);

• полиномиальный, от 2-й  до 6-й степени включительно (Polinomial);

• степенной (Power);

• экспоненциальный (Exponential);

• скользящее среднее, с  указанием периода сглаживания  от 2 до 15 (Moving Average).

На вкладке Options (Параметры) этого диалогового окна, показанной на рис. 11.10, задаются дополнительные параметры тренда.

1. Trendline Name (Название сглаженной кривой) — в этой группе выбирается название, которое будет выведено на диаграмму для обозначения функции, использованной для сглаживания временного ряда. Возможны следующие варианты:

  

Automatic (Автоматическое) — при установке переключателя в это положение Microsoft Excel автоматически формирует название функции сглаживания тренда, основываясь на выбранном типе тренда, например Linear (Линейная функция).

Custom (Другое) — при установке переключателя в данное положение в поле справа можно ввести собственное название для функции тренда, длиной до 256 символов.

2. Forecast (Прогноз) — в этой группе можно указать, на сколько периодов вперед (поле Forward) требуется спроектировать линию тренда в будущее и на сколько периодов назад (поле Backward) следует спроектировать линию тренда в прошлое (эти поля недоступны в режиме скользящего среднего).

3. Set intercept (Пересечение кривой с осью Y в точке) — этот флажок опции и расположенное справа поле ввода позволяют непосредственно указать точку, в которой линия тренда должна пересекать ось Y (эти поля доступны не для всех режимов).

4. Display equation on chart (Показывать уравнение ка диаграмме) — при установке этого флажка опции на диаграмму будет выведено уравнение, описывающее сглаживающую линию тренда.

5. Display R-squared value on chart (Поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации R-) — при установке данного флажка опции на диаграмме будет показано значение коэффициента детерминации.

Вместе с линией тренда на графике временного ряда могут  быть также изображены планки погрешностей. Для вставки планок погрешностей необходимо выделить ряд данных, щелкнуть на нем правой кнопкой мыши и выбрать в раскрывшемся контекстном меню команду Format Data Series (рис. 11.8). На экране раскроется диалоговое но Format Data Series (Формат ряда данных), в котором следует перейти на вкладку Error Bars (Y-погрешности), показанную на рис. 11.11.

На этой вкладке с  помощью переключателя Error amount (Величина погрешности) выбирается тип планок и вариант их расчета в зависимости от вида погрешности.

• Fixed value (Фиксированное значение) — при установке переключателя в это положение за допустимую величину ошибки принимается заданное  в поле счетчика справа постоянное значение;

• Percentage (Относительное значение) — при установке переключателя в данное положение для каждой точки данных вычисляется допустимое отклонение, исходя из заданного в поле счетчика справа значения процента;